【精品解析】人教A版2019必修一2.1不等式的性质同步练习

人教A版2019必修一2.1不等式的性质同步练习
一、单选题
1．（2020高一上·池州期末）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，当且仅当 ， 时取等号，
故答案为：C．
【分析】作差后配方可得答案。
2．（2020高一上·上海期中）若 是满足 的实数，那么下列结论中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】令 ，
则 ，
，
，
故答案为：D
【分析】利用特殊值法判断即可.
3．（2020高一上·苏州期中）已知 ， ，则下列说法正确的有（　　）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于选项AC，当 时， ， ，则A、C错误；
对于选项B，当 时， ，则B错误；
对于选项D，
，即 ，则D正确；
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质、特殊值代入比较法和作差比较大小法，从而找出说法正确的选项。
4．（2020高一上·五莲期中）若实数 是不等式 的一个解，则 可取的最小正整数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】∵实数2是不等式 的一个解，
∴代入得： ，解得 ，
∴a可取的最小整数是 ，
故答案为：C．
【分析】直接把2代入不等式，即可求得的范围，从而求得可取的最小正整数。
5．（2020高一上·利辛期中）如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，
设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x），
因为草坪的面积不小于300m2，
所以(22－x)(17－x) 300，
故答案为：B．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列不等式即可．
6．（2020高一下·梅州期末）若 ，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】对于选项 ：若 ，则 ，A不正确；
对于选项 ：若 ， ，则 ，B 不正确；
对于选项 ：若 ，则 ，即 ，C正确；
对于选项 ：若 ， ，则 ，D不正确
故答案为：C
【分析】采用特列法可证明A、B、D不正确；关于选项C，根据完全平方式展开式的范围，，可得C项正确。
7．（2019高一下·扶余期末）若 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】① ，
∵ ，
∴ ，
故 .
②∵ ，
∴ ，
所以a＞ab.
综上 ，
故答案为：A.
【分析】利用作差比较法判断得解.
8．（2019高一下·慈利期中）若 下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵a>b
在不等式的两边同时乘以-1得：
-a<-b
即：-b>-a
∴c-b>c-a
又∵c>d
∴c-a>d-a
∴c-b>d-a
故答案为：A
【分析】本题可以利用不等式的基本性质，运用已知条件进行推导，即可得出结论。
9．（2020高一上·延寿期中）某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】“不低于”即≥，“高于”即>，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
故答案为D.
【分析】结合题意列出不等式组即可．
10．（2019高一上·海口月考）已知 ，则 ， ，则 和 的大小关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．与 和 的取值有关
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，∴ 。
故答案为：A。
【分析】作差 与0比较后可得结论。
11．（2019高一下·丽水期末）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】（1）当 或 时， ，
不等式 为 ，
若不等式 恒成立，必需
所以 ；
⑵当 时， ，
不等式为 即 ，
（ⅰ）当 时，不等式 对任意 恒成立，
（ⅱ）当 时，
不等式 恒成立即 恒成立，
所以 ，解得 ，
（ⅲ）当 时，
不等式 恒成立即 恒成立，
所以 ，解得
综上，实数 的取值范围是
【分析】利用分类讨论的方法结合不等式恒成立问题的解决方法，用零点分段法解绝对值不等式的方法求出实数 的取值范围。
二、多选题
12．（2020高一上·湖州月考）下列命题中为真命题的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、若 >0，则 ,不符合题意；
B、若 ，∵这里c2>0，则 ，符合题意；
C、 若 ，则a>b, ∵c>a, ∴0, 则 , 符合题意；
D、 若 ，则 ，符合题意；
故答案为：BCD.
【分析】分别根据不等式的性质推导即可判断，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向改变.
三、填空题
13．（2021高一上·海安期末）已知b克盐水中含有 克盐，若给盐水加热，蒸发了 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：　 　.
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】原来盐占盐水的比例为 ，给盐水加热，蒸发了 克水后，盐占盐水的比例为 ，则 。
【分析】将事实转化成数学语言表示出来即可。
14．（2016高一下·无锡期末）设M=5a2﹣a+1，N=4a2+a﹣1，则M，N的大小关系为　 　．
【答案】M＞N
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：M﹣N=5a2﹣a+1﹣（4a2+a﹣1）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1≥1＞0，
∴M＞N．
故答案为：M＞N．
【分析】作差后，利用配方法判断差的符号，即可比较出大小关系．
15．（2017高一上·上海期中）已知a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C= ，则按A、B、C从小到大的顺序排列是　 　．
【答案】B＜C＜A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，
不妨令a1= ，a2= ，b1= ，b2= ，
A=a1b1+a2b2= + = ，B=a1b2+a2b1= + = ，
∵C= =
∴B＜C＜A
故答案为：B＜C＜A．
【分析】特值法，代入比较大小即可.
四、解答题
16．（2020高一上·延寿期中）比较大小：(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2.
【答案】解：(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36) ＝－1<0，
所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2.
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】将两式做差和0比较即可.
17．（2020高一上·天门月考）已知 ， ， ，比较 与 的大小．
【答案】解： － =
，
∴ .又 ，∴ .∴ .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】对于比较大小常用方法是作差，所以两个公式作差，通分，再根据不等式的性质判断正负性，从而比较两个分式大小．
18．（2018高一下·六安期末）若 ， ， ，比较 ， ， 的大小.
【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
，即 ，
综上可得： .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】解决本题时，分别相互作差，并将结果与0做比较，判断大小，即可得出答案。
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一、单选题
1．（2020高一上·池州期末）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2020高一上·上海期中）若 是满足 的实数，那么下列结论中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020高一上·苏州期中）已知 ， ，则下列说法正确的有（　　）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．
4．（2020高一上·五莲期中）若实数 是不等式 的一个解，则 可取的最小正整数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2020高一上·利辛期中）如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020高一下·梅州期末）若 ，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高一下·扶余期末）若 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．（2019高一下·慈利期中）若 下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2020高一上·延寿期中）某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2019高一上·海口月考）已知 ，则 ， ，则 和 的大小关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．与 和 的取值有关
11．（2019高一下·丽水期末）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
12．（2020高一上·湖州月考）下列命题中为真命题的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
三、填空题
13．（2021高一上·海安期末）已知b克盐水中含有 克盐，若给盐水加热，蒸发了 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：　 　.
14．（2016高一下·无锡期末）设M=5a2﹣a+1，N=4a2+a﹣1，则M，N的大小关系为　 　．
15．（2017高一上·上海期中）已知a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C= ，则按A、B、C从小到大的顺序排列是　 　．
四、解答题
16．（2020高一上·延寿期中）比较大小：(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2.
17．（2020高一上·天门月考）已知 ， ， ，比较 与 的大小．
18．（2018高一下·六安期末）若 ， ， ，比较 ， ， 的大小.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，当且仅当 ， 时取等号，
故答案为：C．
【分析】作差后配方可得答案。
2．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】令 ，
则 ，
，
，
故答案为：D
【分析】利用特殊值法判断即可.
3．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于选项AC，当 时， ， ，则A、C错误；
对于选项B，当 时， ，则B错误；
对于选项D，
，即 ，则D正确；
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质、特殊值代入比较法和作差比较大小法，从而找出说法正确的选项。
4．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】∵实数2是不等式 的一个解，
∴代入得： ，解得 ，
∴a可取的最小整数是 ，
故答案为：C．
【分析】直接把2代入不等式，即可求得的范围，从而求得可取的最小正整数。
5．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，
设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x），
因为草坪的面积不小于300m2，
所以(22－x)(17－x) 300，
故答案为：B．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列不等式即可．
6．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】对于选项 ：若 ，则 ，A不正确；
对于选项 ：若 ， ，则 ，B 不正确；
对于选项 ：若 ，则 ，即 ，C正确；
对于选项 ：若 ， ，则 ，D不正确
故答案为：C
【分析】采用特列法可证明A、B、D不正确；关于选项C，根据完全平方式展开式的范围，，可得C项正确。
7．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】① ，
∵ ，
∴ ，
故 .
②∵ ，
∴ ，
所以a＞ab.
综上 ，
故答案为：A.
【分析】利用作差比较法判断得解.
8．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵a>b
在不等式的两边同时乘以-1得：
-a<-b
即：-b>-a
∴c-b>c-a
又∵c>d
∴c-a>d-a
∴c-b>d-a
故答案为：A
【分析】本题可以利用不等式的基本性质，运用已知条件进行推导，即可得出结论。
9．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】“不低于”即≥，“高于”即>，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
故答案为D.
【分析】结合题意列出不等式组即可．
10．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，∴ 。
故答案为：A。
【分析】作差 与0比较后可得结论。
11．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】（1）当 或 时， ，
不等式 为 ，
若不等式 恒成立，必需
所以 ；
⑵当 时， ，
不等式为 即 ，
（ⅰ）当 时，不等式 对任意 恒成立，
（ⅱ）当 时，
不等式 恒成立即 恒成立，
所以 ，解得 ，
（ⅲ）当 时，
不等式 恒成立即 恒成立，
所以 ，解得
综上，实数 的取值范围是
【分析】利用分类讨论的方法结合不等式恒成立问题的解决方法，用零点分段法解绝对值不等式的方法求出实数 的取值范围。
12．【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、若 >0，则 ,不符合题意；
B、若 ，∵这里c2>0，则 ，符合题意；
C、 若 ，则a>b, ∵c>a, ∴0, 则 , 符合题意；
D、 若 ，则 ，符合题意；
故答案为：BCD.
【分析】分别根据不等式的性质推导即可判断，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向改变.
13．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小；不等式的基本性质
【解析】【解答】原来盐占盐水的比例为 ，给盐水加热，蒸发了 克水后，盐占盐水的比例为 ，则 。
【分析】将事实转化成数学语言表示出来即可。
14．【答案】M＞N
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：M﹣N=5a2﹣a+1﹣（4a2+a﹣1）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1≥1＞0，
∴M＞N．
故答案为：M＞N．
【分析】作差后，利用配方法判断差的符号，即可比较出大小关系．
15．【答案】B＜C＜A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，
不妨令a1= ，a2= ，b1= ，b2= ，
A=a1b1+a2b2= + = ，B=a1b2+a2b1= + = ，
∵C= =
∴B＜C＜A
故答案为：B＜C＜A．
【分析】特值法，代入比较大小即可.
16．【答案】解：(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36) ＝－1<0，
所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2.
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】将两式做差和0比较即可.
17．【答案】解： － =
，
∴ .又 ，∴ .∴ .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】对于比较大小常用方法是作差，所以两个公式作差，通分，再根据不等式的性质判断正负性，从而比较两个分式大小．
18．【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
，即 ，
综上可得： .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】解决本题时，分别相互作差，并将结果与0做比较，判断大小，即可得出答案。
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