2015连线中考数学一轮复习系列专题19圆的基本性质

第十九讲 圆的基本性质
基础知识
知识点一、圆的有关概念
1. 圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.
②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；
2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．
3.确定圆的条件
确定一个圆有两个基本条件
①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．
经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念
1. 弦与直径：
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．
②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.
2. 弧与半圆
①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做，
②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．
③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．
④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.
知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系
1. 圆的旋转不变性
把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
知识点四、垂径定理
1. 圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
如图，用符号语言叙述为：
∵ CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点E
∴ AE＝EB，，
3. 垂径定理基本图形的性质：
（1）有4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△CAM与Rt△CBM；Rt△OAM与Rt△OBM；Rt△MAD与Rt△MBD；特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高．
（2）有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB.弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边AB的垂直平分线．
（3）有3对弧相等：，，．
（4）添加辅助线的方法：连接半径或作垂直于弦的直径，是两种重要的添线方法．
知识点五．圆周角定理
1. 定义：
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角．
2. 圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等，
3. 圆周角定理的推论
①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
②圆内接四边形的对角互补．
典型例题解析
例1.（菏泽）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD弧的度数为＿＿＿＿＿．
例2. （山西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=50°，
则∠C的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．80°
例3. （绍兴）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图，⊙O与矩形ABCD边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点）．已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为___________．
例4. （黑龙江）直径为10cm的⊙Ｏ中，弦AB＝5cm,则弦AB所对的圆周角是 ．
例5. (济南) 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ）
A. 2. B. C. D.
例6. （安徽）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．
例7. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．
巩固练习
1. （湖州）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（ ）
A. 35 ° B.45° C. 55° D.65°
2. 如图所示，在⊙O中，，那么（　　）
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．无法比较
3. （嘉兴）如图，○O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8则AB的长为（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
4. （钦州）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
5. （南通）如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝_______度．
6. （广元）若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=50°，则弦AB所对的圆周角的度数为 .
7 . (龙岩) 如图，A、B、C是半径为6的⊙O上三个点，若∠BAC=45°，则弦BC= 。
8.（牡丹江）⊙O的半径为2，弦,点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为 .
9. （南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
10. 如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
11（邵阳）如图（八）所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3m，弓形的高EF＝1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．
12. (武汉) 如图，AB是⊙O的直径，C，P是 上两点，AB=13，AC=5．
(1)如图(1)，若点P是 的中点，求PA的长；
(2)如图(2)，若点P是 的中点，求PA的长；
中考预测
1. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB＝65°，则∠BOC＝（ ）
A. 25° B. 50° C. 130° D. 155°
2.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，AB＝8，则DE的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3. 如图，□ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（ ）
A．44° B．54° C．72° D．53°
4. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，若，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．60°
5. 已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为( )
A.cm B.cm C. cm或cm D.cm或cm
6. 如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为 .(用含有m的代数式表示)
7. 如图,将半径为6的⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则弦AB＝ .
8. 如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为_________m．
9. 已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（I）如图，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（II）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
10. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长.
11.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC= 度，∠BPC= 度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
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