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高中数学人教A版（2019）必修二 6.2 平面向量的数量积课后练习
一、单选题
1．（2020·宝鸡模拟）已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2020高三上·宣城期末）已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·玉溪模拟）已知向量 ， 的夹角为120°， ，则 （ ）
A． B． C．7 D．13
4．（2020高三上·甘谷月考）设向量 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 与 的夹角为 D． 在 方向上的投影为
5．（2020高三上·长沙月考）若向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高三上·长沙月考）平面向量 ， ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高三上·镇江期中）在边长为 的等边 中， ， ，则 的值为（ ）
A．-1 B． C．1 D．
8．（2020高三上·天津期中）如图所示，在菱形 中， ， ， 为 的中点，则 的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
二、多选题
9．（2020高三上·泰州期中）已知向量 ＝(－3，2)， ＝(－1，0)，则下列选项正确的有（ ）
A．( ＋ ) ＝4 B．( ﹣3 )⊥
C． D．
10．（2020高三上·顺德月考）下列命题中，结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则A B C D四点共线；
D．在四边形 中，若 ， ，则四边形 为菱形.
11．（2020高一下·沈阳期末）设向量 ， ，则下列叙述错误的是（ ）
A．若 时，则 与 的夹角为钝角
B． 的最小值为2
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．若 ，则 或
12．（2020高二上·深圳月考） 是边长为2的等边三角形，已知向量 满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 为单位向量 B． 为单位向量
C． D．
三、填空题
13．（2020高三上·宁波期末）已知向量 ， 满足 ，则 .
14．（2020高三上·常州期末）在四边形 中， .若 ，则 .
15．（2020高三上·台州期末）已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为120°，则 的最大值是 .
16．（2021·青浦一模）已知向量 的模长为1，平面向量 满足： ，则 的取值范围是 .
四、解答题
17．（2020高二上·浦东期末）已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角θ的余弦值；
（2）若 ，求实数 的值和向量 .
18．（2020高一上·钦州期末）已知向量 满足： ．
（1）求 与 的夹角；
（2）求 ．
19．（2020高二上·上海期中）已知 ， ， .
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
20．（2020高三上·北京月考）已知 ， ，记函数 ．
（1）求函数 取最大值时 的取值集合；
（2）设函数 在区间 是减函数，求实数 的最大值．
21．（2020高二上·徐汇期中）已知向量 ， ．
（1）若 时，求 的值；
（2）若向量 与向量 的夹角为锐角，求 的取值范围．
22．（2020高二上·丽江期中）已知向量 ．
（1）若 ，求x的值；
（2）记 ，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题设可得 ，
因为 ，故 ，
解得 ，
所以 ，故 。
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出m的值，进而求出向量的坐标，再利用向量的模的公式求出向量的模。
2．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ，得 ，又因为 ，所以 ，得 ，所以 。
故答案为：A。
【分析】利用两向量垂直数量积为0，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，再结合已知条件，进而求出两向量 与 的夹角 。
3．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由 可得
，
所以 ．
故答案为：A．
【分析】结合向量模的性质得到，利用数量积的运算性质结合已知条件把数值代入到上式计算出结果即可求出向量模的值。
4．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量的投影向量
【解析】【解答】A. ，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；
B. ，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；
C. ， ，所以夹角为 ，正确；
D. 在 方向上的投影为 ，故错误.
故答案为：C。
【分析】利用已知条件结合共线向量的坐标表示判断两向量是否共线；利用两向量垂直数量积为0结合数量积的坐标表示，从而判断出两向量是否垂直；利用数量积求向量夹角公式求出两向量的夹角；再利用向量投影求解公式，从而结合数量积定义求出向量 在向量 方向上的投影，进而找出结论正确的选项。
5．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解： ， ，即 ，
又 ， ， ，得 ，
而 ， ，
故答案为：C．
【分析】根据向量垂直于数量积之间的关系得出，再由数量积的运算公式代入数值即可求出，由此得出夹角的大小即可。
6．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题得 ，
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出两向量 ， 夹角的余弦值。
7．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】利用平面向量线性运算将 转化为 由，平面向量数量积的定义，可求得结果。
8．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 为 的中点，且 为菱形，则 ，
.
故答案为：A.
【分析】根据题意由向量的加法原理求出再由数量积的运算公式代入数值计算出结果即可。
9．【答案】A,B,D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意，对于A， + ＝(－4，2)，
所以( ＋ ) ＝－4×(－1)+0=4，A选项正确；
对于B， ﹣3 ＝(0，2)，所以( －3 ) ＝0，
所以( －3 )⊥ ，B选项正确；
对于C， + ＝(－2，2)， ， ，
所以 ，C选项错误；
对于D， ， ，
即 ，D选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】 利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解。
10．【答案】B,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于A， ，A不符合题意；
对于B，若 ，则 ，所以 ， ，故 ，即B符合题意；
对于C， ，则 或 与 共线，C不符合题意；
对于D，在四边形 中，若 ，即 ，所以四边形 是平行四边形，又 ，所以 ，所以四边形 是菱形，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；
11．【答案】C,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】对于A选项，若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，则 ，
解得 且 ，A选项中的命题正确；
对于B选项， ，当且仅当 时，等号成立，B选项中的命题正确；
对于C选项， ，与 共线的单位向量为 ，即与 共线的单位向量为 或 ，C选项中的命题错误；
对于D选项， ，即 ，解得 ，D选项中的命题错误.
故答案为：CD.
【分析】根据 与 的夹角为钝角，得出 且 与 不共线，求出k的取值范围，可判断A选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B选项的正误；根据与 共线的单位向量为 可判断C选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D选项的正误.
12．【答案】A,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵等边三角形 的边长为2， ，∴ ，∴ ，A符合题意；
∵ ，∴ ，∴ ，B不符合题意；
由于 ，∴ 与 的夹角为120°，C不符合题意；
又∵ ，
∴ ，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据正三角形的性质与平面向量的线性运算与数量积分析即可.
13．【答案】-5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ， ，即 ，
，即 ，
， ，
。
故答案为：-5。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，进而求出、和的值，再利用数量积的运算法则结合数量积求向量的模公式，进而求出的值。
14．【答案】-16
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：-16
【分析】利用平面向量的线性运算与数量积运算法则计算即可。
15．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设 ， ，
由题意可知，则由 与 夹角为 ，所以 ，①
且 ，②
，③
，④
因为 ，
联立①②③④， ，
令 ，
即 ，
，
整理得 ，
将其看作关于 的方程，若方程有解，则有 ，
整理得 ，解得 ，
因为 ，所以 的最大值是 ，
故答案为： .
【分析】结合已知条件设 ， ， 利用向量的数量积的定义与运算性质得到四个关系式，通过分析得到一个关系式，再令 化简整理，利用关于n的方程有解，求解即可得到答案．
16．【答案】[-1,8]
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意知：不妨设 ， ，
则根据条件可得：
， ，
根据柯西不等式得：
因为 ，
， ，
当且仅当 时取等号；
令 ，则 ，又 ，则 ，
所以 ，当 时， ，即 ；
，而 ，所以当 时， ，即 ，故 的取值范围是[-1,8].
【分析】由题意知：不妨设 ， ,根据，利用柯西不等式可得,再根据的取值范围，得到 的取值范围 。
17．【答案】（1）解：由 ， ，
所以 ，
所以 与 的夹角θ的余弦值为
（2）解：若 ，则 ，
所以 ，
即 ，解得 .
.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用向量夹角公式求出 与 的夹角θ的余弦值；
（2）根据题意可得 ，再根据向量的线形坐标运算即可求解。
18．【答案】（1）解：设向量 与 的夹角 ，
，
解得 ，又 ，
（2）解：由向量的模的公式可得：
=
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律以及定义可得结果；
（2）根据 计算可得结果。
19．【答案】（1）解：因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）解：
则
化简得：
解得：
此时
=
=
=
=
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由向量的数量积，代值计算即可；（2）由数量积为0，代入计算即可.
20．【答案】（1）解：由题意，得 ，
当 取最大值时，即 ，此时
所以 的取值集合为 ．
（2）解：由 得
，
所以 的减区间 ，
当 ，得 是一个减区间，且
所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的正弦公式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性
【解析】【分析】(1)首先由数量积的坐标公式以及两角和的正弦公式整理求出函数的解析式，结合正弦函数的性质即可求出结果。
(2)根据正弦函数的单调性利用整体思想求出函数的减区间，再对k赋值令k=1就求出具体的区间结合正弦函数图象即可得出，即由此求出m的取值范围即可。
21．【答案】（1）解：因为向量 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
（2）解：因为向量 与向量 的夹角为锐角，所以 ，且向量 与向量 不共线，
所以 ，解得 且 ，
所以 的取值范围为 且
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先求出 ， 的坐标，再由 得 ，列方程可求出 的值；（2）由向量 与向量 的夹角为锐角，可得 ，且向量 与向量 不共线，从而可求出 的取值范围
22．【答案】（1）解：∵向量 ．
由 ，
可得： ，
即 ，
∵x∈[0，π]
∴ ．
（2）解：由
∵x∈[0，π]，
∴
∴当 时，即x＝0时f（x）max＝3；
当 ，即 时 ．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；三角函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据 ，利用向量的运算建立等式关系，即可求出x的值；
（2）由 ，利用向量的运算可得的解析式，化简，结合三角函数的性质可得最大值和最小值以及对应的x的值。
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高中数学人教A版（2019）必修二 6.2 平面向量的数量积课后练习
一、单选题
1．（2020·宝鸡模拟）已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题设可得 ，
因为 ，故 ，
解得 ，
所以 ，故 。
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出m的值，进而求出向量的坐标，再利用向量的模的公式求出向量的模。
2．（2020高三上·宣城期末）已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ，得 ，又因为 ，所以 ，得 ，所以 。
故答案为：A。
【分析】利用两向量垂直数量积为0，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，再结合已知条件，进而求出两向量 与 的夹角 。
3．（2021·玉溪模拟）已知向量 ， 的夹角为120°， ，则 （ ）
A． B． C．7 D．13
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由 可得
，
所以 ．
故答案为：A．
【分析】结合向量模的性质得到，利用数量积的运算性质结合已知条件把数值代入到上式计算出结果即可求出向量模的值。
4．（2020高三上·甘谷月考）设向量 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 与 的夹角为 D． 在 方向上的投影为
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量的投影向量
【解析】【解答】A. ，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；
B. ，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；
C. ， ，所以夹角为 ，正确；
D. 在 方向上的投影为 ，故错误.
故答案为：C。
【分析】利用已知条件结合共线向量的坐标表示判断两向量是否共线；利用两向量垂直数量积为0结合数量积的坐标表示，从而判断出两向量是否垂直；利用数量积求向量夹角公式求出两向量的夹角；再利用向量投影求解公式，从而结合数量积定义求出向量 在向量 方向上的投影，进而找出结论正确的选项。
5．（2020高三上·长沙月考）若向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解： ， ，即 ，
又 ， ， ，得 ，
而 ， ，
故答案为：C．
【分析】根据向量垂直于数量积之间的关系得出，再由数量积的运算公式代入数值即可求出，由此得出夹角的大小即可。
6．（2020高三上·长沙月考）平面向量 ， ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题得 ，
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出两向量 ， 夹角的余弦值。
7．（2020高三上·镇江期中）在边长为 的等边 中， ， ，则 的值为（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】利用平面向量线性运算将 转化为 由，平面向量数量积的定义，可求得结果。
8．（2020高三上·天津期中）如图所示，在菱形 中， ， ， 为 的中点，则 的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 为 的中点，且 为菱形，则 ，
.
故答案为：A.
【分析】根据题意由向量的加法原理求出再由数量积的运算公式代入数值计算出结果即可。
二、多选题
9．（2020高三上·泰州期中）已知向量 ＝(－3，2)， ＝(－1，0)，则下列选项正确的有（ ）
A．( ＋ ) ＝4 B．( ﹣3 )⊥
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意，对于A， + ＝(－4，2)，
所以( ＋ ) ＝－4×(－1)+0=4，A选项正确；
对于B， ﹣3 ＝(0，2)，所以( －3 ) ＝0，
所以( －3 )⊥ ，B选项正确；
对于C， + ＝(－2，2)， ， ，
所以 ，C选项错误；
对于D， ， ，
即 ，D选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】 利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解。
10．（2020高三上·顺德月考）下列命题中，结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则A B C D四点共线；
D．在四边形 中，若 ， ，则四边形 为菱形.
【答案】B,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于A， ，A不符合题意；
对于B，若 ，则 ，所以 ， ，故 ，即B符合题意；
对于C， ，则 或 与 共线，C不符合题意；
对于D，在四边形 中，若 ，即 ，所以四边形 是平行四边形，又 ，所以 ，所以四边形 是菱形，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；
11．（2020高一下·沈阳期末）设向量 ， ，则下列叙述错误的是（ ）
A．若 时，则 与 的夹角为钝角
B． 的最小值为2
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．若 ，则 或
【答案】C,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】对于A选项，若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，则 ，
解得 且 ，A选项中的命题正确；
对于B选项， ，当且仅当 时，等号成立，B选项中的命题正确；
对于C选项， ，与 共线的单位向量为 ，即与 共线的单位向量为 或 ，C选项中的命题错误；
对于D选项， ，即 ，解得 ，D选项中的命题错误.
故答案为：CD.
【分析】根据 与 的夹角为钝角，得出 且 与 不共线，求出k的取值范围，可判断A选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B选项的正误；根据与 共线的单位向量为 可判断C选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D选项的正误.
12．（2020高二上·深圳月考） 是边长为2的等边三角形，已知向量 满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 为单位向量 B． 为单位向量
C． D．
【答案】A,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵等边三角形 的边长为2， ，∴ ，∴ ，A符合题意；
∵ ，∴ ，∴ ，B不符合题意；
由于 ，∴ 与 的夹角为120°，C不符合题意；
又∵ ，
∴ ，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据正三角形的性质与平面向量的线性运算与数量积分析即可.
三、填空题
13．（2020高三上·宁波期末）已知向量 ， 满足 ，则 .
【答案】-5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ， ，即 ，
，即 ，
， ，
。
故答案为：-5。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，进而求出、和的值，再利用数量积的运算法则结合数量积求向量的模公式，进而求出的值。
14．（2020高三上·常州期末）在四边形 中， .若 ，则 .
【答案】-16
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：-16
【分析】利用平面向量的线性运算与数量积运算法则计算即可。
15．（2020高三上·台州期末）已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为120°，则 的最大值是 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设 ， ，
由题意可知，则由 与 夹角为 ，所以 ，①
且 ，②
，③
，④
因为 ，
联立①②③④， ，
令 ，
即 ，
，
整理得 ，
将其看作关于 的方程，若方程有解，则有 ，
整理得 ，解得 ，
因为 ，所以 的最大值是 ，
故答案为： .
【分析】结合已知条件设 ， ， 利用向量的数量积的定义与运算性质得到四个关系式，通过分析得到一个关系式，再令 化简整理，利用关于n的方程有解，求解即可得到答案．
16．（2021·青浦一模）已知向量 的模长为1，平面向量 满足： ，则 的取值范围是 .
【答案】[-1,8]
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意知：不妨设 ， ，
则根据条件可得：
， ，
根据柯西不等式得：
因为 ，
， ，
当且仅当 时取等号；
令 ，则 ，又 ，则 ，
所以 ，当 时， ，即 ；
，而 ，所以当 时， ，即 ，故 的取值范围是[-1,8].
【分析】由题意知：不妨设 ， ,根据，利用柯西不等式可得,再根据的取值范围，得到 的取值范围 。
四、解答题
17．（2020高二上·浦东期末）已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角θ的余弦值；
（2）若 ，求实数 的值和向量 .
【答案】（1）解：由 ， ，
所以 ，
所以 与 的夹角θ的余弦值为
（2）解：若 ，则 ，
所以 ，
即 ，解得 .
.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用向量夹角公式求出 与 的夹角θ的余弦值；
（2）根据题意可得 ，再根据向量的线形坐标运算即可求解。
18．（2020高一上·钦州期末）已知向量 满足： ．
（1）求 与 的夹角；
（2）求 ．
【答案】（1）解：设向量 与 的夹角 ，
，
解得 ，又 ，
（2）解：由向量的模的公式可得：
=
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律以及定义可得结果；
（2）根据 计算可得结果。
19．（2020高二上·上海期中）已知 ， ， .
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1）解：因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）解：
则
化简得：
解得：
此时
=
=
=
=
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由向量的数量积，代值计算即可；（2）由数量积为0，代入计算即可.
20．（2020高三上·北京月考）已知 ， ，记函数 ．
（1）求函数 取最大值时 的取值集合；
（2）设函数 在区间 是减函数，求实数 的最大值．
【答案】（1）解：由题意，得 ，
当 取最大值时，即 ，此时
所以 的取值集合为 ．
（2）解：由 得
，
所以 的减区间 ，
当 ，得 是一个减区间，且
所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的正弦公式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性
【解析】【分析】(1)首先由数量积的坐标公式以及两角和的正弦公式整理求出函数的解析式，结合正弦函数的性质即可求出结果。
(2)根据正弦函数的单调性利用整体思想求出函数的减区间，再对k赋值令k=1就求出具体的区间结合正弦函数图象即可得出，即由此求出m的取值范围即可。
21．（2020高二上·徐汇期中）已知向量 ， ．
（1）若 时，求 的值；
（2）若向量 与向量 的夹角为锐角，求 的取值范围．
【答案】（1）解：因为向量 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
（2）解：因为向量 与向量 的夹角为锐角，所以 ，且向量 与向量 不共线，
所以 ，解得 且 ，
所以 的取值范围为 且
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先求出 ， 的坐标，再由 得 ，列方程可求出 的值；（2）由向量 与向量 的夹角为锐角，可得 ，且向量 与向量 不共线，从而可求出 的取值范围
22．（2020高二上·丽江期中）已知向量 ．
（1）若 ，求x的值；
（2）记 ，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
【答案】（1）解：∵向量 ．
由 ，
可得： ，
即 ，
∵x∈[0，π]
∴ ．
（2）解：由
∵x∈[0，π]，
∴
∴当 时，即x＝0时f（x）max＝3；
当 ，即 时 ．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；三角函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据 ，利用向量的运算建立等式关系，即可求出x的值；
（2）由 ，利用向量的运算可得的解析式，化简，结合三角函数的性质可得最大值和最小值以及对应的x的值。
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