13.4课题学习 最短路径问题 教学设计 2023—2024学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.4课题学习 最短路径问题 教学设计 2023—2024学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 150.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-29 07:38:14 | ||
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文档简介
13.4课题学习 最短路径问题
【内容解析】
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．
【教学目标】
（1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
（2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想．
【教学重、难点】
利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
【教学过程】
一、情境引入
一位将军要从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？
[设计意图]利用问题情景，从学生熟悉的生活情景中抛出数学问题，既增强学生的探究欲望，调动学生学习热情.同时也体现了数学与生活的联系.
二、导入新知
1.你能从这个实际问题中抽象出数学模型吗？
师生活动：学生回答——将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线，如图.
2.你能用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：设C是直线l上的一个动点，当C在l 的什么位置时，AC与CB的和最小.
设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
三、自主探究
问题1 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充.
如果学生有困难，教师可适时提示：
（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？
（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB = C B′吗
（3）此时，点B与点B′有怎样的位置关系？
师生活动：学生叙述，教师板书，并画图，同时学生在自己的练习本上画图.
[设计意图]通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难与解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.
问题2：你能证明AC +BC最短吗？
师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书.
证明：在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC最短．
追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线上任取一点C′（与点C 不重合）呢？
师生活动：学生互相交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合），与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小.
[设计意图]让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.
追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，并互相补充.
[设计意图]让学生进一步体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富教学活动经验.
四、类比探究
如图所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
1.抽象出数学图形及数学问题.
如图，a∥b,点A 和点B是两条平行线a与b外的两点，当点Ｎ在直线b的什么位置时， AM+MN+NB最小？
2.教师结合几何画板演示让学生观察：
随着点Ｎ在直线b上的位置的改变，观察 AM、MN 、NB 的长度，你有什么发现？
3.小组讨论，交流，全班展示解决问题方法：
方法呈现（之一）
将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A′连接A′B ,线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，
问题：
1.上述最短路径问题，我们借助了哪些图形变化将问题化难为易，运用了什么知识解决的？
2.你能说说解决最短路径问题的基本策略吗？
五、随堂练习
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
六、课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：
1.本节课研究的最短路径问题主要用到了什么知识？
2.轴对称与平移在所研究问题中起什么作用？
七、布置作业
课本第91页复习题13的第15题
【内容解析】
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．
【教学目标】
（1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
（2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想．
【教学重、难点】
利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
【教学过程】
一、情境引入
一位将军要从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？
[设计意图]利用问题情景，从学生熟悉的生活情景中抛出数学问题，既增强学生的探究欲望，调动学生学习热情.同时也体现了数学与生活的联系.
二、导入新知
1.你能从这个实际问题中抽象出数学模型吗？
师生活动：学生回答——将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线，如图.
2.你能用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：设C是直线l上的一个动点，当C在l 的什么位置时，AC与CB的和最小.
设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
三、自主探究
问题1 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充.
如果学生有困难，教师可适时提示：
（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？
（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB = C B′吗
（3）此时，点B与点B′有怎样的位置关系？
师生活动：学生叙述，教师板书，并画图，同时学生在自己的练习本上画图.
[设计意图]通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难与解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.
问题2：你能证明AC +BC最短吗？
师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书.
证明：在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC最短．
追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线上任取一点C′（与点C 不重合）呢？
师生活动：学生互相交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合），与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小.
[设计意图]让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.
追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，并互相补充.
[设计意图]让学生进一步体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富教学活动经验.
四、类比探究
如图所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
1.抽象出数学图形及数学问题.
如图，a∥b,点A 和点B是两条平行线a与b外的两点，当点Ｎ在直线b的什么位置时， AM+MN+NB最小？
2.教师结合几何画板演示让学生观察：
随着点Ｎ在直线b上的位置的改变，观察 AM、MN 、NB 的长度，你有什么发现？
3.小组讨论，交流，全班展示解决问题方法：
方法呈现（之一）
将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A′连接A′B ,线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，
问题：
1.上述最短路径问题，我们借助了哪些图形变化将问题化难为易，运用了什么知识解决的？
2.你能说说解决最短路径问题的基本策略吗？
五、随堂练习
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
六、课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：
1.本节课研究的最短路径问题主要用到了什么知识？
2.轴对称与平移在所研究问题中起什么作用？
七、布置作业
课本第91页复习题13的第15题