人教版数学八年级上册 14.2.2 完全平方公式 课件（3课时）

(共45张PPT)
14.2.2完全平方公式
探究
计算下列各式,你能发现什么规律
(p+1)2 = (p+1) (p+1) = ______；
(m+2)2= _________;
(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
(m-2)2 = __________.
p2+2p+1
m2+4m+4
p2-2p+1
m2-4m+4
我们再来计算(a+b)2, (a-b)2
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2 .
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 = a2-2ab +b2.
一般地,我们有
公式特点：
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式。
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；
首平方，尾平方，积的2倍在中央
完全平方公式的特点
b
b
a
a
(a+b)
a
b
ab
ab
+
+
完全平方和公式：
完全平方公式的图形理解
a
a
b
b
(a-b)
a
ab
ab
b
b
b
完全平方差公式：
完全平方公式的图形理解
例3 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2
解： (y- )2=
=y2
(2)(y- )2
y2
-2 y
+ ( )2
-y
+
每位同学出一道要求运用完全平方公式来解的计算题。然后同位交换互测。
例4：运用完全平方公式计算：
(1) 1022
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404
(2) 992
解： 992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801
1012
9.92
利用完全平方公式计算：
一试身手
本节课你学到了什么
这节课你学到了什么知识？
通过这节课的学习你有何感想与体会？
完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
注意：项数、符号、字母及其指数。
14.2.2完全平方公式
记忆口诀：
相同项平方减去相反项平方
(a+b)(a–b)=a2-b2
1、平方差公式
2. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
记忆口诀：
首平方，尾平方，2倍乘积放中央，
符号看前方。
学习目标
2.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式；
3.初步掌握完全平方公式的变化形式。
1.会添括号应用乘法公式计算；
1.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a-3b)=
（2）(3+a)(-3+a)=
（3）(2x-y)(-2x-y)=
2.利用完全平方公式计算
（1）(2x+3)2 （2）(a 3b)2
a2-9b2
a2-9
y2-4x2
4x2+12x+9
a2-6ab+9b2
3.去括号．
（1）a+（b+c）= 。
（2）a-（b-c）= 。
4、添加括号使得下列等式成立：
(1)a+b+c=a+ ( )
(2)a-b+c=a- ( )
添括号时，如果括号前面是正号，括号里面的各项 ，如果括号前面是负号，括号里面的各项 。
b+c
b-c
不变符号
改变符号
a+b+c
a-b+c
注意

5.添括号：
(1) a+b-c=a+( )
（2）a-b+c=a-( )
（3）a-b-c=a-( ）
b-c
b-c
b+c
运用乘法公式计算：
（1）(a+b+3)(a+b-3)
问题一
解：原式=
=( )2 32
a+b
=a2 +2ab+b2-9
温馨提示：将(a+b)看作一个整体
[ (a+b) +3] [ (a+b) -3]
（1）(a+b+3)(a+b-3)
你还有其他方法吗？
a+b-c=a+( )
a-b+c=a-( )
运用乘法公式计算：
（2）(a+b-c)(a-b+c)
b-c
b+c
解：原式=
=a2 ( b-c)2
=a2 -（b2-2bc+c2)
温馨提示：
将(b-c)看作一个整体.
[ a+ ( b-c)] [ a- ( b-c)]
（2）(a+b-c)(a-b+c)
=a2 -b2+2bc-c2
计算
(a+b+c)2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
问题二
你有几种方法？
计算：(x+3)2-x2
你能用几种方法进行计算 试一试。
解:方法一
(x+3)2-x2
=x2＋6x+9-x2
=6x+9
完全平方公式 合并同类项
问题三
解:方法二：
(x+3)2-x2
=(x+3+x)(x+3-x)
=(2x+3)·3
=6x+9
平方差公式 单项式乘多项式.
计算:(x+5)2–(x+2)(x-2)
解: (x+5)2-(x+2)(x-2)
=x2+10x+25-(x2-4)
= x2+10x+25-x2+4
=10x+4
温馨提示：注意添括号。
问题四
当堂训练 反馈效果
（1）(a-b+3)(a-b-3)
（2）(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)
（3） a2-(a-1)2
（4）(a+2b-1)2
能力提高
已知:a+b=5,ab=6,
则a2+b2的值是 。
变式一：a2+b2＝(a+b)2 - 。
2ab
13
已知：a-b=5,ab=6,
则a2+b2的值是 。
变式二：a2+b2＝(a-b)2+ 。
2ab
37
变式四：(a+b)2=(a-b)2+ 。
已知：(a+b)2=8 ab=1
则(a-b)2= .
4
变式三：(a-b)2=(a+b)2- 。
4ab
4ab
完全平方公式的变化形式
变式一： a2+b2=(a+b)2-2ab
变式二： a2+b2=(a-b)2+2ab
变式五：(a+b)2-(a-b)2=4ab
变式三：(a+b)2=(a-b)2+4ab
变式四：(a-b)2=(a+b)2-4ab
1.已知(a-b)2＝13，ab= 3
则a+b= .
2.已知(a+b)2＝5，
(a-b)2＝6，
则a2+b2= .
14.2乘法公式（第3课时）
请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．
（1）4+（5+2） （2）4-（5+2）
（3）a+（b+c） （4）a-（b-c）
解:（1）4+（5+2）=4+5+2=11
（2）4-（5+2）=4-5-2=-3
（3）a+（b+c）=a+b+c
（4）a-（b-c）=a-b+c
去括号法则：
去括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．
∵4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：
（1）4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2）
左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以总结出添括号法则来呢？
添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( );
a – b – c = a – ( ) ;
a - b + c = a – ( );
a + b + c = a - ( ).
能否用去括号法则检查添括号是否正确
现 在 就 练
例5 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ]
= x2- (2y- 3)2
= x2- ( 4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
(a + b +c ) 2
= [ (a+b) +c ]2
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
1.运用乘法公式计算:
(a + 2b – 1 ) 2 ;
(2x +y +z ) (2x – y – z )
2.如图,一块直径为a+b的圆形钢板,从中挖去直径分别为a与b的两个圆,求剩下的钢板的面积.
现 在 就 练
通过本节课的学习，你有何收获和体会？
2、我体会到了转化思想的重要作用，学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等等
1、我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．
同学们总结得很好．在今后的学习中希望大家继续勇敢探索，一定会有更多发现