【精品解析】人教A版（2019） 必修一 4.2 指数函数

人教A版（2019） 必修一 4.2 指数函数
一、单选题
1．（2020高二下·重庆期末）设 ： ， ： ，则 是 的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2020高二下·宿迁期末）设 则“ ”是“ ”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
3．（2020高二下·张家口期中）某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2020高二下·深圳期中）已知集合 则 （　　）
A． B．
C． D．
5．（2020高一下·宜宾月考）若0A．第一、二象限 B．第二、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
6．（2020高一下·泸县月考）不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高一上·金华期末）下列函数中，在 上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高一上·嘉兴期末）设函数 ，则它的值域为（　　）
A．(0，1) B．(0，2) C．(1，+∞) D．(2，+∞)
9．（2020·江西模拟）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2019高一上·郁南月考）已知指数函数y=(a+2)x，则实数a的取值范围是（　　）.
A．(-2，+∞) B．[-2，+∞)
C．(-2，-1) （-1，+∞） D．(1，2)∪(2，+∞)
11．（2019高一上·辽源期中）若函数 是指数函数，则 的值为（　　）
A．2 B．-2 C． D．
12．（2019高一上·镇海期中）已知函数 ， ，则以下结论正确的是（　　）
A．任意的 ， 且 ，都有
B．任意的 ， 且 ，都有
C． 有最小值，无最大值
D． 有最小值，无最大值
13．（2019高一上·丰台期中） （　　）.
A． B．
C． D．
二、填空题
14．（2020高二下·长春期末）函数 且 的图象过定点，这个点的坐标为　 　
15．（2020高一上·石景山期末）已知函数 是指数函数，如果 ，那么 　 　 （请在横线上填写“ ”，“ ”或“ ”）
16．（2019高一上·辽宁月考）若 ，则实数 的取值范围是　 　.
17．（2019高一上·长沙月考）设函数 ，则满足 的 的取值范围是　 　.
18．（2019高一上·浙江期中）若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是　 　．
19．（2019高一上·浙江期中）函数 的定义域　 　，值域为　 　
三、解答题
20．（2019高一上·丹东月考）已知函数 是 上的偶函数．
（1）求 值；
（2）解 的不等式的解集；
（3）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
21．（2019高一上·吉林期中）已知指数函数 且 的图象经过点 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ，求x的取值集合．
22．（2019高一上·哈尔滨期中）已知函数 （ 、 为常数且 ， ）的图象经过点 ， .
（1）试求 、 的值；
（2）若不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】对于 ： ，解得 或者 ；
对于 ： ，可得 ，即 ，
显然 ，即 是 的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】解不等式，可知 ，即可选出答案.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】 ，则 ； ，则 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】分别解不等式，根据解集的范围大小关系得到答案.
3．【答案】D
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】不妨设现在乡镇人口总数为a，则现在乡镇粮食总量为 ，
故经过x年后，乡镇人口总数为 ，乡镇粮食总量为 ，
故经过x年后，人均占有粮食 .
故答案为：D.
【分析】根据题意，分别求得 年后人口总量和粮食总量关于x的表达式，即可求得y.
4．【答案】A
【知识点】并集及其运算；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为
所以 ，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】先利用一元二次不等式的解法和指数函数的值域，化简集合M，N，再利用并集的概念求解.
5．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为0故选A.
【分析】利用指数函数的图象与性质，得到当06．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】因为y＝2x在R上是增函数， ，
所以2x﹣7<4x﹣1，
即x>﹣3
所以不等式的解集是{x|x>﹣3}，
故选D.
【分析】利用指数函数y＝2x在R上的单调性，得出关于x的不等式2x﹣7<4x﹣1，解此不等式，从而得出不等式的解集；
7．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】A.显然 在 上单调递增；B.显然 在 上单调递减；
C.令 ，则 ，其不是单调函数，故 也不是单调函数；
D.令 ，则 ，其不是单调函数，故 也不是单调函数；
故答案为：A.
【分析】利用指数函数的单调性逐一判断.
8．【答案】A
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】由题： ， ， ，
所以
的值域为 .
故答案为：A
【分析】根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解.
9．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ， ， ，
.
故答案为：A
【分析】根据幂函数的单调性比较大小.
10．【答案】C
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】由题得 且 ，
所以 且 .
故答案为：C
【分析】解不等式 且 即得解.
11．【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：∵函数f（x）＝（ a﹣3） ax是指数函数，
∴ a﹣3＝1，a＞0，a≠1，
解得a＝8，
∴f（x）＝8x，
∴f（ ） 2 ，
故答案为：D．
【分析】根据指数函数的定义可得 a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x 代入可得答案．
12．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】A： 在 上均是增函数，所以 是 上增函数，故错误；
B：因为 ，所以 是偶函数，所以 在 上不可能是减函数，故错误；
C：因为 ，所以 是奇函数，又 在 上是增函数，所以 无最值，故错误；
D：任意的 ， 且 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 在 上单调递增，因为 是偶函数，所以 在 上单调递减，所以 ，无最大值，故正确.
故答案为：D.
【分析】A：根据函数解析式直接判断 的单调性，可判断对错；B：利用奇偶性判断 的单调性，即可判断对错；C：利用奇偶性和单调性判断最值情况；D：利用奇偶性和单调性判断最值情况.
13．【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数解析式可得：y= 可得值域为：0由指数函数的性质知：在( ∞,0)上单调递增；在(0,+∞)上单调递减。
故答案为：D.
【分析】由已知函数解析式，可得值域，再利用指数函数的性质，即可判断函数的大致图象.
14．【答案】(1,3)
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】令 ， ，
所以函数 过定点(1,3).
故答案为:(1,3).
【分析】令 ，即可求解函数 过定点的坐标.
15．【答案】>
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数 是指数函数，
设 ，
则 ，
解得 或 （舍去）
所以 ，是增函数，
所以 ，
故答案为：
【分析】由题意设 ，根据 求出解析式，即可比较 ， 的大小.
16．【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由题得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ,
所以a的取值范围为 .
故答案为：
【分析】由题得 即 ，解分式不等式得解.
17．【答案】01＜x＜10或x＞3
【知识点】指数函数单调性的应用；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】当 时， 或 ，因为 ，所以 或 ；
当 时， ，因为 ，所以 .
综合得 或 .
故答案为： 或 .
【分析】当 时， 或 ；当 时， ，综合即得解.
18．【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】令 ，∵ ，∴ ，
∵ 恒成立，∴ 恒成立，
∵ ，当且仅当 时，即 时，表达式取得最小值，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】设 ，将原不等式转化成 恒成立，从而求出 的范围．
19．【答案】；
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由 ，得 ，所以 的定义域为 ，
因 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 的值域为 .
故答案为： ； .
【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解 的取值集合得函数的定义域从而可得函数的值域.
20．【答案】（1）解：∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x）恒成立，
∴f（﹣x）﹣f（x）＝0恒成立，
∴ ，恒成立，
即 恒成立，
，
∵a＞0，∴a＝1，∴a＝1
（2）解：由（1）知 ，
设2x＝t，则不等式即为 ，
∴ ，
所以原不等式解集为（﹣2，2）
（3）解：f（x）＝2x+2﹣x﹣1，
mf（x）≥2﹣x﹣m，
即m 在（0，+∞）恒成立，
设t＝2x，（t＞1），则m 在t＞1恒成立，
又y 在t＞1单调递减，得
故 ．
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求出a的值即可；（2）设2x＝t，则不等式即为 ，再解关于x的不等式即可；（3）问题转化为m 在（0，+∞）恒成立，设t＝2x，（t＞1），则m 在t＞1恒成立，从而求出m的范围即可．
21．【答案】（1）解：由题意设 （ 且 ），
∴ 的图象经过点
∵ ，解得 ，
∴ ．
（2）解：由（1）得函数 在R上为增函数．
∵ ，
∴ ，
整理得 ，解得 或 ，
∴实数 的取值范围为 或 .
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）代入点 即可求出底数，写出函数解析式（2）根据函数的单调性，可得 ，求解即可.
22．【答案】（1）解：由题意可得 ，解得 ，
（2）解：由于不等式 在 时恒成立，则 ，
由于指数函数 在 上是减函数，则 ， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；指数函数的概念与表示；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）将 、 两点的坐标代入函数 的解析式，可得出关于 、 的方程组，由此解出 、 的值；（2）由题意得出 ，利用指数函数的单调性求出函数 在区间 上的最小值，即可求出实数 的取值范围.
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一、单选题
1．（2020高二下·重庆期末）设 ： ， ： ，则 是 的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】对于 ： ，解得 或者 ；
对于 ： ，可得 ，即 ，
显然 ，即 是 的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】解不等式，可知 ，即可选出答案.
2．（2020高二下·宿迁期末）设 则“ ”是“ ”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】 ，则 ； ，则 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】分别解不等式，根据解集的范围大小关系得到答案.
3．（2020高二下·张家口期中）某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】不妨设现在乡镇人口总数为a，则现在乡镇粮食总量为 ，
故经过x年后，乡镇人口总数为 ，乡镇粮食总量为 ，
故经过x年后，人均占有粮食 .
故答案为：D.
【分析】根据题意，分别求得 年后人口总量和粮食总量关于x的表达式，即可求得y.
4．（2020高二下·深圳期中）已知集合 则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为
所以 ，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】先利用一元二次不等式的解法和指数函数的值域，化简集合M，N，再利用并集的概念求解.
5．（2020高一下·宜宾月考）若0A．第一、二象限 B．第二、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为0故选A.
【分析】利用指数函数的图象与性质，得到当06．（2020高一下·泸县月考）不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】因为y＝2x在R上是增函数， ，
所以2x﹣7<4x﹣1，
即x>﹣3
所以不等式的解集是{x|x>﹣3}，
故选D.
【分析】利用指数函数y＝2x在R上的单调性，得出关于x的不等式2x﹣7<4x﹣1，解此不等式，从而得出不等式的解集；
7．（2020高一上·金华期末）下列函数中，在 上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】A.显然 在 上单调递增；B.显然 在 上单调递减；
C.令 ，则 ，其不是单调函数，故 也不是单调函数；
D.令 ，则 ，其不是单调函数，故 也不是单调函数；
故答案为：A.
【分析】利用指数函数的单调性逐一判断.
8．（2020高一上·嘉兴期末）设函数 ，则它的值域为（　　）
A．(0，1) B．(0，2) C．(1，+∞) D．(2，+∞)
【答案】A
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】由题： ， ， ，
所以
的值域为 .
故答案为：A
【分析】根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解.
9．（2020·江西模拟）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ， ， ，
.
故答案为：A
【分析】根据幂函数的单调性比较大小.
10．（2019高一上·郁南月考）已知指数函数y=(a+2)x，则实数a的取值范围是（　　）.
A．(-2，+∞) B．[-2，+∞)
C．(-2，-1) （-1，+∞） D．(1，2)∪(2，+∞)
【答案】C
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】由题得 且 ，
所以 且 .
故答案为：C
【分析】解不等式 且 即得解.
11．（2019高一上·辽源期中）若函数 是指数函数，则 的值为（　　）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：∵函数f（x）＝（ a﹣3） ax是指数函数，
∴ a﹣3＝1，a＞0，a≠1，
解得a＝8，
∴f（x）＝8x，
∴f（ ） 2 ，
故答案为：D．
【分析】根据指数函数的定义可得 a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x 代入可得答案．
12．（2019高一上·镇海期中）已知函数 ， ，则以下结论正确的是（　　）
A．任意的 ， 且 ，都有
B．任意的 ， 且 ，都有
C． 有最小值，无最大值
D． 有最小值，无最大值
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】A： 在 上均是增函数，所以 是 上增函数，故错误；
B：因为 ，所以 是偶函数，所以 在 上不可能是减函数，故错误；
C：因为 ，所以 是奇函数，又 在 上是增函数，所以 无最值，故错误；
D：任意的 ， 且 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 在 上单调递增，因为 是偶函数，所以 在 上单调递减，所以 ，无最大值，故正确.
故答案为：D.
【分析】A：根据函数解析式直接判断 的单调性，可判断对错；B：利用奇偶性判断 的单调性，即可判断对错；C：利用奇偶性和单调性判断最值情况；D：利用奇偶性和单调性判断最值情况.
13．（2019高一上·丰台期中） （　　）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数解析式可得：y= 可得值域为：0由指数函数的性质知：在( ∞,0)上单调递增；在(0,+∞)上单调递减。
故答案为：D.
【分析】由已知函数解析式，可得值域，再利用指数函数的性质，即可判断函数的大致图象.
二、填空题
14．（2020高二下·长春期末）函数 且 的图象过定点，这个点的坐标为　 　
【答案】(1,3)
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】令 ， ，
所以函数 过定点(1,3).
故答案为:(1,3).
【分析】令 ，即可求解函数 过定点的坐标.
15．（2020高一上·石景山期末）已知函数 是指数函数，如果 ，那么 　 　 （请在横线上填写“ ”，“ ”或“ ”）
【答案】>
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数 是指数函数，
设 ，
则 ，
解得 或 （舍去）
所以 ，是增函数，
所以 ，
故答案为：
【分析】由题意设 ，根据 求出解析式，即可比较 ， 的大小.
16．（2019高一上·辽宁月考）若 ，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由题得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ,
所以a的取值范围为 .
故答案为：
【分析】由题得 即 ，解分式不等式得解.
17．（2019高一上·长沙月考）设函数 ，则满足 的 的取值范围是　 　.
【答案】01＜x＜10或x＞3
【知识点】指数函数单调性的应用；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】当 时， 或 ，因为 ，所以 或 ；
当 时， ，因为 ，所以 .
综合得 或 .
故答案为： 或 .
【分析】当 时， 或 ；当 时， ，综合即得解.
18．（2019高一上·浙江期中）若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】令 ，∵ ，∴ ，
∵ 恒成立，∴ 恒成立，
∵ ，当且仅当 时，即 时，表达式取得最小值，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】设 ，将原不等式转化成 恒成立，从而求出 的范围．
19．（2019高一上·浙江期中）函数 的定义域　 　，值域为　 　
【答案】；
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由 ，得 ，所以 的定义域为 ，
因 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 的值域为 .
故答案为： ； .
【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解 的取值集合得函数的定义域从而可得函数的值域.
三、解答题
20．（2019高一上·丹东月考）已知函数 是 上的偶函数．
（1）求 值；
（2）解 的不等式的解集；
（3）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x）恒成立，
∴f（﹣x）﹣f（x）＝0恒成立，
∴ ，恒成立，
即 恒成立，
，
∵a＞0，∴a＝1，∴a＝1
（2）解：由（1）知 ，
设2x＝t，则不等式即为 ，
∴ ，
所以原不等式解集为（﹣2，2）
（3）解：f（x）＝2x+2﹣x﹣1，
mf（x）≥2﹣x﹣m，
即m 在（0，+∞）恒成立，
设t＝2x，（t＞1），则m 在t＞1恒成立，
又y 在t＞1单调递减，得
故 ．
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求出a的值即可；（2）设2x＝t，则不等式即为 ，再解关于x的不等式即可；（3）问题转化为m 在（0，+∞）恒成立，设t＝2x，（t＞1），则m 在t＞1恒成立，从而求出m的范围即可．
21．（2019高一上·吉林期中）已知指数函数 且 的图象经过点 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ，求x的取值集合．
【答案】（1）解：由题意设 （ 且 ），
∴ 的图象经过点
∵ ，解得 ，
∴ ．
（2）解：由（1）得函数 在R上为增函数．
∵ ，
∴ ，
整理得 ，解得 或 ，
∴实数 的取值范围为 或 .
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）代入点 即可求出底数，写出函数解析式（2）根据函数的单调性，可得 ，求解即可.
22．（2019高一上·哈尔滨期中）已知函数 （ 、 为常数且 ， ）的图象经过点 ， .
（1）试求 、 的值；
（2）若不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得 ，解得 ，
（2）解：由于不等式 在 时恒成立，则 ，
由于指数函数 在 上是减函数，则 ， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；指数函数的概念与表示；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）将 、 两点的坐标代入函数 的解析式，可得出关于 、 的方程组，由此解出 、 的值；（2）由题意得出 ，利用指数函数的单调性求出函数 在区间 上的最小值，即可求出实数 的取值范围.
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