2015连线中考数学一轮复习系列专题15三角形与解直角三角形

第十五讲 三角形与直角三角形
基础知识
知识点一：三角形的有关概念及性质
三角形的定义：由不在同一直线的三条线段首 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。其中这三条线段叫做三角形的三条边，三条线段两两构成的角叫做三角形的内角。
三角形的分类
①、按三角形的三边的关系分类
②、按三角形的三个角的关系分类
把边和角联系在一起，我们又得到一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
注意：三角形具有稳定性
在同一个三角形中，等边对等角；等角对等边；大角对大边；小角对小边。
三角形的有关线和角
①、线
、边：组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边，其线段的长度成为三角形的边长。
、高：是过三角形的一个顶点向这个顶点的对边作的一条垂线。
、中线：是三角形的一个顶点与这个顶点所对应的边的中点的连线。
、角平分线：从三角形的一个角的顶点引出一条线，把这个角分成两个完全相同的角，这条线叫做三角形这个角的角平分线
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三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°；
推论：
①、直角三角形的两个锐角互余；
②、三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和；
③、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的三边关系定理及推论
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
注：在利用三角形的三边关系时应注意满足“三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的两边之差小于第三边”不一定满足“三角形的两边之和大于第三边”；满足“三角形的两边之和大于第三边”一定满足“三角形的两边之差小于第三边”。
知识点二、解直角三角形
勾股定理
勾股定理的概念：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
数学表达：若为直角三角形，，，的对边分别为，，，且，则。
勾股定理的逆定理：若中，，的对边分别为，，，且，则是的直角三角形。
锐角三角函数
①、锐角三角函数定义：
在中，，设，，，锐角的四个三角函数是：
（1）、正弦定义：在中，锐角的对边与斜边的比叫做角的正弦，记作，即；
（2）、余弦定义：在中，锐角的邻边与斜边的比叫做角的正弦，记作，即；
（3）、正切定义：在中，锐角的对边与邻边的比叫做角的正切，记作，即；
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坡角与坡度（图17-1）
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坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
特殊三角函数值
重点例题分析
例1：一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )
A．6 B．12 C．18 D．36
答案：C
解析：根据题意画出图形17-2
因为D、E、F分别是AF、AC、BC的中点
所以由三角形的中位线定理可知DE=0.5BC，DF=0.5AC，EF=0.5AB
∵AB+CB+AC=36，∴DE+DF+FE=36÷2=18。故选C。
例2：等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
　 A． 12 B． 15 C． 12或15 D． 18
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例3：如图17-3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ）
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A．18° B．24° C．30° D．36°
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例4：如图17-4，在Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 15
．
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( http: / / www.21cnjy.com )例5：如图17-5，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（　　）
A. B．
C． D．
答案：C
解析：如图，过P作PE⊥x轴于E，
∵P（12，5），
∴PE=5，OE=12，
∴tanα==，
故选C．
例6：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA= ；②cosB=；③tanA=；④tanB= ，其中正确的结论是 ②③④
（只需填上正确结论的序号）
答案：②③④
解：如图所示：
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例7：在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= 6
．
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例8：如图17-6，已知∠AOB=60° ( http: / / www.21cnjy.com )，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（　　）
　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
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例9：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　）
　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 8
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例10：如图17-6，Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）
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　 A．: B． C． 4 D． 5
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巩固练习
若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ）
A.5 B.7 C.5或7 D.6
2.如图17-7，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（ ）
A.68° B.32° C.22° D.16°
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3.如图17-8，从热气球C处测得地面 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B. 米 C. 米 D. 米
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4.如图17-9，轮船从B处以每小 ( http: / / www.21cnjy.com )时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里
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A．　　B． C． 50　　D．25
5.如图①是一个直角三角形纸片，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（ ）
　A． cm B． 2cm C． 2cm D． 3cm
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6.如图17-10，在Rt△ABC中，∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A=30°，AB=8，则DE的长度是 ．
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7.如图17-11，Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为　 　．
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8.如图17-12，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）
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9.如图17-13，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长，
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中考预测
1.河堤横断面如图17-14所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（　　）
A．12 B．4米 C．5米 D．6米
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如图17-15，在Rt△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（　　）
A.4 B. C.8 D.
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3.如图17-16，在△ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
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4.在一次数学活动中，李明利用一根拴有 ( http: / / www.21cnjy.com )小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图17-17，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（ ）
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A．(4＋1.6)m B．(12＋1.6)m C．(4＋1.6)m D．4m
5.如图17-18，在四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（ 　）
A. B. C. D.
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6.cos30°的值是 ．
7.如图17-19，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= 35
°．
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8.如图17-20，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= 44°
．
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9.如图17-21，有两棵树，一棵 ( http: / / www.21cnjy.com )高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行　 　米．
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10.如图17-22，有一直角三角形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 ．
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11.如图17-23，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15
度．
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12.已知：如图17-24，在Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长。（结果保留根号）
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13.某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．
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答案：
巩固练习
B
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B
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D
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D
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5、A
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6.2
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中考预测
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9.10
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图17-12
图17-17