课件14张PPT。1.3 算法案例 辗转相除法与更相减损术郑州一中 胡莉萍人教版（数学）必修三引入课题求24与9的最大公约数？知识准备1.3.1辗转相除法与更相减损术 24939961.3.1辗转相除法与更相减损术 (一）自主学习 请同学们结合课本的基础知识，思考解决《学习指导书》第1-2页问题。1.3.1辗转相除法与更相减损术 (二）交流研讨 请同学们讨论各自的疑惑及感悟，提出问题，并相互解决。1. 关于辗转相除法的算理问题 所以 1.3.1辗转相除法与更相减损术 (三）精讲1. 关于辗转相除法的算理问题1.3.1辗转相除法与更相减损术 (三）精讲以上满足：第二步，计算m除以n所得的余数r . 第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；
否则，返回第二步. 第一步，给定两个正整数m，n .2. 设计算法之 算法步骤1.3.1辗转相除法与更相减损术 (三）精讲（1）确立循环体:求m除以n的余数 r, m=n, n=r
（2）初始化变量：输入m, n
（3）设定循环控制条件：r=0？2. 设计算法之 构造循环结构1.3.1辗转相除法与更相减损术 (三）精讲1.3.1辗转相除法与更相减损术 例1 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如图所示： 98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7所以，98与63的最大公约数是7．3. 更相减损术小结 辗转相除法与更相减损术的比较: （1）以除法为主. （2）两个整数差值较大时运算次数较少. （3）相除余数为零时得结果. （1）以减法为主. （2）两个整数差值较大时运算次数较多. （3）相减，两数相等得结果，相减前要做是否都是偶数的判断. （1）都是求最大公约数的方法. （2）二者的实质都是递推的过程. （3）二者都要用循环结构来实现.穷
举
法
程
序
框
图1.3.1辗转相除法与更相减损术 两个正整数 的最小公倍数的算法最小公倍数＝1.3.1辗转相除法与更相减损术 1.必做题：用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果：
（1）228，48；（2）185，98.
2.选做题：求225，135最小公倍数．
3.拓展延伸：请查阅相关书籍资料画出更相减损术这种算法的程序框图，并用语句来描述这个算法．1.3.1辗转相除法与更相减损术 (四）自我测评§1．3 算法案例
第一课时 辗转相除法与更相减损术
授课人：郑州一中 胡莉萍
【知识沙盘】
【自主学习】
A级
1.分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数，写出计算过程.
辗转相除法： 更相减损术：
168=93×1+75 168-93=75
2.根据算法步骤补充完整辗转相除法求最大公约数的程序框图，并根据框图写出程序.
3．将辗转相除法的直到型循环结构改写为当型循环结构, 根据框图写出程序.
思考：（1）初始输入的m,n是否需要比较大小？
（2）输出的结果是m还是n ？
B级
求420，588，1092三个数的最大公约数.
C级(拓展)
求420，588的最小公倍数.
思考：能否将求最大公约的程序框图改编为求最小公倍数的程序呢？
【交流研讨】
请同学们讨论各自的疑惑及感悟，提出问题，并相互解决．
【归类·方法】
使用辗转相除法时，余数是0时得到最大公约数；使用更相减损术时，当减数与差相等时得到最大公约数.
【自我测评】
1. 必做题：用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果：（1）228，48；（2）185，98.
2. 选做题：求225，135最小公倍数.
3. 拓展延伸：请查阅相关书籍资料画出更相减损术这种算法的程序框图，并用语句来描述这个算法.
§1．3 算法案例
第一课时 辗转相除法与更相减损术
授课人：郑州一中 胡莉萍
【知识沙盘】
【自主学习】
A级
1.分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数，写出计算过程.
辗转相除法： 更相减损术：
168=93×1+75 168-93=75
2.根据算法步骤补充完整辗转相除法求最大公约数的程序框图. /
思考：（1）初始输入的m,n是否需要比较大小？
（2）输出的结果是m还是n ？
B级
求420，588，1092三个数的最大公约数.
C级(拓展)
求420，588的最小公倍数.
思考：能否将求最大公约的程序框图改编为求最小公倍数的程序呢？
【交流研讨】
请同学们讨论各自的疑惑及感悟，提出问题，并相互解决．
【归类·方法】
使用辗转相除法时，余数是0时得到最大公约数；使用更相减损术时，当减数与差相等时得到最大公约数.
【自我测评】
1. 必做题：用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果：（1）228，48；（2）185，98.
2. 选做题：求225，135最小公倍数.
3. 拓展延伸：请查阅相关书籍资料画出更相减损术这种算法的程序框图，并用语句来描述这个算法.
课件25张PPT。1.3 算法案例 辗转相除法与更相减损术郑州一中 胡莉萍人教版（数学）必修三算法内容反应了时代的特点 中国古代数学思想在新的层次上的复兴 1.3.1辗转相除法与更相减损术 教材的地位和作用 1.3.1辗转相除法与更相减损术 内容分析 辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法和进位制 经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想。提高逻辑思维能力，发展有条理的思考与数学表达能力 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.(1)初步了解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，不强调对这些知识的记忆与灵活应用，但能根据这些原理进行算法分析，能够画出程序框图表示算法.
(2)模仿、操作、探索、经历设计算法，解决问题的全过程，体会算法的基本思想.
(3)感受算法在解决实际问题中的重要作用，培养学生利用算法解决问题的意识.
(4)在计算机上验证算法，领会数学算法与计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤.1.3.1辗转相除法与更相减损术 教学目标的分析和确定 强调一题多解用不同的算理解决同一个问题
用不同的逻辑结构实现同一个算理 遵循教学过程写算法步骤 画程序框图 编制程序 1.3.1辗转相除法与更相减损术 两条教学建议 算法目标：求两个正整数的最大公约数 知识准备：带余除法教学方法：阅读指导（主体课堂模式） 教学环节：自主学习 交流研讨 精讲 自我测评1.3.1辗转相除法与更相减损术 引入课题求24与9的最大公约数？知识准备1.3.1辗转相除法与更相减损术 24939961.3.1辗转相除法与更相减损术 (一）自主学习(二）交流研讨同学们生成的问题主要有三个方面:（1）辗转相除法的算理问题 （2）对程序框图的理解问题 （3）多题一解和一题多解1.3.1辗转相除法与更相减损术 (二）交流研讨1. 关于辗转相除法的算理问题 所以 1.3.1辗转相除法与更相减损术 (三）精讲1. 关于辗转相除法的算理问题1.3.1辗转相除法与更相减损术 (三）精讲以上满足：第二步，计算m除以n所得的余数r . 第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；
否则，返回第二步. 第一步，给定两个正整数m，n .2. 设计算法之 算法步骤1.3.1辗转相除法与更相减损术 (三）精讲（1）确立循环体:求m除以n的余数 r, m=n, n=r
（2）初始化变量：输入m, n
（3）设定循环控制条件：r=0？2. 设计算法之 构造循环结构1.3.1辗转相除法与更相减损术 (三）精讲1.3.1辗转相除法与更相减损术 1.3.1辗转相除法与更相减损术 例1 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如图所示： 98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7所以，98与63的最大公约数是7．3. 更相减损术小结 辗转相除法与更相减损术的比较: 穷
举
法
程
序
框
图1.3.1辗转相除法与更相减损术 两个正整数 的最小公倍数的算法最小公倍数＝1.3.1辗转相除法与更相减损术 1.必做题：用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果：
（1）228，48；（2）185，98.
2.选做题：求225，135最小公倍数．
3.拓展延伸：请查阅相关书籍资料画出更相减损术这种算法的程序框图，并用语句来描述这个算法．1.3.1辗转相除法与更相减损术 (四）自我测评板书设计本节课基本原则：
认识特殊 推广一般
阅读案例 经历过程 本节课基本流程是：
从解决特殊问题开始到一般问题解决的算法分析，写算法步骤，画程序框图和编制程序．个人思考及建议谢谢，请多批评指导！《算法案例1辗转相除法与更相减损术》说课稿
说课教师：胡莉萍
各位老师：大家好！
一花一世界，一叶一菩提，今天我们就来说一说程序这棵菩提树上的一枚叶子——算法。说课的题目：《算法案例1辗转相除法与更相减损术》。
一、教材分析
（一）地位与作用
对于算法这枚叶子的研究，在我国可谓是历史悠久, 并且还取得了举世公认的伟大成就。 随着现代信息技术的发展，算法日渐融入我们社会生活的方方面面，现代算法的作用之一就是使计算机能代替人完成枯燥的，重复的，繁琐的工作。所以算法进入了中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在新层次上的复兴，更是中国数学课程的一个新特色。
从教材内容上看，算法是数学的一个基本内容。本章前两节介绍了算法的初步知识：基本思想，基本结构，基本语句。教材在第三节安排了三个案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想。提高逻辑思维能力，发展有条理的思考与数学表达能力。
（二）教学目标
1.课标分析
《课程标准》提出的要求是通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。这里有两句话，一个是阅读案例，另一个是体会贡献。表面上看，这个目标不难实现，实际上在阅读算法案例时，需要写算法步骤，画程序框图和编制程序，体现算法逐渐精确的过程，同时还要体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。这就是说阅读案例不是简单的看书，而是经历设计算法，解决问题的全过程。案例教学的关键是理解案例当中的算法核心思想，此外理解算法中新出现的数学知识，是理解案例的必要前提。但教学的重点在于对算法的学习，不强调对这些知识的记忆及灵活应用。通过以上的分析，本节课教学目标确定如下：
教学目标
①初步了解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，不强调对这些知识的记忆与灵活应用，但能根据这些原理进行算法分析，能够画出程序框图表示算法。
模仿、探索、经历设计算法，解决问题的全过程，体会算法的
基本思想。
感受算法在解决实际问题中的重要作用，培养学生利用算法解决问题的意识。
④在计算机上验证算法，领会数学算法与计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
二、教学建议
（一）强调一题多解，用不同的算理解决同一个问题，或用不同的逻辑结构实现同一个算理，这样可以让学生通过对比加深对算理算则的认识，为学生设计算法，体会算法思想提供机会。
（二）遵循写算法步骤，画出程序框图，编制程序，在计算机上验证算法的教学过程，学生经历知识的形成和发展的全过程。
三、教学过程
算法目标：求两个正整数的最大公约数。
知识准备：带余除法。
教学方法：阅读指导。
教学环节：自主学习 交流研讨 精讲 自我测评
自主学习 （用时约为10—15分钟）
首先引入课题，求9 与24的最大公约数，引出最大公约数的表示方法和小学的求法。但小学解法不具有一般性。接着是知识准备：24=9×2+6，说明9与24的最大公约数为什么等于6与9的最大公约数，从而体会去求8251与6105的最大公约数的过程。接着学生进入自主学习环节，自学环节是依据学习指导书来进行，学习指导书中有“知识沙盘”部分，沙盘是知识地貌的的呈现，如果把自主学习比作一次旅行，学习指导书则是指南针，知识沙盘是地图，自主学习就是体现个性化的自助游。在学生自学完毕后，基本可以理清脉络，发现问题，找到解决部分问题的途径。作为指导教师要依据教学评价中的整体性原则、客观性原则做好观察笔记，注重观察整体学生对学习指导书完成的情况，客观准确记录下来普遍学生存在的问题，并根据观察笔记诊断学生存在的共性问题和个性问题问题及时调整精讲的内容。
美国教育学家苏娜丹戴克说：“告诉我，我会忘记；做给我看，我会记住；让我参与，我会完全理解。”自主学习环节的设计是为了给学生最大空间，最长时间的参与。这也是当下课堂改革的精髓。
（二）交流研讨（用时约为5—10分钟）
交流研讨是集思广益，生生互助的过程，在这个环节学生不仅要相互帮助解决疑难问题，还能从中受到启发，发现新问题，从而拓宽自己的思路。作为指导教师，我要耐心倾听，给学生更多的机会，让他们去陈述观点，这个环节不仅提高了学生的沟通能力，更重要的是培养了学生独立思考和创新精神，可使学生认知结构完善，展示自己的独立思想。
在交流研讨中学生生成的问题主要有三个方面：
1.辗转相除法的算理问题，即不理解8251与6105的最大公约数为什么就转化为6105与2146的最大公约数。
2.对程序框图的理解问题 主要有三个方面①循环体如何确定？②为什么初始输入的与，不用比较大小？如果，怎么运行？③最后输出结果是，为什么不是除数？
3.一题多解和多题一解方面，是否还有其他的算法？预测同学们会提出用计算机查找所有约数的方法，或提出能否利用辗转相除法求两个以上甚至多个正整数的最大公约数。
（三）精讲 （用时约为15—20分钟）
精讲是教师针对学生研讨生成的问题而展开，从自身专业角度对学生知识纠错，方法点化，方向指引，漏洞修补。根据同学们生成的问题我分析如下：
关于辗转相除法的算理问题，首先这个新出现的数学知识是理解
算法的必要前提，但教学的重点在于对算法的学习，不强调对这些知识的记忆和灵活应用。为了降低理解上的难度，教学中设计板书如下：
所以
这样我们可以得到8251与6105的最大公约数就等于148与37的最大公约数，也就是37，这种大数化小数的转化思想很有借鉴意义。
再接着我们介绍辗转相除法的关键步骤是带余除法，在学生阅读研讨的基础上指导学生写出以下关系：（下列关系式中，）
若，则 ,
若，则。
特别注意引导学生思考“为什么时，”，然后自然过渡到把辗转相除法编制成计算机程序。
2．关于程序框图方面的问题，
（1）教学中，应先进行算法步骤分析，根据刚才的分析，我们知道带余除法是一个反复执行，直到余数为零才停止的步骤，这就是循环结构。接着写出自然语言描述算法的步骤，关键是第三步，实际上这是数值转移的过程，也是建立循环的基础，然后我们画出程序框图，指导学生构造循环结构的方法是确定循环体，初始化变量和设定循环控制条件。
① 确立循环体:求除以的余数 , ；
② 初始化变量：输入；
③ 设定循环控制条件：？
（2） 关于学生生成的问题最后输出的结果是或的问题，根本原因在于，满足程序结束时，还执行了两个赋值语句，将原来该输出的值赋给了变量，故最后应输出。
（3）关于学生生成的问题输入的，只要执行一次循环，程序就会将的值交换过来，这样就保证了,故不需要比较的大小关系。
（4）《学习指导书》设计有将算法改写为当型循环结构写出辗转相除法的算法步骤、程序框图和程序。目的是通过对程序的变换，让学生再次体会用算法思想解决实际问题的全过程，并加深对直到型和当型两种循环结构的理解。
（5）在例题讲解中，介绍了更相减损术求最大公约数的方法，先按步骤求出最大公约数，再引导学生思考算法原理。这是我国早期解决求最大公约数问题的算法，通过中外数学历史的对比，反映中国古代人民的优秀，让学生体会中国古代数学对世界历史的发展做出的贡献。注意：更相减损术的程序比较复杂，课堂上只要求学生能读懂算理，课后鼓励有能力的学生进行较深入的理解。
3. 总结辗转相除法与更相减损术的联系与区别及算法程序，使学生们对知识有一个系统的认识，抓住关键，培养概括能力，实现知识的升华。
4.最后关于学生提供的其他方法，首先是肯定鼓励大家的开放性思维，然后需要指出的是解决同一个问题可以有多种算法，有优有劣，差异很大。好的算法可以把解决问题的时间由几天缩短到几秒。因而算法分析也成为计算机科学的一个基本研究方向。
第四环节，自我测评
自我测评是对我们精讲的反馈与检测，是给学生本节课的学习做出总结性评价。
自我测评题目：
1.必做题：用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果：（1）228，48；（2）185，98.
2.选做题：求225，135最小公倍数。
3.拓展延伸：请查阅相关书籍资料画出更相减损术这种算法的程序框图，并用语句来描述这个算法。
设计的目的
1.必做题让所有学生再次巩固本节课所学内容；
2.选作题体现算法思想，可供学生提高之用；
3.阅读中国古代类似算法――更相减损法，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感。
为了便于学生的知识系统的建构，我把板书设计如下：
辗转相除法与更相减损术
算法分析
算法步骤
辗转相除法算法框图
更相减损术
四、本节课的思考与建议 告知不如感知，教练不如历练。所以本课时基本原则是，认识特殊，推广一般，阅读案例，经历过程。本节课基本流程是：从解决特殊问题开始到一般问题解决的算法分析，写算法步骤，画程序框图和编制程序。这是关注算法思想，突出重难点的有效处理方法。其中写算法步骤是基础，画程序框图是算理算则的清晰化，编制程序是算法的进一步精确化，教学中应以此为重点，而不是以程序设计为重点。这是案例教学的基调，后续案例教学也用这种办法。此外从人教版和北师大版教材的对比中不难看出，其算法与基本结构是一致的，但采用的程序语句是不同的，从侧面也说明，本章的重点是体会算法的核心思想和依据算理画出程序框图。
最后我想特别说一说，算法初步是新课程新增内容，但算法思想贯穿整个高中数学学习，正因为如此有些教师想改变教学顺序，把算法教学放在最后我认为这是不妥的。此外本章作为数学学科与信息技术学科的交叉学科，在教学中可与信息技术教师在适当的时间共同安排课程,以计算机为工具，以机房为实验室，共同开发算法应用的相关内容。
我的说课到此结束，谢谢！欢迎大家批评指导！
辗转相除法与更相减损术教学设计
郑州市第一中学 胡莉萍
环节
问题
设计意图
师生活动
自主学习
(1)引入课题，求9与24的最大公约数，并用线段度量的方法体会公约数.
(2)知识准备：24=9×2+6，说明9与24的最大公约数为什么等于6与9的最大公约数.
引出最大公约数的表示方法和小学的求法.
体会去求8251与6105的最大公约数的过程.
通过自主学习使学生产生学习的内在动机，增强自信心；培养学生提出问题、解决问题的能力和创造发明的态度；利于学生自己将知识系统化和结构化，以期更好地理解和巩固知识.
学生阅读课本和学习指导书，明了基础知识，在此基础上对重难点进行深入探究，去发现问题、生成问题、自主解决问题.
教师做好观察笔记，注重观察整体学生对学习指导书完成的情况，客观准确记录下来普遍学生存在的问题，并根据观察笔记及时调整精讲的内容.
交流研讨
生成问题
（1）辗转相除法的算理问题
（2）对程序框图的理解问题
（3）一题多解多题一解方面
通过交流研讨利于发挥学生的独立思考和创造精神，可使每个学生认知结构完善，展示自己的思想.
全体学生共同分享自学成果、共同解决疑难问题
老师参与研讨，要把这些新生成的问题自然地不漏痕迹地融合在精讲之中.
精讲
（1）辗转相除法的算理问题，关键步骤：带余除法
带余除法是理解算法的必要前提，但教学的重点在于对算法的学习，不强调对这些知识的记忆和灵活应用.
教师通过归纳得出带余除法.
学生思考动手实验,表述自己的发现;师生共同概括方法.
（2）构造循环体
明确构造循环结构的方法是确定循环体，初始化变量和设定循环控制条件.
教师投影循环结构的确定方法.
学生思考构造循环结构,表述自己的发现;师生共同概括方法.
（3）写算法步骤，画程序框图，编制程序
体验解决问题的全过程，算法步骤是基础，画程序框图是算理算则的清晰化，编制程序是算法的进一步精确化.
教师投影展示课本程序框图.
学生观察程序框图,表述自己的发现;师生共同概括方法.
（5）更相减损术
中外数学历史的对比，反映中国古代人民的优秀，让学生体会中国古代数学对世界历史的发展做出的贡献.
教师投影展示课本例题.
学生思考算理,表述自己的发现;师生共同概括方法.
（6）小结
总结辗转相除法与更相减损术的联系与区别及算法程序，使学生们对知识有一个系统的认识，抓住关键，培养概括能力，实现知识的升华.
学生思考,小组讨论,推举代表叙述,其他同学补充
教师根据学生回答情况进行评价补充.
自我测评
（1）必做题：用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果：①228，48；② 185，98.
（2）选做题：求225，135最小公倍数。
（3）拓展延伸：请查阅相关书籍资料画出更相减损术这种算法的程序框图，并用语句来描述这个算法。
必做题让所有学生再次巩固本节课所学内容；
选作题体现算法思想，可供学生提高之用；
阅读中国古代类似算法――更相减损法，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感.
学生思考,小组讨论,推举代表叙述,其他同学补充.
教师根据学生回答情况进行评价补充.
