三角函数
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三角函数复习
一,知识要点回顾
三角函数主要分为以下几个部分:①概念②同角三角函数,两角和与差的三角函数以及诱导公式(这一部分主要是三角函数的各种相关公式,也是三角函数的基础)③三角函数的图象及性质④三角函数各种性质的应用(包括求值,化简与证明,最值等)⑤解三角形(正余弦定理的应用)
对三角函数,必须对公式以及变形等应用相当熟练,三个常见三角函数的图象与性质也必须熟练掌握,要达到熟练画草图,熟练应用性质等,正余弦定理的使用前提条件要熟悉,并能应用.
二,具体知识分析
①.三角函数概念.
1．角的概念的推广；象限角、轴线角；与角终边相同的角为；
2．角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式、扇形面积公式；
3．任意角的三角函数，三角函数线的定义.
. 注: 要正确利用三角函数线解答“三角函数值的大小比较”和“解简单三角不等式”
利用三角函数的有界性：（利用正、余弦函数的有界性可以解决一些值域或最值计算问题）
例如(1)若，且， 则（ ）
(2)如果是第一象限的角，那么是第几象限的角？(高考中经常用到的基本能力)（3）已知sinθ=，cosθ=，若θ是第二象限角，求实数a的值.
（4）确定下列各式的符号：；
(5) 已知锐角终边上的一点坐标是，则（ ）
练习:
1、（2005年全国卷Ⅲ）已知为第三象限角，则所在的象限是 （ ）
（A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限
（C）第一或第三象限 （D）第二或第四象限
2、已知sin=，cos =－，那么α的终边在
A.第一象限 B.第三或第四象限
C.第三象限 D.第四象限
3.设，如果且，则的取值范围是 （ ）
4、α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cosα=x，则x的值为 ( )
A. B.± C.－ D.－
②同角三角函数,两角和与差的三角函数以及诱导公式
1.公式的记忆.三角函数共有三大组公式,其中,同角三角函数三个公式,两角和与差六个公式,诱导公式二十四个公式,应该说公式量是相当大的,但对公式的记忆,应该灵活掌握.应充分观察公式特点以后进行记忆.一般地,熟记同角三个公式是比较容易,而诱导公式应该用”奇变偶不变,符号看象限”十个字进行归纳记忆,两角和与差的记忆应读熟其顺序.
2.①熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用. ②要时时注意角的范围的讨论.③注意公式的一些常见形式和应用,尤其注意二倍角公式.
③三角函数各种性质的应用(包括求值,化简与证明)
1.此处是三角函数的一个大的考点,既是重点,也是难点.一般分析题目应该遵循以下的顺序:先观察角,再观察函数名,最后综合考察结构特点.以上三点都会是解决题目的突破口,解决的前提是对三角公式的熟悉和能对题目产生合理的联想.
2.三角函数的公式应用等,在高考中,一道题一般不会超过两个公式的应用,并且最多两步就能化简完毕.
3.注意一些常用的技巧.比如”1”的代换,二倍角公式的应用和变形等.
例如:
1.化简：
（1）
（2）
(3 )
2．已知，求的值．
3．已知tan（+α）=2，求：
（1）tanα的值；
（2）sin2α+sin2α+cos2α的值.
4．已知关于的方程的两根为，
求：（1）的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值．
练习:
1.【2005全国卷Ⅲ】设,且,则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
2.【2005湖北卷】若 （ ）
A． B． C． D．
3.【2006湖南文】已知求θ的值.
4. 化简等于 （ ）
5． （ ）
6.【2006安徽文】已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。
7.【2004年湖南，17】已知tan（+α）=2，求的值.
8.【2006年四川卷】已知是三角形三内角，向量，且
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求
9、【2006年安徽卷】已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求
10、已知a=（cosx，sinx），b=（cos，－sin），x∈［0，］.
（1）求a·b及|a+b|；
（2）若f（x）=a·b－2λ|a+b|的最小值是－，求λ的值.
④三角函数的图象及性质
三个常见三角函数的图象必须熟练掌握,主要是五点法画出正弦和余弦的草图.
会用五点法解决和三角函数值有关的具体问题.
3. 给出图象求的解析式,难点在于的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期，进而确定．
4. 的对称轴与对称中心公式.以基本的三角函数为主要的解决手段,必须画出草图.
5. 能熟练掌握三角函数的相关性质,定义域,值域,周期性,单调性,奇偶性,最值点等等.
例如:
（1）将函数的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是 （ ）
（2）先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于轴的对称变换，则所得函数图象对应解析式为 ．
(3 )函数的图象向右平移（）个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为 （ ）
以上都不对
(4) （2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
(5)已知函数是否存在常数,使得的值域为？若存在，求出对应的常数a,b的值。
(6)当函数的最大值为1时,求a的值.
(7)设定义域为的奇函数是减函数，若当时，，求的值．
练习:
1. （2005年福建卷）函数的部分图象如图，则 （ ）
A． B．
C． D．
2. (2004全国)函数的最大值是
3 . (2006湖南文)若是偶函数，则a= .
4. （2006年陕西卷）已知函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）求使函数取得最大值的集合。
⑤三角函数的最值
1.利用三角恒等变形来将三角函数化简成一个比较规范的式子.
主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：
①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；
②，引入辅助角，化为求解方法同类型①；
③，设，化为二次函数在上的最值求之；
④，设化为二次函数在闭区间上的最值求之；
⑤，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；
⑥根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．
2.利用三角函数的图象和性质解决最值问题,主要是要利用草图.
例如:
1．求函数的最大值和最小值．
2．求函数的最大、最小值．
3．求下列各式的最值：（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，求函数的最小值
4．求函数的最小值．
5．已知，则的最大值是 ．
练习:
1．已知函数在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，则该函数的解析式是 （ ）
2．若方程有解，则 ．
3. （2006年天津卷）已知函数（、为常数，，）在 处取得最小值，则函数是 （ ）
A．偶函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点对称
4.（2006年福建卷）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于 （ ）
（A） （B） （C）2 （D）3
5. （2006年上海春卷）已知函数.
（1）若，求函数的值； （2）求函数的值域.
6.( 2006年重庆卷)设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.
7.（2006年陕西卷）已知函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）求使函数取得最大值的集合。
⑥解三角形
主要是对正余弦定理的使用。
例题及练习：（以下均为07年各地高考题目）
1．（广东理16）已知顶点的直角坐标分别为，，．
（1）若，求的值；
（2）若是钝角，求的取值范围．
2．（海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
3．（全国卷1理17）设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
4．（福建理17）在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
5．（全国卷2理17）在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
6．（山东文17）在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
7．（浙江理18）已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
三，高考分析
1．三角函数在高考中一般会出现1到2道选填题目，以及一道大题。其中选填题一般都是对三角函数性质，图象，简单变形，角度推广等的考查，属于中等或者中等偏下的难度。而大题一般分以下几个层次：⑴简单的三角函数恒等变形，并进行求值，求角等运算；⑵考查三角恒等变换及图象性质的综合应用，这种题型是高考中的常考点，题目不难，一般出现在大题的第一或者第二，只要三角应用熟练和细心就好；⑶考查解三角形（正余弦定理）与恒等变形的综合应用；⑷将三角函数与其他知识想联系，主要是向量，不等式，方程和函数等，这一类题目只要能顺利理解各知识的基本涵义，能将其翻译成三角知识就能解决问题。这类题目现在有加大考查力度的趋势。
2．由于三角函数的本质是研究三角形相关问题，所以在学习和应用过程中，应当充分注意以下的几个关键要素：角，边，函数名。其中尤其是角度，必须时刻注意考查在一道题目中角度的合理性和可行性，不要因为角度考查的不仔细造成丢分；而边则是和解三角形息息相关的一个关键量，尤其是解决实际应用问题，更要对边进行充分的考查；函数名是一种解决问题的工具，通过函数名，选择正确和合适的公式，进而采用合理的解题步骤是解决三角函数问题的一种好的方法。
总之，在高考中，应该对三角函数的基本知识和基本公式记忆清楚，应用熟练，能正确翻译和理解三角函数相关知识点，这样才能正确，快速地处理三角函数问题。
一,知识要点回顾
三角函数主要分为以下几个部分:①概念②同角三角函数,两角和与差的三角函数以及诱导公式(这一部分主要是三角函数的各种相关公式,也是三角函数的基础)③三角函数的图象及性质④三角函数各种性质的应用(包括求值,化简与证明,最值等)⑤解三角形(正余弦定理的应用)
对三角函数,必须对公式以及变形等应用相当熟练,三个常见三角函数的图象与性质也必须熟练掌握,要达到熟练画草图,熟练应用性质等,正余弦定理的使用前提条件要熟悉,并能应用.
二,具体知识分析
①.三角函数概念.
1．角的概念的推广；象限角、轴线角；与角终边相同的角为；
2．角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式、扇形面积公式；
3．任意角的三角函数，三角函数线的定义.
. 注: 要正确利用三角函数线解答“三角函数值的大小比较”和“解简单三角不等式”
利用三角函数的有界性：（利用正、余弦函数的有界性可以解决一些值域或最值计算问题）
例如(1)若，且， 则（ ）
(2)如果是第一象限的角，那么是第几象限的角？(高考中经常用到的基本能力)（3）已知sinθ=，cosθ=，若θ是第二象限角，求实数a的值.
（4）确定下列各式的符号：；
(5) 已知锐角终边上的一点坐标是，则（ ）
练习:
1、（2005年全国卷Ⅲ）已知为第三象限角，则所在的象限是 （ ）
（A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限
（C）第一或第三象限 （D）第二或第四象限
2、已知sin=，cos =－，那么α的终边在
A.第一象限 B.第三或第四象限
C.第三象限 D.第四象限
3.设，如果且，则的取值范围是 （ ）
4、α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cosα=x，则x的值为 ( )
A. B.± C.－ D.－
②同角三角函数,两角和与差的三角函数以及诱导公式
1.公式的记忆.三角函数共有三大组公式,其中,同角三角函数三个公式,两角和与差六个公式,诱导公式二十四个公式,应该说公式量是相当大的,但对公式的记忆,应该灵活掌握.应充分观察公式特点以后进行记忆.一般地,熟记同角三个公式是比较容易,而诱导公式应该用”奇变偶不变,符号看象限”十个字进行归纳记忆,两角和与差的记忆应读熟其顺序.
2.①熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用. ②要时时注意角的范围的讨论.③注意公式的一些常见形式和应用,尤其注意二倍角公式.
③三角函数各种性质的应用(包括求值,化简与证明)
1.此处是三角函数的一个大的考点,既是重点,也是难点.一般分析题目应该遵循以下的顺序:先观察角,再观察函数名,最后综合考察结构特点.以上三点都会是解决题目的突破口,解决的前提是对三角公式的熟悉和能对题目产生合理的联想.
2.三角函数的公式应用等,在高考中,一道题一般不会超过两个公式的应用,并且最多两步就能化简完毕.
3.注意一些常用的技巧.比如”1”的代换,二倍角公式的应用和变形等.
例如:
1.化简：
（1）
（2）
(3 )
2．已知，求的值．
3．已知tan（+α）=2，求：
（1）tanα的值；
（2）sin2α+sin2α+cos2α的值.
4．已知关于的方程的两根为，
求：（1）的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值．
练习:
1.【2005全国卷Ⅲ】设,且,则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
2.【2005湖北卷】若 （ ）
A． B． C． D．
3.【2006湖南文】已知求θ的值.
4. 化简等于 （ ）
5． （ ）
6.【2006安徽文】已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。
7.【2004年湖南，17】已知tan（+α）=2，求的值.
8.【2006年四川卷】已知是三角形三内角，向量，且
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求
9、【2006年安徽卷】已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求
10、已知a=（cosx，sinx），b=（cos，－sin），x∈［0，］.
（1）求a·b及|a+b|；
（2）若f（x）=a·b－2λ|a+b|的最小值是－，求λ的值.
④三角函数的图象及性质
三个常见三角函数的图象必须熟练掌握,主要是五点法画出正弦和余弦的草图.
会用五点法解决和三角函数值有关的具体问题.
3. 给出图象求的解析式,难点在于的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期，进而确定．
4. 的对称轴与对称中心公式.以基本的三角函数为主要的解决手段,必须画出草图.
5. 能熟练掌握三角函数的相关性质,定义域,值域,周期性,单调性,奇偶性,最值点等等.
例如:
（1）将函数的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是 （ ）
（2）先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于轴的对称变换，则所得函数图象对应解析式为 ．
(3 )函数的图象向右平移（）个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为 （ ）
以上都不对
(4) （2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
(5)已知函数是否存在常数,使得的值域为？若存在，求出对应的常数a,b的值。
(6)当函数的最大值为1时,求a的值.
(7)设定义域为的奇函数是减函数，若当时，，求的值．
练习:
1. （2005年福建卷）函数的部分图象如图，则 （ ）
A． B．
C． D．
2. (2004全国)函数的最大值是
3 . (2006湖南文)若是偶函数，则a= .
4. （2006年陕西卷）已知函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）求使函数取得最大值的集合。
⑤三角函数的最值
1.利用三角恒等变形来将三角函数化简成一个比较规范的式子.
主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：
①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；
②，引入辅助角，化为求解方法同类型①；
③，设，化为二次函数在上的最值求之；
④，设化为二次函数在闭区间上的最值求之；
⑤，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；
⑥根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．
2.利用三角函数的图象和性质解决最值问题,主要是要利用草图.
例如:
1．求函数的最大值和最小值．
2．求函数的最大、最小值．
3．求下列各式的最值：（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，求函数的最小值
4．求函数的最小值．
5．已知，则的最大值是 ．
练习:
1．已知函数在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，则该函数的解析式是 （ ）
2．若方程有解，则 ．
3. （2006年天津卷）已知函数（、为常数，，）在 处取得最小值，则函数是 （ ）
A．偶函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点对称
4.（2006年福建卷）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于 （ ）
（A） （B） （C）2 （D）3
5. （2006年上海春卷）已知函数.
（1）若，求函数的值； （2）求函数的值域.
6.( 2006年重庆卷)设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.
7.（2006年陕西卷）已知函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）求使函数取得最大值的集合。
⑥解三角形
主要是对正余弦定理的使用。
例题及练习：（以下均为07年各地高考题目）
1．（广东理16）已知顶点的直角坐标分别为，，．
（1）若，求的值；
（2）若是钝角，求的取值范围．
2．（海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
3．（全国卷1理17）设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
4．（福建理17）在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
5．（全国卷2理17）在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
6．（山东文17）在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
7．（浙江理18）已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
三，高考分析
1．三角函数在高考中一般会出现1到2道选填题目，以及一道大题。其中选填题一般都是对三角函数性质，图象，简单变形，角度推广等的考查，属于中等或者中等偏下的难度。而大题一般分以下几个层次：⑴简单的三角函数恒等变形，并进行求值，求角等运算；⑵考查三角恒等变换及图象性质的综合应用，这种题型是高考中的常考点，题目不难，一般出现在大题的第一或者第二，只要三角应用熟练和细心就好；⑶考查解三角形（正余弦定理）与恒等变形的综合应用；⑷将三角函数与其他知识想联系，主要是向量，不等式，方程和函数等，这一类题目只要能顺利理解各知识的基本涵义，能将其翻译成三角知识就能解决问题。这类题目现在有加大考查力度的趋势。
2．由于三角函数的本质是研究三角形相关问题，所以在学习和应用过程中，应当充分注意以下的几个关键要素：角，边，函数名。其中尤其是角度，必须时刻注意考查在一道题目中角度的合理性和可行性，不要因为角度考查的不仔细造成丢分；而边则是和解三角形息息相关的一个关键量，尤其是解决实际应用问题，更要对边进行充分的考查；函数名是一种解决问题的工具，通过函数名，选择正确和合适的公式，进而采用合理的解题步骤是解决三角函数问题的一种好的方法。
总之，在高考中，应该对三角函数的基本知识和基本公式记忆清楚，应用熟练，能正确翻译和理解三角函数相关知识点，这样才能正确，快速地处理三角函数问题。