2015连线中考数学一轮复习系列专题9一次函数和正比例函数

第九讲 一次函数和正比例函数
基础知识
知识点一、一次函数的有关概念
一次函数：一般地，若，则称是的一次函数。其中为一次项系数，为常数项
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正比例函数：当时，，则称是的正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。
知识点二、一次函数的图像及其性质
作函数图像常用方法：五点作图法
一次函数图像与轴、轴的交点坐标：、；正比例函数图像必经过原点。
一次函数的图像与、的关系
的变化 的变化 图像 经过的象限 说明
( http: / / www.21cnjy.com ) 经过一、二、四象限 1、验证方法：五点作图法。2、一次函数的图像是一条直线。3、当时，一次函数中，总是随着的增大而增大。4、当时，一次函数中，总是随着的增大而减小。当，时，一次函数的图像必经过二、四象限；同理可得，当，时，一次函数的图像必经过一、三象限。图像与轴的夹角（锐角）越大，的值越大。于坐标轴围成的三角形面积为：
( http: / / www.21cnjy.com ) 经过二、三、四象限
( http: / / www.21cnjy.com ) 经过一、二、三象限
( http: / / www.21cnjy.com ) 经过一、三、四象限
正比例函数式一次函数的特性，一次函数的性质也符合正比例函数，其图像性质，同学们可以自行通过五点作图法进行验证。
知识点三：一次函数解析式的确定方法
待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列出方程或方程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法；其中的未知系数也称为待定系数。（在一次函数中，待定系数指：和）
用待定系数法求函数解析式步骤
①、设：设含有待定系数的解析式（看是正比例函数还是一次函数）
②、列：根据已知条件列出方程（组）
③、解：解方程（组）
④、还原：将求出来的待定系数带入所设的解析式，得所求的解析式。
知识点四：一次函数与方程（组）、不等式的关系
一次函数与一元一次方程
直线与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。
求直线与轴交点的横坐标，可令得方程，解得方程，是直线与轴交点的横坐标。反之，由函数的图像也能求出对应的一元一次方程的解。
一次函数与二元一次方程组
一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上。
一次函数与一元一次不等式
①、使得一次函数的函数值的自变量的取值范围，即求的解集；反之，求的解集，即求一次函数的函数值的自变量的取值范围。（此处常用图解法求一元一次不等式的解集）
②、用图像法求一元一次不等式（例子）的解集步骤：
、设：设，则求，即求一次函数的函数值的自变量的取值范围。、作：根据五点作图法，作出一次函数的图像
、求：求出一次函数与轴的交点坐标
、解：根据直角坐标系特点，轴上方，恒成立；反之，轴下方，恒成立，故求，即看图像在轴下方部分时，的取值范围。
知识点五：一次函数的平移
根据“点构成线”的性质，一次函数的平移即为一次函数上的点的平移。其平移后的函数的解析式可用“左加右减上加下减”直接算出，注意，其中“左加右减”是相对而言，“上加下减”是相对而言。具体证明如下：
知识点六：一次函数的实际应用
一次函数的实际应用题解题步骤：
分析：分析此题的类型：行程问题、销售问题……
提取：提取题目中的已知条件，并标记：如行程问题，则跟速度、时间、路程有关，应标清楚是什么量。
设题：一般是求什么设什么，但部分题目应先考虑已知条件进行设题。
列：将2、3中的关系用数学式子表示清楚，列出式子。
解：解出式子中未知数的解即可
答：答题。
重点例题分析
例1：已知函数。
当、为何值时，此函数是一次函数？
当、为何值时，此函数是正比例函数？
解析：由一次函数定义可知
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例2：(2014年四川资阳，第5题3分)一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（　　）
A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
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例3：（ 2014 广西贺州，第14题3 ( http: / / www.21cnjy.com )分）已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”或“=”）．
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例4：（2014 毕节地区，第14题3分）如图9-2，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不 ( http: / / www.21cnjy.com )
等式2x≥ax+4的解集为（ ）
A. B. C. D.
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例5：（ 2014 安徽省,第20题10分 ( http: / / www.21cnjy.com )）2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．
（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处 ( http: / / www.21cnjy.com )理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )最小值=70×60+7200=11400（元）．
答：2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元．
例6：（ 2014 珠海， ( http: / / www.21cnjy.com )第16题7分）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；
（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
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巩固提升
1、（2014年广东汕尾，第10题4分）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过（　　）
　 A．第一象限 B． 第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2、（2014 温州，第7题4分）一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（ 　　）
　 A． （0，﹣4） B． （0，4） C． （2，0） D． （﹣2，0）
3、（2014 孝感，第11题3分）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图9-3，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（　 ）
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　 A． ﹣1 B． ﹣5 C． ﹣4 D． ﹣3
4、（2014年云南省，第11题3分）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式）　 　．
5、（2014 株洲，第15题，3 ( http: / / www.21cnjy.com )分）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于　 　．
6、（2014 武汉，第14题3分 ( http: / / www.21cnjy.com )）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图9-4，则这次越野跑的全程为 米．
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7、（ 2014 福建泉州，第24题9分）某 ( http: / / www.21cnjy.com )学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图9-5，试根据图象解决下列问题：
（1）填空：乙的速度v2=　 　米/分；
（2）写出d1与t的函数关系式；
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？
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8、(2014年天津市，第 ( http: / / www.21cnjy.com )23题10分)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
购买种子的数量/kg 1.5 2 3.5 4 …
付款金额/元 7.5 　 　 16 　 　 …
（Ⅱ）设购买种子数量为xkg，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；
（Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量．
9、(2014年天津市， ( http: / / www.21cnjy.com )第25题10分)在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图9-6，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．
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中考预测
1、一次函数的图象如图9-7，则（ ）
A. B. C. D.
2、若一次函数的函数值随的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（ ）
A.＜ B.＞0 C. 0＜ D.＜0或＞
3、如图9-8，已知直线l：，过点M（1，0）作轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交轴于点M1；过点M1作轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M5的坐标为　 　 ．
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4、（2014 新疆，第23题12分） ( http: / / www.21cnjy.com )如图9-10，直线y=﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．
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答案：
巩固提升
A
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B
D
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y=2x
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（5） 4
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2200
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解得 m=或m=．
则m=或m=即为所求．
中考预测
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如：一次函数向右平移1个单位，求平移后函数的解析式。
根据“点构成线”的性质，一次函数图像的平移即为一次函数图像上的点的平移。
可取已知函数上两点和，两点向右平移1个单位，可得：和，则得到的两点在平移后的函数图像上；
设平移后的函数解析式为，因为和在函数图像上，所以：解得：，所以平移后函数的解析式为：；同理，同学们可以证明左加、上加下减的具体情况。