2022-2023学年山东省烟台市招远市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市招远市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，关于的一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
2. 以下命题中，两个直角三角形一定相似；两个等边三角形一定相似；两个菱形一定相似；任意两个矩形一定相似；两个正六边形一定相似其中真命题的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上若线段，则线段的长是( )
A.
B.
C.
D.
4. 关于方程四种的说法正确的是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根
C. 两实数根的和为 D. 两实数根的积为
5. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为( )
A. B. C. D.
7. 若两个数的和为，积为，则以这两个数为根的一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在中，是边上的点，，：：，则与的周长比是( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
9. 中国男子篮球职业联赛简称：，分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛常规赛共要赛场，则参加比赛的队共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10. 如图，在正方形中，对角线，交于点，是边的中点，连接，，分别交，于点，，过点作交的延长线于点以下结论：；；若四边形的面积为，则正方形的面积为；其中结论正确的序号有( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若，则的值是______．
12. 小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是______ ．
13. 如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，、、、都在格点处，与相交于，则 ______ ．
14. 如图，已知，，是数轴上异于原点的三个点，且点为的中点，点为的中点．若点对应的数是，点对应的数是，则______．
15. 在中，，，点在边上，且，点在边上．当______时，与原三角形相似．
16. 已知，当分别取，，，，时，所对应值的总和是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
．
18. 本小题分
如图，中，是中线，点在上，且，．
请直接写出图中所有的相似三角形______ ；
求线段的长．
19. 本小题分
已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且．
求的取值范围；
若取负整数，求的值；
若该方程的两个实数根的平方和为，求的值．
20. 本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：以为位似中心将作位似变换得到，要求，要求：不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，求的面积．
21. 本小题分
随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，以维护老百姓的利益某种药品原价元瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖元瓶求该种药品平均每次降价的百分率．
22. 本小题分
如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作，分别交边、于点、，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
23. 本小题分
某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角阴影部分，两边足够长，用米长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边．
若花园的面积为平方米，求的长；
若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是米，米，要将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积能否为平方米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
24. 本小题分
在“五一”期间，某水果超市调查两种新疆干枣、的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：干枣的进价是每千克元，售价元，干枣的进价是每千克元，售价元．
小张：当干枣销售价每千克元时，每天可售出千克，若每千克降低元，平均每天可多售出千克．
根据他们的对话，解决下面所给的问题：
该水果店第一次用元直接购进这两种干枣共千克，问这两种干枣各购进多少千克？若全部售出，共获得多少利润？
为了给顾客优惠，将销售价定为每千克多少元时，才能使干枣平均每天的销售利润为元？
25. 本小题分
如图，已知中，，，，点从点出发，沿线段以秒的速度运动，同时点从点沿线段以秒的速度运动设运动时间为秒．
填空线段的长为______ ；当秒时，线段的长为______ ；
当为何值时，？
当为何值时，为等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：该方程化简后为，是一元一次方程，不符合题意；
B.当时，不是一元二次方程，不符合题意；
C.该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意；
D.该方程是分式方程，不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义解答即可．
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是，二次项系数不为，是整式方程，含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：任意两个直角三角形，不能判断它们的对应角相等，对应边的比相等，所以不一定相似，故原命题为假命题；
任意两个等边三角形，它们的内角相等，对应边的比相等．所以一定相似，故原命题为真命题；
任意两个菱形，只能判断对应边的比相等，不能判断对应的角相等．所以不一定相似，故原命题为假命题；
任意两个矩形，它们的对应角相等，不能判断对应边的比相等．所以不一定相似，故原命题为假命题；
任意两个正六边形，它们的内角相等，对应边的比相等．所以一定相似，故原命题为真命题．
故选：．
根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．
本题考查的是相似图形，解题的关键是判断对应的角是否相等和对应的边是否成比例．
3.【答案】
【解析】解：过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
，
则，即，
，
故选：．
过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
有两个不相等的实数根，故A、B错误；
设方程的两个根为，，
，，
故C错误，D正确．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系计算后即可作出判断．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程的根与系数以及根的判别式是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，分别连接、、，其所在直线交于点，
则点为所求的位似中心，
故选：．
分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案．
本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：∽，
当测试距离为时，最大的“”字高度为，
，
，解得：，
当测试距离为时，最大的“”字高度为；
故选：．
根据条件可得∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
7.【答案】
【解析】解：、中，，，不符合题意；
B、中，，，不符合题意；
C、中，，，不符合题意；
D、中，，，符合题意．
故选：．
以，为根的一元二次方程的形式是，根据这个公式直接代入即可得到所求方程．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，的两根分别为，，则，．
8.【答案】
【解析】解：，且，
∽，
：：，
：：：．
故选：．
根据，即可得到∽，与的周长比即为相似比：：．
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于他们的相似比是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设参加比赛的队共有支，
由题意得：，
解得：，不合题意舍去，
即参加比赛的队共有个，
故选：．
设参加比赛的队共有支，由题意：参赛的每两个队之间都进行两场比赛，常规赛共要赛场，列出方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：过点作，，如图
，
是正方形，
，，
是矩形，，
是正方形，
，
，
，
，
≌，
，故正确；
设正方形边长为，
是边的中点，
，
，，
，
，故正确；
连接，如图，
是边的中点，
，，
是正方形，
，，
≌，
，
，
，，
，
，，
≌，
四边形的面积为，
，
∽，且，
，，
，
，
，故正确；
是正方形，
，
，
，
由得：≌，
，
∽，
，
由得：≌，
，
，即，故正确，
故选：．
过点作，，根据条件证明≌即可证明；设正方形边长为，结合是边的中点，即可证明；连接，可得，根据条件证明≌和∽即可证明；结合，即可证明．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用换元法求代数式的值，是数学中常用的解题方法．由得出，代入分式求得数值即可．
【解答】
解：由，
，
代入．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，
，，
故答案为：．
由因式分解法解一元二次方程步骤因式分解即可求出．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，方程左边的多项式分解因式，然后根据两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解，本题的方程有些学生容易在方程两边除以，求出，忽略的情况，造成错解方程．
13.【答案】
【解析】解：如图所示，延长交网格线于点，
由网格的特点可知点在格点处，
，
∽，
，
故答案为：．
如图所示，延长交各格线于点，证明∽，即可得到．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：是原点，且是的中点，
，
点表示的数是，
点表示的数是．
是的中点，
，
，
解得：，．
异于原点，
，
．
故答案为：．
由题意可以知道是原点，且是的中点，就有、表示的数互为相反数，就可以表示出点的数，再根据数轴两点间的距离列出方程求出其值即可．
本题考查了数轴与一元二次方程运用及一元二次方程的解法的运用，解答时用代数式表示出各个点表示的数是关键．
15.【答案】或
【解析】解：由题意可知，，，，
若∽，
则
即，
解得：；
若∽，
则，
即，
解得：；
故A或．
故答案为：或．
分别从∽或∽去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
当时，，则，
当时，，则，
所对应值的总和是：，
故答案为：．
利用二次根式的性质得到当时，，当时，，然后计算出所有值的总和即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
17.【答案】解：，
，，，
，
，
或；
，
，
，
或，
或．
【解析】利用解一元二次方程中的公式法计算即可；
利用解一元二次方程中的因式分解法计算即可．
本题主要考查一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等正确选择一元二次方程的解法是解答本题的关键．
18.【答案】∽，∽
【解析】解：，
，
，，
且，
，
，，
∽，
，
，
，
，
又，
，
，，
∽．
故答案为：∽，∽．
由可得∽，
，
，
，
线段的长为．
根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，，推得，根据相似三角形的判定即可证明∽，根据相似三角形的性质可得，推得，根据相似三角形的判定即可证明∽；
根据相似三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19.【答案】解：由题意得：
关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：；
且取负整数，
或，
当时，原方程可化为：且，
解得：，，
，
当时，原方程可化为：且，
解得：，
，
综上所述：的值为或；
由根与系数的关系得：
，，
该方程的两个实数根的平方和为，
，
，，
由可知：，
．
【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，进行计算即可得到答案；
由可得且取负整数，即可得到或，分两种情况：当时，当时，分别解方程，进行计算即可得到答案；
根据一元二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形是解题的关键．
20.【答案】解：如图，即为所要求作的三角形；
过点作，垂足为，
，
，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
和位似，
∽，且相似比为：，
：：，
．
【解析】根据位似图形的作法作图即可；
过点作，垂足为，则，由，得到，，则，在中，由勾股定理得，解得，则，即可得到，由和位似，则∽，且相似比为：，则：：，即可得到的面积．
此题考查位似图形的作图、位似图形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握位似图形的作图和性质是解题的关键．
21.【答案】解：设该种药品平均每次降价的百分率为，
由题意得：，
解得：，不合题意舍去，
，
答：该种药品平均每次降价的百分率为．
【解析】设该种药品平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的单价是原来的，第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
≌，
，
，
四边形是菱形；
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：舍去，
的长为．
【解析】根据矩形的性质，可得，进而证明≌ ，可得，即可证明四边形是菱形；
根据菱形的性质，以及已知条件可得，进而根据勾股定理即可求解．
本题考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：设的长为米，则的长为米，
由题意得：，
解得：，，
即的长为米或米；
花园的面积不能为米，
理由如下：
设的长为米，则的长为米，
由题意得：
，
解得：，
当时，，
即当米，米米，
花园的面积不能为米．
【解析】设的长为米，则的长为米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案；
设的长为米，则的长为米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】解：设购进干枣千克，购进干枣千克，
根据题意可得：
，
解得：，
购进干枣千克，购进干枣千克，
利润为：元；
设干枣的售价定为每千克元，则每千克的销售利润为元，
平均每天可售出千克，
根据题意得：
，
整理得：，
解得：，，
要给顾客优惠，
不符合题意舍去，
，
答：将销售价定为每千克元时，能使干枣平均每天的销售利润为元．
【解析】设购进干枣千克，购进干枣千克，根据“水果店第一次用元直接购进这两种干枣共千克”，列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
设干枣的售价定为每千克元，则每千克的销售利润为元，平均每天可售出千克，根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：由勾股定理得：
，
当秒时，，
线段的长为，
故答案为：，；
由题意可知：
，，则，
当时，即，
解得：，
秒时，，
当时，
可得：，
解得：，
当时，过点作，垂足为点，
，
，，
又，
∽，
即，
解得：，
当时，过点作，垂足为点，
，
，，
又，
∽，
即，
解得：，
当为秒或秒或秒时，为等腰三角形．
根据勾股定理计算即可得到的长，由即可求出的长；
当时，即，进行计算即可得到答案；
分两种情况：当时和当时，根据相似三角形的判定和性质进行计算即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，是解题的关键．
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