人教新课标A版 选修2-3 第一章计数原理
一、单选题
1．（2020高二下·宾县期末）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（ ）
A．7 B．64 C．12 D．81
2．（2020·深圳模拟） 的展开式中 的系数是（ ）.
A．-210 B．-120 C．120 D．210
3．（2020·新高考Ⅰ）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
4．（2020·安徽模拟）若 的展开式中 的系数之和为-10，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2020高二下·湖州期末）袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，则至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．（2020高二下·嘉兴期末）某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A，B，其中A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（ ）
A．21种 B．23种 C．25种 D．27种
8．（2020高二下·宾县期末）设 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．-1
9．（2020高二下·大庆期末）由 这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）
A．180 B．196 C．210 D．224
10．（2020高二下·天津期末）二项式 的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）
A．-160 B．-80 C．80 D．160
11．（2020·江西模拟） 的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x项的系数为（ ）
A．-66 B．-18 C．18 D．66
12．（2020高二下·开鲁期末）已知 ，其中 ，则 =（ ）
A．405 B．810 C．324 D．648
二、多选题
13．（2020高二下·宿迁期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
14．（2020高二下·连云港期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
15．（2020·泰安模拟）若 （ ），则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2020高二下·广东期中）若 且 ，则实数m的值可以为（ ）
A． 3 B． 1 C．0 D．1
三、填空题
17．（2020高二下·上海期末）某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有 .种
18．（2020·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
19．（2020·深圳模拟）有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
20．（2020·桂林模拟）某校 名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共 种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以 人一组或者 人一组.如果 人一组，则必须角色相同；如果 人一组，则 人角色相同或者 人为级别连续的 个不同角色.已知这 名学生扮演的角色有 名士兵和 名司令，其余角色各 人，现在新加入 名学生，将这 名学生分成 组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为 .
四、解答题
21．（2020高二下·徐汇期末）已知 的二项展开式中二项式系数之和为256.
（1）求n的值；
（2）求该展开式中 项的系数.
22．（2020高二下·吉林月考）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？
（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？
（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？
23．（2020高二下·重庆期末）设
（1）求 的值；
（2）求 的值.
24．（2020高二下·栖霞月考）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
（1）共有几种放法？
（2）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
25．（2020高二下·武汉月考）已知二项式 ．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若 ，求二项式的值被7除的余数．
26．（2020高二下·武汉月考）江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).
（1）共有多少种分配方案？
（2）6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？
（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，那么先选择裤子有3种，那么在选上衣有4种，根据分步乘法计数原理，得到结论为3×4=12，
故答案为：C.
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，从而求出不同的配法种数。
2．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理求出 的展开式的通项公式为 所以对应的项的r=7,所以系数 的系数是 ，所以 的系数是-120。
故答案为：B
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，从而求出 的展开式中 的系数。
3．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故答案为：C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
4．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由 ，
则展开式中 的系数为 ，展开式中 的系数为 ，
二者的系数之和为 ，得 .
故答案为：B.
【分析】由 ，进而分别求出展开式中 的系数及展开式中 的系数，令二者之和等于-10，可求出实数a的值.
5．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意，袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，
至少有一个红球的取法有：
①直接法： 种不同的取法；
②间接法： .
故答案为：C.
【分析】根据题意，可分别利用直接法和间接法求解，得到答案.
6．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对r分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
7．【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，
故报考A大学的选择方案有 种；
B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，
故报考B大学的选择方案有 种；
该同学将来想报考这两所大学中的其中一所，
那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有 种.
故答案为：C.
【分析】报考A大学的选择方案有 种，报考B大学的选择方案有 种，利用分步计数原理计算即可得解.
8．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由 ，
令 得： ，①
令 得： ，②
联立①②得：
，
，
即 ，
故答案为：B.
【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得 ， ，代入运算即可得解.
9．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】分两种情况：
⑴个位与百位填入0与8，则有 个；
⑵个位与百位填入1与9，则有 个.
则共有 个.
故答案为：C
【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案．
10．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，
即
解得： ，
二项式 的展开式中，通项 ，
当r=3时，取得常数项， .
故答案为：A
【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n，结合通项即可得到常数项.
11．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ，可得 ，∴ ．
又 的通项公式为 ，
在 的展开式中x的系数为 ．
故答案为：D．
【分析】令 得各项系数和，可求得 ，再由二项式定理求得 的系数，注意多项式乘法法则的应用．
12．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令 可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 ，
两边同时求导得 ，
令 可得 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】令 可得 ，对 两边求导后，再令 即可得解.
13．【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
则合格品的取法有 种，不合格品的取法有 种，
则恰好有1件是不合格品的取法有 种取法；则 正确， 错误；
若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，
①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有 种取法，
②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有 种取法，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种， 正确；
也可以使用间接法：在100件产品中任选3件，有 种取法，
其中全部为合格品的取法有 种，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种取法， 正确；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项，对于 ，由分步计数原理计算可得合格品的取法以及不合格品的取法，由分步计数原理可得 正确， 错误；
对于 ，分2种情况讨论：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，由加法原理可得 ；
对于 ，由间接法分析：先计算在100件产品中任选3件的取法数目，再计算其中全部为合格品的取法，据此分析可得 正确；
综合即可得答案．
14．【答案】C,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】6门中选3门共有 种，A不符合题意；
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 种排法，B不符合题意；
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有 种排法，C符合题意；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 种排法，D符合题意．
故答案为：CD
【分析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.
15．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ， ，
，
当 时， ，
所以 .
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法解决，
对于A：通过给x赋值 即可作出判断；
对于B和C：通过给 赋值 和 ，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；
对于D： ，通过给 赋值 得到结果即可作出判断.
16．【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】因为 ，
令 得： ，
令 得： ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
解得： 或 .
故答案为：AD
【分析】根据 ，令 得到 ，令 得到 ，然后根据 求解.
17．【答案】70
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：
类2门， 类1门，共有 种，
或 类1门， 类2门，共有 ，所以不同的选法共有 种方法.
故答案为：70
【分析】根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数.
18．【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
19．【答案】36
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】任选2名同学去一个小区为，再对三组进行排列为，即种。
【分析】利用实际问题的已知条件结合排列数、组合数解决计数问题的方法，再结合分步乘法计数原理，从而求出不同的安排方法种数。
20．【答案】9
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】依题意， 名学生分成 组，则一定是 个 人组和 个 人组.
①若新加入的学生是士兵，则可以将这 个人分组如下； 名士兵；士兵、排长、连长各 名；营长、团长、旅长各 名；师长、军长、司令各 名； 名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；
②若新加入的学生是排长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；连长、营长、团长各 名；旅长、师长、军长各 名； 名司令； 名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；
③若新加入的学生是连长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；士兵、排长、连长各 名；连长、营长、团长各 名；旅长、师长、军长各 名； 名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；
④若新加入的学生是营长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；排长、连长、营长各 名；营长、团长、旅长各 名；师长、军长、司令各 名； 名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；
⑤若新加入的学生是团长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；排长、连长、营长各 名；旅长、师长、军长各 名； 名司令； 名团长.所以新加入的学生可以是团长.
综上所述，新加入学生可以扮演 种角色.
故答案为： .
【分析】对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下 个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.
21．【答案】（1）解： ，解得 ；
（2）解： ，令
可得 时， ，
即 项的系数为 ．
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，由二项式定理可得 ，解可得 ，（2）先求得展开式的通项，可得 ，将r的值代入通项计算可得答案.
22．【答案】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： .
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）先排教师有 种方法，再排学生有 种方法，再根据分步计数原理即可得到答案；（2）先排4名学生有 种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有 种方法，根据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有 种方法，再从4名学生种选2名排两端，有 种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有 种方法，由乘法原理即可得到答案.
23．【答案】（1）解： 的展开式的通项为
所以
（2）解：当 时， ，
当 时， ，得 ，
所以
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）写出 的展开式的通项即可得到答案；（2）令 ，求出 的值，然后再令 ，求出 的值，从而可求出 的值.
24．【答案】（1）解：每一个球有4种放法，故共有44＝256（种）
（2）解：恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有 种，再放到2个小盒中有 种放法，共有 种方法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有 种放法，
故恰有2个盒子不放球的方法共有 种放法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）明确共有4个球，每个球都有4种放法，盒子可以不放球，根据分步计数原理求解.（2）首先明确有两个盒子不放球的含义是将4个球放入2个盒子中，放球分为两类，一类是1个盒子放3个另一个放1个，二类是两个盒子各放2个，分别求出每一类的放法，再用加法计数原理求解.
25．【答案】（1）解： 二项式 的二项式系数之和为512， ， ．
由 ，解得： ，
展开式中系数最大的项为第8项，为 ．
（2）解：若 ， ，
问题转化为 被7除的余数，
，即余数为2．
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质求得 的值，再根据通项公式可得展开式中第 项的系数，从而求得展开式中系数最大的项．（2）二项式即 ，按照二项式定理展开，问题化为 被7除的余数．再根据 ，按照二项式定理展开，可得它被7除的余数．
26．【答案】（1）解：由题意得：问题转化为不定方程 的非负整数解的个数，
∴方程又等价于不定方程 的正整数解的个数，
利用隔板原理得：方程正整数解的个数为 ，
∴共有多少 种分配方案.
（2）解：将问题转化为不定方程 的正整数解个数，分组后再进行排列，
∵不定方程 的正整数解个数为 ，
∴共有 种方法.
（3）解：设6名学生在3个安检的人数分别为 ，
∵方程 非负整数解的个数等价于方程 的正整数解的个数，
∴6人进站的不同方案种数为 .
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）将问题转化为不定方程 的非负整数解问题，再利用隔板原理进行求解；（2）将问题转化为不定方程 的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解；（3）将问题转化为不定方程方程 的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解.
1 / 1人教新课标A版 选修2-3 第一章计数原理
一、单选题
1．（2020高二下·宾县期末）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（ ）
A．7 B．64 C．12 D．81
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，那么先选择裤子有3种，那么在选上衣有4种，根据分步乘法计数原理，得到结论为3×4=12，
故答案为：C.
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，从而求出不同的配法种数。
2．（2020·深圳模拟） 的展开式中 的系数是（ ）.
A．-210 B．-120 C．120 D．210
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理求出 的展开式的通项公式为 所以对应的项的r=7,所以系数 的系数是 ，所以 的系数是-120。
故答案为：B
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，从而求出 的展开式中 的系数。
3．（2020·新高考Ⅰ）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故答案为：C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
4．（2020·安徽模拟）若 的展开式中 的系数之和为-10，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由 ，
则展开式中 的系数为 ，展开式中 的系数为 ，
二者的系数之和为 ，得 .
故答案为：B.
【分析】由 ，进而分别求出展开式中 的系数及展开式中 的系数，令二者之和等于-10，可求出实数a的值.
5．（2020高二下·湖州期末）袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，则至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意，袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，
至少有一个红球的取法有：
①直接法： 种不同的取法；
②间接法： .
故答案为：C.
【分析】根据题意，可分别利用直接法和间接法求解，得到答案.
6．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对r分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
7．（2020高二下·嘉兴期末）某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A，B，其中A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（ ）
A．21种 B．23种 C．25种 D．27种
【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，
故报考A大学的选择方案有 种；
B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，
故报考B大学的选择方案有 种；
该同学将来想报考这两所大学中的其中一所，
那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有 种.
故答案为：C.
【分析】报考A大学的选择方案有 种，报考B大学的选择方案有 种，利用分步计数原理计算即可得解.
8．（2020高二下·宾县期末）设 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由 ，
令 得： ，①
令 得： ，②
联立①②得：
，
，
即 ，
故答案为：B.
【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得 ， ，代入运算即可得解.
9．（2020高二下·大庆期末）由 这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）
A．180 B．196 C．210 D．224
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】分两种情况：
⑴个位与百位填入0与8，则有 个；
⑵个位与百位填入1与9，则有 个.
则共有 个.
故答案为：C
【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案．
10．（2020高二下·天津期末）二项式 的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）
A．-160 B．-80 C．80 D．160
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，
即
解得： ，
二项式 的展开式中，通项 ，
当r=3时，取得常数项， .
故答案为：A
【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n，结合通项即可得到常数项.
11．（2020·江西模拟） 的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x项的系数为（ ）
A．-66 B．-18 C．18 D．66
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ，可得 ，∴ ．
又 的通项公式为 ，
在 的展开式中x的系数为 ．
故答案为：D．
【分析】令 得各项系数和，可求得 ，再由二项式定理求得 的系数，注意多项式乘法法则的应用．
12．（2020高二下·开鲁期末）已知 ，其中 ，则 =（ ）
A．405 B．810 C．324 D．648
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令 可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 ，
两边同时求导得 ，
令 可得 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】令 可得 ，对 两边求导后，再令 即可得解.
二、多选题
13．（2020高二下·宿迁期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
则合格品的取法有 种，不合格品的取法有 种，
则恰好有1件是不合格品的取法有 种取法；则 正确， 错误；
若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，
①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有 种取法，
②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有 种取法，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种， 正确；
也可以使用间接法：在100件产品中任选3件，有 种取法，
其中全部为合格品的取法有 种，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种取法， 正确；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项，对于 ，由分步计数原理计算可得合格品的取法以及不合格品的取法，由分步计数原理可得 正确， 错误；
对于 ，分2种情况讨论：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，由加法原理可得 ；
对于 ，由间接法分析：先计算在100件产品中任选3件的取法数目，再计算其中全部为合格品的取法，据此分析可得 正确；
综合即可得答案．
14．（2020高二下·连云港期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】C,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】6门中选3门共有 种，A不符合题意；
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 种排法，B不符合题意；
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有 种排法，C符合题意；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 种排法，D符合题意．
故答案为：CD
【分析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.
15．（2020·泰安模拟）若 （ ），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ， ，
，
当 时， ，
所以 .
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法解决，
对于A：通过给x赋值 即可作出判断；
对于B和C：通过给 赋值 和 ，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；
对于D： ，通过给 赋值 得到结果即可作出判断.
16．（2020高二下·广东期中）若 且 ，则实数m的值可以为（ ）
A． 3 B． 1 C．0 D．1
【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】因为 ，
令 得： ，
令 得： ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
解得： 或 .
故答案为：AD
【分析】根据 ，令 得到 ，令 得到 ，然后根据 求解.
三、填空题
17．（2020高二下·上海期末）某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有 .种
【答案】70
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：
类2门， 类1门，共有 种，
或 类1门， 类2门，共有 ，所以不同的选法共有 种方法.
故答案为：70
【分析】根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数.
18．（2020·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
19．（2020·深圳模拟）有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】36
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】任选2名同学去一个小区为，再对三组进行排列为，即种。
【分析】利用实际问题的已知条件结合排列数、组合数解决计数问题的方法，再结合分步乘法计数原理，从而求出不同的安排方法种数。
20．（2020·桂林模拟）某校 名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共 种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以 人一组或者 人一组.如果 人一组，则必须角色相同；如果 人一组，则 人角色相同或者 人为级别连续的 个不同角色.已知这 名学生扮演的角色有 名士兵和 名司令，其余角色各 人，现在新加入 名学生，将这 名学生分成 组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为 .
【答案】9
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】依题意， 名学生分成 组，则一定是 个 人组和 个 人组.
①若新加入的学生是士兵，则可以将这 个人分组如下； 名士兵；士兵、排长、连长各 名；营长、团长、旅长各 名；师长、军长、司令各 名； 名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；
②若新加入的学生是排长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；连长、营长、团长各 名；旅长、师长、军长各 名； 名司令； 名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；
③若新加入的学生是连长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；士兵、排长、连长各 名；连长、营长、团长各 名；旅长、师长、军长各 名； 名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；
④若新加入的学生是营长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；排长、连长、营长各 名；营长、团长、旅长各 名；师长、军长、司令各 名； 名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；
⑤若新加入的学生是团长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；排长、连长、营长各 名；旅长、师长、军长各 名； 名司令； 名团长.所以新加入的学生可以是团长.
综上所述，新加入学生可以扮演 种角色.
故答案为： .
【分析】对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下 个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.
四、解答题
21．（2020高二下·徐汇期末）已知 的二项展开式中二项式系数之和为256.
（1）求n的值；
（2）求该展开式中 项的系数.
【答案】（1）解： ，解得 ；
（2）解： ，令
可得 时， ，
即 项的系数为 ．
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，由二项式定理可得 ，解可得 ，（2）先求得展开式的通项，可得 ，将r的值代入通项计算可得答案.
22．（2020高二下·吉林月考）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？
（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？
（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？
【答案】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： .
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）先排教师有 种方法，再排学生有 种方法，再根据分步计数原理即可得到答案；（2）先排4名学生有 种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有 种方法，根据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有 种方法，再从4名学生种选2名排两端，有 种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有 种方法，由乘法原理即可得到答案.
23．（2020高二下·重庆期末）设
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解： 的展开式的通项为
所以
（2）解：当 时， ，
当 时， ，得 ，
所以
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）写出 的展开式的通项即可得到答案；（2）令 ，求出 的值，然后再令 ，求出 的值，从而可求出 的值.
24．（2020高二下·栖霞月考）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
（1）共有几种放法？
（2）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
【答案】（1）解：每一个球有4种放法，故共有44＝256（种）
（2）解：恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有 种，再放到2个小盒中有 种放法，共有 种方法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有 种放法，
故恰有2个盒子不放球的方法共有 种放法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）明确共有4个球，每个球都有4种放法，盒子可以不放球，根据分步计数原理求解.（2）首先明确有两个盒子不放球的含义是将4个球放入2个盒子中，放球分为两类，一类是1个盒子放3个另一个放1个，二类是两个盒子各放2个，分别求出每一类的放法，再用加法计数原理求解.
25．（2020高二下·武汉月考）已知二项式 ．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若 ，求二项式的值被7除的余数．
【答案】（1）解： 二项式 的二项式系数之和为512， ， ．
由 ，解得： ，
展开式中系数最大的项为第8项，为 ．
（2）解：若 ， ，
问题转化为 被7除的余数，
，即余数为2．
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质求得 的值，再根据通项公式可得展开式中第 项的系数，从而求得展开式中系数最大的项．（2）二项式即 ，按照二项式定理展开，问题化为 被7除的余数．再根据 ，按照二项式定理展开，可得它被7除的余数．
26．（2020高二下·武汉月考）江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).
（1）共有多少种分配方案？
（2）6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？
（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.
【答案】（1）解：由题意得：问题转化为不定方程 的非负整数解的个数，
∴方程又等价于不定方程 的正整数解的个数，
利用隔板原理得：方程正整数解的个数为 ，
∴共有多少 种分配方案.
（2）解：将问题转化为不定方程 的正整数解个数，分组后再进行排列，
∵不定方程 的正整数解个数为 ，
∴共有 种方法.
（3）解：设6名学生在3个安检的人数分别为 ，
∵方程 非负整数解的个数等价于方程 的正整数解的个数，
∴6人进站的不同方案种数为 .
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）将问题转化为不定方程 的非负整数解问题，再利用隔板原理进行求解；（2）将问题转化为不定方程 的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解；（3）将问题转化为不定方程方程 的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解.
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