正弦定理教学设计
教学目标：
1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
五、教学重点与难点
教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
六、教学过程：
（一）结合实例，激发动机
师生活动：
师：每天我们都在科技楼里学习 ，对科技楼熟悉吗？
生：当然熟悉。
师：那大家知道科技楼有多高吗？
学生不知道。激起学生兴趣！
师：给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？
学生思考片刻，教师引导。
生1：在楼的旁边取一个观测点C，再用一个标杆，利用三角形相似。
师：方法可行吗？
生2：B点位置在楼内不确定，故BC长度无法测量，一次测量不行。
师：你有什么想法？
生2：可以再取一个观测点D.
师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D点取在什么位置？
生2：向前或向后
师：好，模型如图（2）：我们设，,CD=10m,那么我们能计算出AB吗？
生3：由求出AB。
师：很好，我们可否换个角度，在中，能求出AD,也就求出了AB。在中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD，就需要我们来研究三角形中的边角关系。
师：探究一般三角形中的边角关系，我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手！
生4：直角三角形。
师：直角三角形的边与角之间存在怎样的关系？
生5：思考交流得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
则有，，又,
则
从而在直角三角形ABC中，
（三）证明猜想，得出定理
师生活动：
教师：那么，在斜三角形中也成立吗？
用几何画板演示，用多媒体的手段对结论加以验证！
但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明哪？前面探索过程对我们有没有启发？
学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）
学生6：思考得出
①在中，成立，如前面检验。
②在锐角三角形中，如图5设，，
作：，垂足为
在中，
在中，
同理，在中，
③在钝角三角形中，如图6设为钝角，，，
作交的延长线于
在中，
在中，
同锐角三角形证明可知
教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
师：我们在前面学习了平面向量，向量是解决数学问题的有力工具，而且和向量的联系紧密，那么同学们能否用向量的知识证明正弦定理？
学生要思考一下。
师：观察式子结构，里面有边及其边的夹角，与向量的哪一部分知识有关？
生7： 向量的数量积
师：那向量的数量积的表达式是什么？
生8：
师：表达式里是角的余弦，我们要证明的式子里是角的正弦。
生：利用诱导公式。
师：式子变形为：,再
师：很好，那我们就用向量来证明正弦定理，同学们请试一试！
学生讨论合作，就可以解决这个问题
教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学下去再探索。
设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。
（三）利用定理，解决引例
师生活动：
教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。
学生：马上得出
在中，
（四）了解解三角形概念
设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性
教师：一般地，把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。
设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。
（五）运用定理，解决例题
师生活动：
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；
②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。
师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流
例3
老师：台风中心位于某沿海城市正东方向 处，正以 的速度向
北偏西 的方向移动。距离台风中心范围内将会受其影响。如果台风风速不
变（1）该市会受台风影响吗？
（2）从何时起遭受台风影响？
受台风影响?， ，要计算A、B两地距离，你 （图1）
有办法解决吗？
学生：从A向台风的中心轨迹作垂线，垂足为D，AD=
所以，城市受台风影响。
教师：那么，从何时遭受台风影响哪？
分析：在BD上总存在一点C，使得AC=250，所以，只需要计算出BC的距离即可，如何计算哪？
学生：反馈练习（教科书第5页的练习）
用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。
设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。
（七）尝试小结：
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：思考交流，归纳总结。
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类讨论的数学思想。
设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（八）作业设计
作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。
思考题：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分别改为，并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。
课件23张PPT。正弦定理解三角形ABCDABCD20m 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形直角三角形的边与角之间有什么数量关系? 证明：合作学习： 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
含三角形的三边及三内角定理结构特征:已知三角形中的哪些元素，可以利用正弦定理
解三角形：① 已知两角和一边，求其他角和边 ②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角，进而可求其他的边和角例1 已知, 定理的应用举例CD=20m求AB例2变式：B=60°或120°B=30°B=90°无解1、A+B+C=π2、大角对大边，大边对大角3、A为三角形的内角，则正弦定理
主要应用 (1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
小结:课后探究:那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?（1）解三角形什么时候一解，
两解，无解（2）谢谢各位同学！台风中心位于某沿海城市正东方向 km处，
正以60km/h的速度向北偏西60度方向移动，距
离台风中心240km范围内将会受其影响。如果台
风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？
ABC已 知：求 BC 台风中心位于某沿海城市正东方向 km处，
正以60km/h的速度向北偏西60度方向移动，距离
台风中心240km范围内将会受其影响。如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？
这种影响持续多长时间？
ABCABAB下图中CD为三角形ABC的高，用向量怎么表示呢？CBAD定理证明：当 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?D当 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?D如图:作AB上的高是CD,根椐
三角形的定义,得到E谢谢光临指导！《正弦定理》教学设计说明
南阳二中 廖宁
教材地位：本节课内容选自高中课程标准实验教科书《数学》（必修五）（北京师范大学出版社出版）第二章第一节内容。与初中学习的三角形的边与角的关系有密切联系。是从量化的角度来对待三角形中的边角关系，本节课与向量的知识同为解决实际问题的工具，在日常生活中，经常运用他们来解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。因此在高考中也是考查的重点！
学情分析：我所任教的学校是市直重点高中，学生基础比较好，三角函数的定义和直角三角形的有关计算都很熟练。近年来，我校积极进行教学改革，学生有较好的合作学习习惯。但是由于向量的抽象程度较高，学生在应用到具体问题中有些困难。鉴于学生的知识储备能力水平和对新课程标准的分析。我制定了如下学习目标:
知识目标：
（1）使学生掌握正弦定理，并能运用正弦定理解决简单的解三角形问题。
（2）。通过使学生经历正弦定理的发生发展过程，渗透分类讨论，等价转化思想。
2、能力目标：
通过对正弦定理的探索，发现，培养学生观察，发现规律，建立数学模型解决实际问题的能力。
3、情感目标
在解决实际问题过程中，培养学生独立思考，勇于探索的精神，激发学生学习数学的热情。
教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理证明
为了完成教学目标，我设计了如下教学过程：
问题一：给大家一个测角仪和皮尺，如何测量教学楼的高度。请同学们设计一个方案。
好的开端是成功的一半。对大家熟悉的教学楼进行测量，有利于激发学生的学习动机和学习兴趣，在建立数学模型的过程中，对直角三角形中的边角关系进行回顾。以“旧知”引“新知”，引出本章的课题。
正弦定理的发现是一个难点，我们采用从特殊到一般的思维方法，从学生学过的也是学生熟悉的直角三角形入手，提出下面问题：
问题2：直角三角形的边与角之间存在怎样的数量关系？
引导学生发现等式：，做出猜想：
问题3：直角三角形中的边角关系在斜三角形中也成立吗？
这是本节的重点。设计如下。
首先利用多媒体的辅助教学手段，对猜想进行数据验证，让同学放手证明；然后采用小组讨论的方法，生生合作交流，老师有重点的辅导，最后选择小组的代表发言。采用小组讨论，合作探究。是利用记忆的金字塔原理，学生发现的知识，记忆的更准确和持久。
向量是数学学习的一个重要工具，和三角的知识联系紧密，为加强向量的应用研究提出下面问题：
问题4：能否用向量的知识证明正弦定理？
从两个方面引导学生。一个是向量的应用方向，向量的主要作用之一是讨论几何度量问题，向量的数量积反映的就是向量的数量积与向量的长度与夹角的关系，而正弦定理也是长度与角的数量关系，切入学生比较熟悉的数量积。二是引导学生通过学习这的三角函数的诱导公式将正余弦进行转化。在难点突破的过程中，师生互动，教师在学生的思维最近发展区及时设置疑问，让学生既能活跃思维，又能体验成功的快乐！
本节的另一个重点内容是定理的应用。
问题5：利用正弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？
引导学生利用方程与方程组的思想，对正弦定理进行剖析，形成一种模型。
问题6：利用所给的数据和今天学习的知识计算教学楼的高度。
解决引例中提出的问题，凸显正弦定理的实用性。
例2和变式题组的设计主要是让学生先从具体问题感受已知两边和其中一边的对角解三角形这类问题的多样性。为下一节课从理论上解决这个问题模型打基础。在解决题组中使同学能够在应用正弦定理时，考虑到三角形中大边对大角，以及三角形内角和为180°并对解的合理性作出判断。
在学习的过程中及时总结，可以完善丰富学生的知识和思维结构。
问题七：今天你收获了那些知识？
师生一起有重点地进行归纳总结。
教学问题诊断；
学生已有的知识储备和思维水平决定了正弦定理的发现与用向量的有关知识证明正弦定理是本节课的难点。从教学效果来看，我的教学设计成功地解决了这个难题。从特殊到一般去发现定理，在证明正弦定理的过程中以“旧知”带“新知”，利用化归转化的方法把锐角三角形和钝角三角形转化为直角三角形，进而寻找数量关系，成功地克服了发现证明正弦定理这一难点，通过采用合作探究，小组展示，有困难的小组个别指导的方式，基本上做到了人人过关。
本节课的教法特点：采用多媒体辅助教学手段，利用“合作探究”“自主学习”的教学方法，按照从特殊到一般，从具体到抽象，从“旧”到“新”的思维规律，采用问题串的形式来引导学生在学习知识的同时掌握“观察——猜想——证明——应用”的思维方法，培养学生独立思考和勇于探索的学习习惯。
预期效果分析： 通过本节课的教学实践，较好的完成了教学目标，突出了重点，突破了难点。学生的活动充分有效，定理及其应用得到了强化。在新课堂中对学生问题的设计和对教学的掌控是科学性加艺术性的创造性劳动，今后的教学实践中，我会更加注重研究、探究，使自己的课堂教学再上一层楼！
课件30张PPT。www.1ppt.com正弦定理 南阳市二中 廖宁教材分析学情分析教法学法分析教学过程设计课后反思说课 《解三角形》是解直角三角形的拓展。与三角函数和平面向量等知识结合紧密。在生产生活中运用他们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。是高考考察的重点。正弦定理是解三角形的理论基础，是本章的重点内容。
2、教学目标：知识目标：1。使学生掌握正弦定理，并能运用正弦定理解决简单的解三角形问题。
2。通过使学生经历正弦定理的发展过程，渗透分类讨论、等价转化思想。
能力目标：培养学生观察，发现规律，建立数学模型，解决 实际问题的能力。
情感目标：培养学生乐于探索，勤于思考的学习习惯，激发 学生的学习兴趣。3、重点、难点:重点：正弦定理的发现、证明和应用
难点：正弦定理的证明教材分析学情分析教法学法分析教学过程设计课后反思说课知识储备:学生已经掌握了三角形全等，
三角函数和解直角三角形等相关知识。
了解平面向量的概念但灵活应用能力较弱。 能力储备：学生有较好的合作探究习惯。教材分析学情分析教法学法分析教学过程设计课后反思说课 教法：采用多媒体辅助教学手段，按照从特殊到一般，从具体到抽象，利用“旧知识”解决“新问题”的思维发展规律来设置问题，采用问题串的形式来引导学生学习知识！ 学法：主要采取自主学习，合作探究的模式。通过生生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的观察、类比、思考、探究。增强理性思维能力，形成实事求是的学习态度！教材分析学情分析教法学法分析教学过程设计课后反思说课四、过程设计：设置问题、引入新课
运用特例、发现定理
举例验证、证明猜想
归纳总结、应用提高给大家一个测角仪和卷尺，请同学们设计
一个方案,测量我们教学楼的高度。引入：ABCDABCD可测量:直角三角形的边与角之间有什么数量关系? 设计意图：让学生体会数学知识由特殊到一般的发展
规律，掌握类比的数学思想，为发现正弦定理找到一个突破口。发现：2、逻辑证明1、数据验证这么优美的等式在斜三角形中成立吗？“向量法”证明正弦定理D已知三角形中的哪些元素，可以利用正弦定理解三角形：2、 已知两角和一边，解三角形1、已知两边和其中一边的对角，解三角形三、应用BCD20m例1B=60°或120°例2A变式：B=30°B=90°无解正弦定理
主要应用 (1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另 一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）
小结:直角三角形中发现定理数据验证逻辑推理定理应用课后探究:（1）解三角形什么时候一解，
两解，无解（2）那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?教材分析学情分析教法学法分析教学过程设计课后反思说课 在本节课中，以“正弦定理的发生发展”为主线，用问题串的形式引导学生探究，培养了学生的理性思维能力；合作探究，激发了学生的学习兴趣；自主训练使定理得到了充分的应用。数学的教学是问题的教学，数学的活动是思维的活动。在新课堂中对问题的设计和对教学的掌控是科学性加艺术性的创造性劳动，在今后的教学实践中，我会更加注重研究、探究，使自己的课堂教学更进一步。www.1ppt.com敬请各位专家老师指导！
