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第一章 集合与常用逻辑用语
1.3.1 并集和交集
高中数学/人教A版/必修一
知识篇
素养篇
思维篇
1.3.1 并集和交集
集合能否运算?
1
实数之间有加、减、乘、除运算;
集合之间会不会也有类似的运算呢?
类
比
联
想
比如:
(1)A={1,3,5}、B={1,2,4} 与 C={1,2,3,4,5} ;
(2)E={x│x是有理数}、F={x│x是无理数}与
G={x│x是实数}
分
析
(1)集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
(2)集合G是由所有属于集合E或属于集合F的元素组成的.
并
集的概
念
并集
2
图
示
Venn图
由所有属于集合A或B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,记作A∪B,
即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}
文字语言
A
B
A∪B
图形语言
符号语言
练一练
1.已知A={4,5,6,8},B={3,5,7,8,9},求A∪B.
2.已知A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B.
1. A∪B={3,4, 5,6, 7,8,9}
2. A∪B={x|-1<x<3}
①A∪A= ;
②A∪ = ;
③A∪B= .
A∪B=A .
B∪A
A
A
性质:
B A
已知A={ x | x2 > 1 },B={ x | x < a},若A∪B =A,则实数a的取值范围是 .
练一练
a≤-1
交集
3
观察下列集合,A、B与C之间有什么关系?
(1)A={ 4,3,5 }、 B={ 2,4,6 }与 C={ 4 }.
集合C的元素既属于A,又属于B,则称C为A与B的交集.
(2)A={x│x是等腰三角形}、B={x│x是直角三角形}与
C={x│x是等腰直角三角形}
交集
3
交
集的概
念
图
示
Venn图
由两个集合A、B的公共部分组成的集合,叫这两个集合的交集,记作A∩B
即 A∩B={ x| x∈A 且 x∈B }
读作 A交B
文字语言
图形语言
符号语言
A
B
A∩B
练一练
已知A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12}, C={6,8}.
求:(1)A∩B ; (2)A∩(B∩C)
(1)A∩B={8}
(2)A∩(B∩C)=A∩{8}={8}
①A∩A= ;
②A∩ = ;
③A∩B= ;
A∩B=A .
B∩A
A
性质:
A B
练一练
已知A={ x | -2< x < 3},B={ x | 1-m < x < 2m+1 },若A∩B =A,则实数m的取值范围是 .
m≥3
知识篇
素养篇
思维篇
1.3.1 并集和交集
问
题
方法总结
核心素养 之 数据分析 + 逻辑推理
1.(1)已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x | x<-2, 或 x>5 }.
若A∩B = ,则a的取值范围是 .
(2)已知集合A={x| x2+2x+m=0}, B={x |x>0}.
若A∩B = ,则m的取值范围是 .
(1)当A= 时,由2a>a+3得a>3;
当A≠ 时,有-2≤2a≤a+3≤5,得-1≤a≤2
综上,a>3,或-1≤a≤2
分
析
(2)由A∩B = 知方程 x2+2x+m=0无正实数根;结合y=x2+2x+m
图像知m≥0
1.交集为空集,要考虑相关集合是否是空集;
2.分析点集之间的关系时,宜结合数轴或直角坐标系进行;
3.方程根的存在性问题,可数形结合,分析变量满足的条件.
问
题
核心素养 之 数据分析+ 逻辑推理
方法总结
(2)已知A={x|x2-6x+8<0}, B={x|(x-2a)(x-a-2)<0},且A∩B=B,
则实数a的取值范围是 .
2. (1)已知A={x| x2-6x+8=0},B={x |x2-mx+4=0}, 且A∩B=B,
则实数m的取值范围是 .
分
析
(1)A={2, 4};由A∩B=B知B A.
1)当B= 时,-4
3)当B含两个元素时,无解. 综上,-4(2)A={x|22)当B≠ 时,2<2a综上,11.A∩B=B等价于B A;
2.B A时,要考虑B为空集的可能.
问
题
分
析
方法总结
核心素养 之 逻辑推理
3.对于任意的两个正数m、n,定义某种运算(用⊙表示运算符号): 当m、n都是正偶数或者都是正奇数时,m⊙n= m+n ; 当m、n一奇一偶时, m⊙n= mn .求集合A={(a,b)| a⊙b=36, a、b∈N*}中元素的个数.
按照定义,1)36 =1+35=2+34=3+33=4+32= … =35+1
2)36 =1×36 =3×12 =4×9 =9×4 =12×3 =36×1
所以,这两类的并集中共有41个元素.
对于新定义集合,首先要弄清元素的属性(本例中元素是有序实数对);其次来自不同类的元素合并在一起时,要检查元素的互异性.
知识篇
素养篇
思维篇
1.3.1 并集和交集
问
题
分
析
方法总结
数学思想 之 函数思想 + 数形结合
1.已知A={(x,y)| y=x2+2x+5}, B={(x,y)| y=ax+1}, 若A∩B中至多有一
个元素,求实数a的取值范围.
A、B都是函数图像上点的集合.
A∩B中至多有一个元素,即两个函数图像至多有一个公共点.
由x2+2x+5=ax+1 得 x2+(2-a)x+4=0 , 根据判别式△≤0得
-2≤a≤6
点集的运算,可以转化为图形之间的关系;而图形之间的关系,又可以转化为方程根的情况. 根据需要,将符号语言、图形语言、文字语言相互切换,是解决这类问题常见的途径.
问
题
分
析
数学思想 之 数形结合 + 分类讨论
方法总结
(2)设非空集合A={x|-2≤x≤a}, B={ y| y=2x+3, x∈A},
C={ y| y=x2 ,x∈A}, 若B∪C=B,则实数a的取值范围是 .
2.(1)定义A B={x| x∈A,且 x A∩B},若A={x |-1< x<1},
B={x |0< x<2}, 则A B= .
(2)B={ y| -1≤y≤2a+3};由B∪C=B知C B.
1)当-2≤a<0时,C={ y| a2≤y≤4};又C B,无解!
2)当0≤a≤2时,C={ y| 0≤y≤4};结合C B得0 .5≤a≤2;
3)当a>2时;C={ y| 0≤y≤a2};结合C B得2综上,0 .5≤a≤3
(1) 结合数轴知 A B={x |-1< x≤0}
1.判断点集之间的关系时,要结合数轴或函数图像;
2.包含关系中含有参数时,要分类讨论.
问
题
分
析
方法总结
数学思想 之 转化与化归 + 分步计数
该问题的本质是集合并的逆运算. 从元素的去向种数入手,分步落实;
这类问题有两个推广方向:1)n个元素时,分拆个数为3n;
2)将A1, A2 推广到A1, A2 , A3 ……, Am, 分拆个数为(2m-1)n
3. 若集合A1、A2满足A1∪A2=A,则称(A1, A2)为集合A的一种分拆,
并规定:当且仅当A1=A2时,(A1, A2)与(A2, A1)为集合A的同一
种分拆,则:
元素较少时可以用树叉图解决. 以{a1、a2、a3}的分拆为例,统一的方法是: 每个元素在A1、A2中出现的情况都是三种,所以三个元素在A1、A2中出现的不同情况种数为33=27.
(1)集合{a1}的不同分拆种数为 .
(2)集合{a1、a2}的不同分拆种数为 .
(3)集合{a1、a2、a3}的不同分拆种数为 .
课堂小结
一、本节课学习的新知识
并集
并集的性质
交集的性质
交集
二、本节课提升的核心素养
数学运算
逻辑推理
数据分析
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
分类讨论
转化与化归
数形结合
课堂小结
函数思想
01
基础作业: .
02
能力作业: .
03
拓展延伸:(选做)
作业