2.1 等式性质与不等式性质（第一课时） 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.1.1 不等关系与比较大小
高中数学/人教A版/必修一
知识篇
素养篇
思维篇
2.1.1 不等关系与比较大小
在现实世界和日常生活中，存在着大量相等关系和不等关系.
例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．
现实世界的相等和不等关系
长短
轻重
高矮
大小
三个臭皮匠，顶个诸葛亮
语言文字里的相等和不等关系
人类的语言文字对相等和不等关系也有各种描述．
雷声大，雨点小
捡了芝麻，丢了西瓜
道高一尺，魔高一丈
欲穷千里目，更上一层楼
七上八下
半斤八两
数学里的相等和不等关系
大小
数学研究对象的相等和不等关系．
A
B
d
Ｏ
长短
请用数学符号语言翻译以下交通限制标志信息：
v≤40 km/h
用数学研究相等和不等关系
1
m≤10 t
h≤3.5 m
8:00≤t≤20:00
1.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应不少于2.3％，
写成不等式组为　　　　 .　
2.购买一批“六一”儿童节礼品，买笔记本每本18元，买钢笔每支25元，现有礼品预算300元，设笔记本买x本，钢笔买y支，则礼品数满足的关系式是 .
18x＋25y≤300
f ≥2.5%
p ≥2.3%
数
学
抽
象
用数学研究相等和不等关系
1
数
学
抽
象
用数学研究相等和不等关系
1
3.某杂志以每本2.5元的价格发行时，发行量为8万册．经过调查，若价格每提高0.1元，发行量就减少2000册．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
若杂志的定价为x元，则销售总收入为(8-×0.2)x万元．
于是，不等关系 “销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为: (8-×0.2)x≥20
(要知道如何定价，还得解该不等式)
实际问题：不等关系
数学问题：不等式
抽 象
刻 画
用数学研究相等和不等关系
1
研究模型
　　将实际的不等关系翻译成对应的不等式时，常见的关键性文字语言与对应数学符号：
文字语言
大于
小于
大于等于
小于等于
数学符号
＞
＜
≥
≤
文字语言
至多
至少
不少于
不多于
≤
数学符号
≥
≥
≤
用数学研究相等和不等关系
1
7 ℃≤t≤13 ℃
练一练
(1)今天的天气预报说：明天早晨的最低温度为7℃，明天白
天的最高温度为13℃．
(2)汽车站检票口有规定：儿童身高达到或超过120厘米的，
要买半票．
写出满足下列条件的不等式:
如果a-b是正数，那么a>b；
如果a-b等于零，那么a=b；
如果a-b是负数，那么a反过来也对.
两个实数比大小
2
要研究量与量之间的相等或不等关系，首先要解决的是两个实数之间比大小.
b
a
aa
b
a>b
两个实数比大小
2
例题：比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
∵(a＋3)(a－5)-(a＋2)(a－4)
=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)
=-7
∴(a＋3)(a－5)-(a＋2)(a－4)<0
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)
解：
作差
变形
定符号
定大小
作差比较法
已知a＞b，求证：a＞ ．
练一练
知识篇
素养篇
思维篇
2.1.1 不等关系与比较大小
方
法
总结
核心素养 之 数学运算 + 逻辑推理
1. 比较下列各题中两数之间的大小：
（1）x2+y2+3x+3y 与 x-y-6 (x,y∈R)
（2）- 与
（3） 与 (x∈R)
问
题
（1）∵ (x2+y2+3x-3y ) - (x- y-6)
= x2+y2+2x+4y +6
= (x+1)2+(y+2)2+1 > 0
∴ x2+y2+3x+3y > x-y-6
作差之后为多项式结构，常用分组因式分解或分组配方来确定正负.
解
答
方
法总结
核心素养 之 数据分析 + 逻辑推理
问
题
（2）∵(- =
=<0
∴ <
作差之后的变形环节，用到了分子有理化和通分的化归技巧；对于根式的差，分子有理化是常用的变形技术.
解
答
1. 比较下列各题中两数之间的大小：
（1）x2+y2+3x+3y 与 x-y-6 (x,y∈R)
（2）- 与
（3） 与 (x∈R)
核心素养 之 数学运算 + 逻辑推理
（3）∵ -
=≤0
∴ 当x=1时，= ；当x≠1时，
方
法总结
问
题
解
答
作差之后通分，接着分子部分配方. 利用完全平方的非负性确定正负号；由于有相等的可能，故结论分开交待.
1. 比较下列各题中两数之间的大小：
（1）x2+y2+3x+3y 与 x-y-6 (x,y∈R)
（2）- 与
（3） 与 (x∈R)
核心素养 之 数学抽象 + 数学建模
数
学
抽
象
过
程
正方形内含四个全等的直角三角形(中间留一小正方形空档)
图形语言：
S大正方形>4S直角三角形
a2+b2≥2ab (a=b时取等号)
符号化
量化
逻辑推理
？
符号语言：
数学模型：
论证模型：
设直角三角形的两条直角
边的长为a，b (a≠b)
核心素养 之 逻辑推理
问
题
求证： a2+b2≥2ab (当a=b时取等号)
证明：∵ a2+b2-2ab
=(a-b)2 ≥0
∴ a2+b2≥2ab (当a=b时取等号)
论
证
方法总结
不等式就是用不等号连结两个数（式）得到的式子；
故证明不等式，本质上就是比较两个数的大小. 这里用了作差比较法，今后会学习别的证明方法.
核心素养 之 数学抽象 + 数学建模
数
学
抽
象
过
程
为什么糖水中加的糖越多越甜？
生活问题：
a克糖水中含有b(a>b>0)克糖，再加入m(m>0)克糖，糖水更甜了，为什么？
> (a>b>0，m>0)
(定性描述)
(定量描述)
量化
符号化
逻辑推理
？
数学问题：
数学模型：
论证模型：
核心素养 之 逻辑推理
问
题
求证： > (a>b>0，m>0)
证明：∵ -
=
=>0
∴
论
证
方法总结
对于两个分数(式)比大小，作差后往往通分，对分子部分进行分组因式分解.
知识篇
素养篇
思维篇
2.1.1 不等关系与比较大小
数学思想 之 主元思想 + 配方法
1. 比较 a2-2ab+2b2 与2a-3 (a , b∈R)的大小.
问
题
解法一：∵( a2-2ab+2b2 )-(2a-3 )
=a2-2(b+1)a+2b2+3
=[a2-2(b+1)a+(b+1)2]+b2-2b+2
=[a-(b+1) ]2+(b-1 )2+1>0
∴ a2-2ab+2b2 >2a-3
方法总结
第一部分以a为主元配方，其余部分以b为主元配方，利用完全平方的非负性定正负符号.
解
答
1. 比较 a2-2ab+2b2 与2a-3 (a , b∈R)的大小.
问
题
解法二：∵( a2-2ab+2b2)-(2a-3 )
= (2b2-2ab)+a2-2a+3
=2(b-)2+-2a+3
=2(b-)2+(a-2 )2+1>0
∴ a2-2ab+2b2 >2a-3
方法总结
第一部分以b为主元配方，其余部分以a为主元配方，利用完全平方的非负性定正负符号.
解
答
数学思想 之 主元思想 + 配方法
数学思想 之 函数思想 + 方程思想
1. 比较 a2-2ab+2b2 与2a-3 (a , b∈R)的大小.
问
题
解法三：( a2-2ab+2b2 )-(2a-3 )
=a2-2(b+1)a+2b2+3 ①
视①式为变量a的二次函数. 其判别式为
△=4(b+1)2-8b2-12=-4b2+8b-8
=-4(b-1)2-4 < 0
∴a2-2(b+1)a+2b2+3 >0恒成立，
∴ a2-2ab+2b2 >2a-3
方法总结
作差后，以函数的眼光看待①式，并利用一元二次方程判别式的正负来判断①式的正负.
解
答
数学思想 之 分类讨论
2. 比较 a-1 与 (a∈R)的大小.
问
题
解：( a-1 )-= =
0
-1
2
当a<-1或0当-12时，( a-1 )- ，( a-1 )>
当a=-1 或a =2时，( a-1 )- ，( a-1 )=
判断多个因式的积或商的正负，往往辅助以数轴，用序轴标根确定各部分的正负.
解
答
方法总结
数学思想 之 转化与化归
问
题
3. 求证： > (a>b>0，m>0)
证明：∵a>b>0，m>0
∴ =
=1+ >1
∴
解
答
对于两个同号的数比大小，还可以考虑作商比较.
方法总结
已知a >0, b>0：
1 a>b ; 1 ; 1 a课堂小结
一、本节课学习的新知识
相等与不等关系
从问题中抽象出不等式
比较两个数的大小
二、本节课提升的核心素养
逻辑推理
数据分析
课堂小结
数学运算
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
转化与化归
方程思想
课堂小结
分类讨论
主元思想
01
基础作业： .
02
能力作业： .
03
拓展延伸：（选做）
作业