数据的离散程度 同步练习
专题 探究创新题
1．已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是1，那么样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2． 已知一组数据x1，x2，…，xn的 ( http: / / www.21cnjy.com )方差是s2，则新的一组数据ax1+1, ax2+1, …,axn+ 1（a为常数,a≠0）的方差是 (用含a,s2的代数式表示) ．
（友情提示：s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn+)2]）
3．观察与探究：（1）观察下列各组数据并填空：
A. 1，2，3，4，5. =___________3，=___________2；
B. 11，12，13，14，15. =___________3，=___________2；
C. 10，20，30，40，50. =___________3，=___________2；
D. 3，5，7，9，11. =___________3，=___________28．
（2）分别比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？
（3）若已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差为S2，求另一组数据3x1-2，3x2-2，…，
3xn-2的平均数-2，方差.
答案：
1．D 【解析】 设样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为m，
则其方差为S12=[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+…+（xn﹣m）2]=1，
则样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的平均数为2m，其方差为S22=4S12=4．故选D．
2．a2s2 【解析】 设数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2,
则=，[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn+)2]=s2.
∴==a+1.
新的一组数据的方差s′2=[(ax1+1－a－1)2+(ax2+1－a－1)2+…+(axn+1－a－1)2] =[(ax1－a)2+(ax2－a)2+…+(axn－)2] ={[a(x1－)]2+[a(x2－)]2+…+[a(xn－)]2}=[a2 (x1－)2]+[a2 (x2－)2]+ …+[a2 (xn－)2] =a2[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]）=a2s2.
即新的一组数据ax1+1, ax2+1, …,axn+ 1（a为常数,a≠0）的方差是a2s2.
3．解：（1）=33，=2，=133，=2，=303，=200，=73，=8.
（2）规律：有两组数据，设其平均数分别为，，方差分别为s12，s22.
①当第二组每个数据比第一组每个数据都增加m个单位时，则有=+m，s22=s12；
②当第二组每个数据是第一组每个数据的n倍时，则有=n，s22=n2s12；
③当第二组每个数据是第一组每个数据的n倍加m时，则有=n+m，s22=n2s12
（3）另一组数据的平均数=（3x1-2+3x2-2+…+3xn-2）=[3（x1+x2+…+xn）-2n]=3-2；
因为s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，所以另一组数据的方差为s′2=[（3x1-2-3+2）2+（3x2-2-3+2）2+…+（3xn-2-3+2）2]
= [9（x1-）2+9（x2-）2+…+9（xn-）2]=9s2．
