初中数学北师大版八年级上学期 第四章 4.2 一次函数与正比例函数
一、单选题
1．（2020八下·阳东期末）若函数 是正比例函数，且 随 的增大而减小，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八下·龙湖期末）下列哪个点在正比例函数 的图像上（ ）
A．(2，0) B．(-2，0) C．(2，1) D．(-1，-2)
3．（2020八下·邢台月考）下列函数关系式：①y＝－2x；②y＝ ；③y＝－2 ；④y＝2；⑤y＝2x－1.其中是一次函数的是（ ）
A．①⑤ B．①④⑤ C．②⑤ D．②④⑤
4．（2020八下·邢台月考）若函数 是一次函数，则m，n应满足的条件是（ ）
A．m≠2且n=0 B．m=2且n=2 C．m≠2且n=2 D．m=2且n=0
5．（2020八下·邯郸月考）对于函数y=-x+3，下列结论正确的是（ ）
A．当x>4时，y<0
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．它的图象必经过点（-1,3）
D．y 的值随x值的增大而增大
6．（2020·遵化模拟）一次函数y=kx﹣1的图像经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ）
A．（﹣5，3） B．（1，﹣3） C．（2，2） D．（5，﹣1）
二、填空题
7．（2020·临沂）点 和点 在直线 上，则m与n的大小关系是 ．
8．（2020八下·东丽期末）在一次函数y=3x+1中，y随x的增大而 ．
9．（2020八下·唐县期末）若函数y=2x+(1-m)是正比例函数，则m的值是 。
10．（2020八下·沧县月考）若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为 ．
11．（2020·上海模拟）已知正比例函数 的函数值y随着自变量 的值增大而减小，那么符合条件的正比例函数可以是 ．（只需写出一个）
12．（2020·南召模拟）已知一次函数 的图象过点 ， .若 ，则 .
三、综合题
13．（2020·渠县模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与直线y＝kx（k≠0）平行，与直线y＝3相交于点A(3，3)．
（1）求k和b的关系式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线l：y＝kx+b、y＝kx、y＝3与x轴构成的封闭区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有2个整点，直接写出k的取值范围．
14．（2016·崂山模拟）某水果公司向某地运输一批水果，由甲公司运输每千克只需运费0.6元；由乙公司运输，每千克需运费0.3元，运完这批水果还需其他费用600元．设公司运输的这批水果为xkg（0＜x＜5000），选择甲公司运输所需的费用为y1元，选择乙公司运输所需的费用为y2元．
（1）请分别写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）该水果公司选择哪家运输公司费用较少呢？请你说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵函数为正比例函数
∴b=0
∵函数y随x的增大而减小
∴k＜0
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数的含义以及性质，即可得到b=0，由y随x的增大而减小，即可得到k＜0，即可得到答案。
2．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：A.令x=2，y=4，则（2，0）不在函数的图象上；
B.令x=-2，y=-4，则（-2，0）不在函数的图象上；
C.令x=2，y=4，则（2，1）不在函数的图象上；
D.令x=-1，y=-2，则（-1，-2）在函数的图象上。
故答案为D.
【分析】根据题意，将点代入正比例函数中，进行检验得到答案即可。
3．【答案】A
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：①y=-2x是一次函数；
②y＝ 自变量次数不为1，故不是一次函数；
③y=-2x2自变量次数不为1，故不是一次函数；
④y=2是常函数；
⑤y=2x-1是一次函数．
所以一次函数是①⑤．
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
4．【答案】C
【知识点】一次函数的概念；一次函数的性质
【解析】【解答】∵函数 是一次函数，
∴ ，解得 .
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的定义列出方程和不等式，即可求出 m，n应满足的条件.
5．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】A.当x>4时，y<0，符合题意；
B.它的图象经过第一、二、四象限，不符合题意；
C.它的图象必经过点（-1,4），不符合题意；
D.y的值随x值的增大而减小，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的性质对各项进行解答即可．
6．【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y随x的增大而增大
∴k＞0
A.将坐标代入一次函数，-5k-1=3，解得k=＜0，错误；
B.将坐标代入一次函数，k-1=-3，解得k=-2＜0，错误；
C.将坐标代入一次函数，2k-1=2，解得k=＞0，正确；
D.将坐标代入一次函数，5k-1=-1，解得k=0，错误。
故答案为：C.
【分析】根据题意，可知k＞0，根据每个选项的坐标进行判断即可得到答案。
7．【答案】m＜n
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线 中，k=2＞0，
∴此函数y随着x的增大而增大，
∵ ＜2，
∴m＜n．
故答案为：m＜n．
【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．
8．【答案】增大
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：对一次函数y=3x+1，∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
9．【答案】1
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵函数为正比例函数
∴1-m=0
m=1
【分析】根据正比例函数的性质，求出m的值即可得到答案。
10．【答案】y=3x
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】∵正比例函数y=kx的图象经过（1,3），
∴点（1,3）满足比例函数的解析式y=kx，
∴3=k，即k=3；
故本函数的解析式为：y=3x；
故答案为：y=3x.
【分析】根据正比例函数的图象上坐标的特征，将点（1，3）代入函数解析式，利用待定系数法求正比例函数的解析式即可．
11．【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】正比例函数 ：当 时， y 随着自变量 x 的值增大而增大；当 时， y 随着自变量 x 的值增大而减小
∴要使 y 随着自变量 x 的值增大而减小，需满足 即可
故答案为： （答案不唯一）
【分析】根据正比例函数 ：当 时， y 随着自变量 x 的值增大而增大；当 时， y 随着自变量 x 的值增大而减小，从而得出答案．
12．【答案】－2
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数 的图象过点 ， ，
∴ ， ，
∴ =2×（-1）=-2.
故答案是：-2.
【分析】把 ， 代入 ，结合 ，即可求解.
13．【答案】（1）解：直线l：y＝kx+b（k≠0）与直线y＝3相交于点A（3，3），
∴3k+b＝3，
∴b＝3﹣3k；
（2）解：①当k＝2时，则b＝3﹣3k＝﹣3，
∴直线l：y＝2x﹣3（k≠0）与直线y＝2x平行，分别与x轴的交点为（ ，0），（0，0），
分别与直线y＝3的交点为（3，3），（ ，3），
在W区域内有2个整数点：（1，1），（2，2）；
②当直线y＝kx（k≠0）经过（2，2）时，此时，直线的解析式为y＝x，
∵直线l：y＝kx+b（k≠0）与直线y＝kx（k≠0）平行且经过点A（3，3）．
∴直线l的解析式也为y＝x，
此时区域W内没有整点，
由①知，当区域W内恰有2个整点时，k＝2，
综上所述，若区域W内恰有2个整点，k的取值范围为：1＜k≤2．
【知识点】一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）①当k＝2时，得到b＝3﹣3k＝﹣3，求得直线l：y＝2x﹣3（k≠0）与直线y＝2x与x轴的交点为（ ，0），（0，0），与直线y＝3的交点为（3，3），（ ，3）于是得到结论；②当直线y＝kx（k≠0）经过（2，2）时，此时求得直线的解析式为y＝x，得到直线l的解析式也为y＝x，此时区域W内没有整点，由①知，当区域W内恰有2个整点时，k＝2，于是得到结论．
14．【答案】（1）解：由题意得：y1=0.6x，
y2=0.3x+600
（2）解：当选择甲运输公司费用较少时，0.6x＜0.3x+600，
解得：x＜2000，
∵x＞0，
∴0＜x＜2000，
当选择乙运输公司费用较少时，0.6x＞0.3x+600，
解得：x＞2000，
∵x＜5000，
∴2000＜x＜5000，
当两家公司花费相同时：0.6x=0.3x+600，
解得：x=2000，
答：当运输水果2000kg时，两家公司花费相同；当运输水果大于0kg小于2000kg时，甲公司花费较少；当运输水果大于2000kg小于5000kg时，乙公司花费较少
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）甲公司运输所需的费用为y1=每千克运费0.6元×水果重量，乙公司运输所需的费用为y2=每千克运费0.3元×水果重量+600元；（2）当选择甲运输公司费用较少时y1，＜y2，进而可得不等式0.6x＜0.3x+600，当选择乙运输公司费用较少时，0.6x＞0.3x+600，当两家公司花费相同时：0.6x=0.3x+600，再解即可．
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第四章 4.2 一次函数与正比例函数
一、单选题
1．（2020八下·阳东期末）若函数 是正比例函数，且 随 的增大而减小，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵函数为正比例函数
∴b=0
∵函数y随x的增大而减小
∴k＜0
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数的含义以及性质，即可得到b=0，由y随x的增大而减小，即可得到k＜0，即可得到答案。
2．（2020八下·龙湖期末）下列哪个点在正比例函数 的图像上（ ）
A．(2，0) B．(-2，0) C．(2，1) D．(-1，-2)
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：A.令x=2，y=4，则（2，0）不在函数的图象上；
B.令x=-2，y=-4，则（-2，0）不在函数的图象上；
C.令x=2，y=4，则（2，1）不在函数的图象上；
D.令x=-1，y=-2，则（-1，-2）在函数的图象上。
故答案为D.
【分析】根据题意，将点代入正比例函数中，进行检验得到答案即可。
3．（2020八下·邢台月考）下列函数关系式：①y＝－2x；②y＝ ；③y＝－2 ；④y＝2；⑤y＝2x－1.其中是一次函数的是（ ）
A．①⑤ B．①④⑤ C．②⑤ D．②④⑤
【答案】A
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：①y=-2x是一次函数；
②y＝ 自变量次数不为1，故不是一次函数；
③y=-2x2自变量次数不为1，故不是一次函数；
④y=2是常函数；
⑤y=2x-1是一次函数．
所以一次函数是①⑤．
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
4．（2020八下·邢台月考）若函数 是一次函数，则m，n应满足的条件是（ ）
A．m≠2且n=0 B．m=2且n=2 C．m≠2且n=2 D．m=2且n=0
【答案】C
【知识点】一次函数的概念；一次函数的性质
【解析】【解答】∵函数 是一次函数，
∴ ，解得 .
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的定义列出方程和不等式，即可求出 m，n应满足的条件.
5．（2020八下·邯郸月考）对于函数y=-x+3，下列结论正确的是（ ）
A．当x>4时，y<0
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．它的图象必经过点（-1,3）
D．y 的值随x值的增大而增大
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】A.当x>4时，y<0，符合题意；
B.它的图象经过第一、二、四象限，不符合题意；
C.它的图象必经过点（-1,4），不符合题意；
D.y的值随x值的增大而减小，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的性质对各项进行解答即可．
6．（2020·遵化模拟）一次函数y=kx﹣1的图像经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ）
A．（﹣5，3） B．（1，﹣3） C．（2，2） D．（5，﹣1）
【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y随x的增大而增大
∴k＞0
A.将坐标代入一次函数，-5k-1=3，解得k=＜0，错误；
B.将坐标代入一次函数，k-1=-3，解得k=-2＜0，错误；
C.将坐标代入一次函数，2k-1=2，解得k=＞0，正确；
D.将坐标代入一次函数，5k-1=-1，解得k=0，错误。
故答案为：C.
【分析】根据题意，可知k＞0，根据每个选项的坐标进行判断即可得到答案。
二、填空题
7．（2020·临沂）点 和点 在直线 上，则m与n的大小关系是 ．
【答案】m＜n
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线 中，k=2＞0，
∴此函数y随着x的增大而增大，
∵ ＜2，
∴m＜n．
故答案为：m＜n．
【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．
8．（2020八下·东丽期末）在一次函数y=3x+1中，y随x的增大而 ．
【答案】增大
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：对一次函数y=3x+1，∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
9．（2020八下·唐县期末）若函数y=2x+(1-m)是正比例函数，则m的值是 。
【答案】1
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵函数为正比例函数
∴1-m=0
m=1
【分析】根据正比例函数的性质，求出m的值即可得到答案。
10．（2020八下·沧县月考）若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为 ．
【答案】y=3x
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】∵正比例函数y=kx的图象经过（1,3），
∴点（1,3）满足比例函数的解析式y=kx，
∴3=k，即k=3；
故本函数的解析式为：y=3x；
故答案为：y=3x.
【分析】根据正比例函数的图象上坐标的特征，将点（1，3）代入函数解析式，利用待定系数法求正比例函数的解析式即可．
11．（2020·上海模拟）已知正比例函数 的函数值y随着自变量 的值增大而减小，那么符合条件的正比例函数可以是 ．（只需写出一个）
【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】正比例函数 ：当 时， y 随着自变量 x 的值增大而增大；当 时， y 随着自变量 x 的值增大而减小
∴要使 y 随着自变量 x 的值增大而减小，需满足 即可
故答案为： （答案不唯一）
【分析】根据正比例函数 ：当 时， y 随着自变量 x 的值增大而增大；当 时， y 随着自变量 x 的值增大而减小，从而得出答案．
12．（2020·南召模拟）已知一次函数 的图象过点 ， .若 ，则 .
【答案】－2
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数 的图象过点 ， ，
∴ ， ，
∴ =2×（-1）=-2.
故答案是：-2.
【分析】把 ， 代入 ，结合 ，即可求解.
三、综合题
13．（2020·渠县模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与直线y＝kx（k≠0）平行，与直线y＝3相交于点A(3，3)．
（1）求k和b的关系式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线l：y＝kx+b、y＝kx、y＝3与x轴构成的封闭区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有2个整点，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）解：直线l：y＝kx+b（k≠0）与直线y＝3相交于点A（3，3），
∴3k+b＝3，
∴b＝3﹣3k；
（2）解：①当k＝2时，则b＝3﹣3k＝﹣3，
∴直线l：y＝2x﹣3（k≠0）与直线y＝2x平行，分别与x轴的交点为（ ，0），（0，0），
分别与直线y＝3的交点为（3，3），（ ，3），
在W区域内有2个整数点：（1，1），（2，2）；
②当直线y＝kx（k≠0）经过（2，2）时，此时，直线的解析式为y＝x，
∵直线l：y＝kx+b（k≠0）与直线y＝kx（k≠0）平行且经过点A（3，3）．
∴直线l的解析式也为y＝x，
此时区域W内没有整点，
由①知，当区域W内恰有2个整点时，k＝2，
综上所述，若区域W内恰有2个整点，k的取值范围为：1＜k≤2．
【知识点】一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）①当k＝2时，得到b＝3﹣3k＝﹣3，求得直线l：y＝2x﹣3（k≠0）与直线y＝2x与x轴的交点为（ ，0），（0，0），与直线y＝3的交点为（3，3），（ ，3）于是得到结论；②当直线y＝kx（k≠0）经过（2，2）时，此时求得直线的解析式为y＝x，得到直线l的解析式也为y＝x，此时区域W内没有整点，由①知，当区域W内恰有2个整点时，k＝2，于是得到结论．
14．（2016·崂山模拟）某水果公司向某地运输一批水果，由甲公司运输每千克只需运费0.6元；由乙公司运输，每千克需运费0.3元，运完这批水果还需其他费用600元．设公司运输的这批水果为xkg（0＜x＜5000），选择甲公司运输所需的费用为y1元，选择乙公司运输所需的费用为y2元．
（1）请分别写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）该水果公司选择哪家运输公司费用较少呢？请你说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：y1=0.6x，
y2=0.3x+600
（2）解：当选择甲运输公司费用较少时，0.6x＜0.3x+600，
解得：x＜2000，
∵x＞0，
∴0＜x＜2000，
当选择乙运输公司费用较少时，0.6x＞0.3x+600，
解得：x＞2000，
∵x＜5000，
∴2000＜x＜5000，
当两家公司花费相同时：0.6x=0.3x+600，
解得：x=2000，
答：当运输水果2000kg时，两家公司花费相同；当运输水果大于0kg小于2000kg时，甲公司花费较少；当运输水果大于2000kg小于5000kg时，乙公司花费较少
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）甲公司运输所需的费用为y1=每千克运费0.6元×水果重量，乙公司运输所需的费用为y2=每千克运费0.3元×水果重量+600元；（2）当选择甲运输公司费用较少时y1，＜y2，进而可得不等式0.6x＜0.3x+600，当选择乙运输公司费用较少时，0.6x＞0.3x+600，当两家公司花费相同时：0.6x=0.3x+600，再解即可．
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