【精品解析】高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究距离、夹角问题

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名称 【精品解析】高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究距离、夹角问题
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2021-03-11 14:08:34

文档简介

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究距离、夹角问题
一、单选题
1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为(  )
A.10 B.3 C. D.
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】 =(1,2,-4),又平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),
所以P到α的距离为 = 。
故答案为:D
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法,再结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 P(-2,1,4)到α的距离 。
2.设平面 与平面 的夹角为 ,若平面 的法向量分别为 ,则 (  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题意, ,而平面 与平面 的夹角 与 相等或互补,所以 。
故答案为:B.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式,进而结合平面 与平面 的夹角 与 相等或互补,进而求出。
3.(2019高二上·西安月考)在正方体 中,点E为 的中点,则平面 与平面 夹角的余弦值为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算;与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】以 点为原点, , , 所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则 , , ,
∴ , ,
设平面 的一个法向量为 ,
则有 即 ∴∴ .
∵平面 的一个法向量为 ,
∴| ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
故答案为:B
【分析】先以A点为原点, , , 所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面 与平面 的一个法向量,根据向量夹角余弦值,即可得出结果.
4.设四边形ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF的夹角等于(  )
A.45° B.30° C.90° D.60°
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图
则A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1),所以 =(-1,1,0), =(1,0,1).
所以cos〈 , 〉= =- ,所以〈 , 〉=120°,所以AC与BF的夹角为60°。
故答案为:D
【分析】以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表求出向量的坐标,再利用数量积求向量夹角公式,进而结合异面直线所成的角的取值范围,从而求出异面直线AC与BF的夹角 。
5.(2019高二上·慈溪期中)如图,在长方体 中,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1和DM所成角为(  )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,如图,
设 ,则 , ,
,
因为 ,所以 ,即有 .
因为 ,所以 ,即异面直线 和 所成角为 .
故答案为:D.
【分析】建立空间直角坐标系,结合 ,求出 的坐标,利用向量夹角公式可求.
6.如图,点 为矩形 所在平面外一点, 平面 , 为 的中点, , , ,则点 到平面 的距离为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图,分别以 , , 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,则 , , , ,
, , ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 , ,∴ ,
∴点 到平面 的距离 。
故答案为:B.
【分析】分别以 , , 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 到平面 的距离 。
7.如图,在棱长为2的正方体 中,点 分别是棱 、 的中点,则点 到平面 的距离等于(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以 为坐标原点,分别以 , , 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 , , , .
设平面 的法向量为 ,
则 ,即
令 ,得 .
又 ,
点 到平面 的距离 。
故答案为:D.
【分析】以 为坐标原点,分别以 , , 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 到平面 的距离。
8.已知二面角 为 ,动点 分别在平面 , 内,点 到 的距离为 ,点 到 的距离为 ,则 点之间距离的最小值为(  ).
A. B.2 C. D.4
【答案】C
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】如图所示,分别作 于 , 于 , 于 , 于 ,连接 ,则 ,
所以 ,
又因为 ,
当且仅当 ,即点 与点 重合时取最小值。
故答案为:C
【分析】分别作 于 , 于 , 于 , 于 ,连接 ,则 ,所以 ,再利用勾股定理结合几何法求出PQ两点距离的取值范围,再结合几何法得出当且仅当 ,即点 与点 重合时取最小值,进而求出 两点之间距离的最小值 。
9.在空间直角坐标系中,定义:平面 的一般方程为 ( ,且A,B,C不同时为零),点 到平面 的距离 ,则在底面边长与高都为2的正四棱锥 中,底面中心O到侧面 的距离d等于(  )
A. B. C.2 D.5
【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以底面中心 为原点,建立空间直角坐标系 ,如图所示:
则 ,
设平面 的方程为 ,将点A,B,P的坐标代入计算得 , , ,所以方程可化为 ,即 ,
所以 。
故答案为:B.
【分析】以底面中心 为原点,建立空间直角坐标系 ,进而求出点的坐标,再利用已知条件结合点到直线的距离公式,进而求出底面中心O到侧面 的距离d的值。
10.(2019高三上·玉林月考)如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF= AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0), =(a,a,0), =(0,2a,2a), =(a,-a,0), =(0,0,2a),
设平面AGC的法向量为n1=(x1,y1,1),
由 n1=(1,-1,1).
sinθ= = = .
故答案为:C
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法,用数量积求向量夹角公式求出线面角的余弦值,再利用同角三角函数基本关系式求出线面角的正弦值。
二、填空题
11.在空间直角坐标系 中,已知 , ,则向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值为   .
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】平面 的一个法向量为 , ,
所以 ,
∵ ,
∴ 。
故答案为: 。
【分析】 在空间直角坐标系 中,已知 , , 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式,从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的余弦值,再利用向量 与平面 的法向量的夹角的取值范围,进而结合同角三角函数基本关系式,从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值。
12.在正四棱锥 中, 为顶点 在底面上的射影, 为侧棱 的中点,且 ,则直线 与平面 所成的角是   .
【答案】30°
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,
设OD=SO=OA=OB=OC=a(a>0),
则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0), .
则 , , .
设平面PAC的法向量为 ,则
即 ,得 ,令 ,则
,
则 ,
∴ ,
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°。
故答案为: 。
【分析】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设OD=SO=OA=OB=OC=a(a>0),进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式,进而利用两角互余的关系,求出直线BC与平面PAC所成的角。
13.正方体 的棱长为 , , 分别是 , 的中点,则点 到平面 的距离为   .
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】建立空间直角坐标系,如图所示,则 , , , .设平面 的法向量为 ,
则 ,
即 ,
∴ ,∴ .令 ,得 .
又∵ ,
∴点 到平面 的距离 。
故答案为: 。
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 到平面 的距离。
14.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为   .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式;棱柱的结构特征
【解析】【解答】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值,当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,此时P′C= = 。
【分析】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值,当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,进而利用相似三角形对应边成比例,从而求出点P到直线CC1的距离的最小值。
15.如图所示,在直平行六面体 中, , ,点 在 上,且 ,则点 到平面 的距离为   .
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , , , , , ,
∴ , .
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 , ,
∴ ,
∴点 到平面 的距离 。
故答案为: 。
【分析】利用已知条件建立如图所示的空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 到平面 的距离。
16.已知正方体 的棱长为4,M、N、P分别在棱 、 、 上,且 .过M、N、P三点的平面交 于点Q,则A、Q两点间的距离为   .
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理;空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】如图,分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
∴ .
∵过M、N、P三点的平面交 于点Q,
∴点Q在线段 上,点Q在平面 内,
∴可设 , .
又 ,
∴ 解得
∴ ,即A、Q两点间的距离为 。
故答案为: 。
【分析】分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合向量共线定理和平面向量基本定理,再结合三角形法则,进而利用向量的模的坐标表示,从而求出A、Q两点间的距离。
三、解答题
17.如图,已知四边形 为矩形,四边形 为直角梯形, , , , .
(1)求证: ;
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明:如图,连接 .由题设可知, .
∵ ,
∴ .
而 , ,
∴ 平面 .
∵ 平面 ,
∴ .
(2)解:如图,连接 , .
∵ ,又 , ,
∴ .
又 ,
∴ 平面 ,即 平面 .
∴ , .
设点 到平面 的距离为 ,由 ,
得 ,解得 .
∴点 到平面 的距离为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系;点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1) 连接 ,由题设可知, ,再结合勾股定理证出线线垂直,即 ,而 ,再结合线线垂直证出线面垂直,即 平面 ,再利用线面垂直的定义证出线线垂直,进而证出 。
(2) 连接 , ,因为 ,又因为 , ,所以 ,再利用线线垂直证出线面垂直,所以 平面 ,即 平面 ,再利用三棱锥体积公式结合已知条件求出三棱锥C-BEF的体积,再结合三角形面积公式求出三角形的面积,设点 到平面 的距离为 ,利用等体积法结合三棱锥的体积公式,进而求出d的值,从而求出点 到平面 的距离。
18.(2017高二上·汕头月考)如图,四棱锥 ,侧面 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面 是 的菱形, 为棱 上的动点,且 .
(I)求证: 为直角三角形;
(II)试确定 的值,使得二面角 的平面角余弦值为 .
【答案】解:(I)取 中点 ,连结 ,依题意可知 均为正三角形,所以 ,
又 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,
从而 为直角三角形.
说明:利用 平面 证明正确,同样满分!
(II)[向量法]由(I)可知 ,又平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ,所以 平面 .
以 为原点,建立空间直角坐标系 如图所示,则

由 可得点 的坐标
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
即 解得 ,
令 ,得 ,
显然平面 的一个法向量为 ,
依题意 ,
解得 或 (舍去),
所以,当 时,二面角 的余弦值为 .
[传统法]由(I)可知 平面 ,所以 ,
所以 为二面角 的平面角,
即 ,
在 中, ,
所以

由正弦定理可得 ,即
解得 ,
又 ,所以 ,
所以,当 时,二面角 的余弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定;用空间向量研究二面角;正弦定理
【解析】【分析】(1)结合题目条件,AD垂直平面POC,利用向量平行,性质传递性,即可得出答案。(2)向量法:建立坐标系,分别计算出平面PAD和ADM的法向量,结合向量的数量积,计算,即可得出答案。传统法:即为该平面角,对三角形POM运用正弦定理,计算出PM,结合勾股定理,计算PC的长,由此得出的值,即可得出答案。
19.如图,在直三棱柱 中, , , . 是线段 的中点, 是侧棱 上的一点.若 ,试求:
(1) 与底面 的夹角的正切值;
(2)BD与侧面AOO'A' 的夹角的余弦值.
【答案】(1)解:如图,以 为原点建立空间直角坐标系.由题意,得 , .
设 ,则 , .
∵ ,∴ ,解得 .
∴ .
∵ 平面 ,∴ 是 与底面 的夹角.
∵ ,
∴ 与底面 的夹角的正切值是
(2)解:∵ ,且 平面 ,
∴平面 的一个法向量为 .又∵ ,
∴ .
又∵ , ,
∴ .
∴ 与侧面 的夹角的余弦值为
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 以 为原点建立空间直角坐标系结合已知条件求出点B,D的坐标,再设 结合向量的坐标表示,进而求出向量的坐标,再利用两向量垂直数量积为0等价关系,再结合数量积的坐标表示,进而求出z的值,从而求出点P的坐标,再利用线面垂直得出 是 与底面 的夹角,再结合正切函数的定义,进而求出直线 与底面 的夹角的正切值。
(2) 以 为原点建立空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标,再结合向量的坐标表示,进而求出向量的坐标,再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式求出直线 与侧面 的夹角的余弦值 。
20.已知正方形 的边长为1, 平面 ,且 , , 分别为 , 的中点.
(1)求点 到平面 的距离;
(2)求直线 到平面 的距离.
【答案】(1)解:建立以点 为坐标原点, , , 分别为 轴, 轴, 轴正方向的空间直角坐标系,如图所示,
, , 分别为 , 的中点,
, , , , ,
所以 , , ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 , ,所以 ,
所以点 到平面 的距离 ,
故答案为:
(2)解:因为 ,
所以点 到平面 的距离 ,
, 分别为 , 的中点,
,
面 , 面 ,
面 ,
直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离,
直线 到平面 的距离为 ,
故答案为:
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1) 以点 为坐标原点, , , 分别为 轴, 轴, 轴正方向的空间直角坐标系, 再利用已知条件 , , 分别为 , 的中点,进而求出点的坐标,再结合向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 到平面 的距离 。
(2) 以点 为坐标原点, , , 分别为 轴, 轴, 轴正方向的空间直角坐标系, 再利用已知条件 , , 分别为 , 的中点,进而求出点的坐标,再结合向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出 点 到平面 的距离,再利用 , 分别为 , 的中点, 结合中点作中位线的方法,再利用中位线的性质证出线线平行,即 ,再利用线线平行证出线面平行,即 面 ,所以直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离,进而求出直线 到平面 的距离。
1 / 1高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究距离、夹角问题
一、单选题
1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为(  )
A.10 B.3 C. D.
2.设平面 与平面 的夹角为 ,若平面 的法向量分别为 ,则 (  )
A. B.
C. D.
3.(2019高二上·西安月考)在正方体 中,点E为 的中点,则平面 与平面 夹角的余弦值为(  )
A. B. C. D.
4.设四边形ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF的夹角等于(  )
A.45° B.30° C.90° D.60°
5.(2019高二上·慈溪期中)如图,在长方体 中,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1和DM所成角为(  )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.如图,点 为矩形 所在平面外一点, 平面 , 为 的中点, , , ,则点 到平面 的距离为(  )
A. B. C. D.
7.如图,在棱长为2的正方体 中,点 分别是棱 、 的中点,则点 到平面 的距离等于(  )
A. B. C. D.
8.已知二面角 为 ,动点 分别在平面 , 内,点 到 的距离为 ,点 到 的距离为 ,则 点之间距离的最小值为(  ).
A. B.2 C. D.4
9.在空间直角坐标系中,定义:平面 的一般方程为 ( ,且A,B,C不同时为零),点 到平面 的距离 ,则在底面边长与高都为2的正四棱锥 中,底面中心O到侧面 的距离d等于(  )
A. B. C.2 D.5
10.(2019高三上·玉林月考)如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF= AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为(  )
A. B. C. D.
二、填空题
11.在空间直角坐标系 中,已知 , ,则向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值为   .
12.在正四棱锥 中, 为顶点 在底面上的射影, 为侧棱 的中点,且 ,则直线 与平面 所成的角是   .
13.正方体 的棱长为 , , 分别是 , 的中点,则点 到平面 的距离为   .
14.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为   .
15.如图所示,在直平行六面体 中, , ,点 在 上,且 ,则点 到平面 的距离为   .
16.已知正方体 的棱长为4,M、N、P分别在棱 、 、 上,且 .过M、N、P三点的平面交 于点Q,则A、Q两点间的距离为   .
三、解答题
17.如图,已知四边形 为矩形,四边形 为直角梯形, , , , .
(1)求证: ;
(2)求点 到平面 的距离.
18.(2017高二上·汕头月考)如图,四棱锥 ,侧面 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面 是 的菱形, 为棱 上的动点,且 .
(I)求证: 为直角三角形;
(II)试确定 的值,使得二面角 的平面角余弦值为 .
19.如图,在直三棱柱 中, , , . 是线段 的中点, 是侧棱 上的一点.若 ,试求:
(1) 与底面 的夹角的正切值;
(2)BD与侧面AOO'A' 的夹角的余弦值.
20.已知正方形 的边长为1, 平面 ,且 , , 分别为 , 的中点.
(1)求点 到平面 的距离;
(2)求直线 到平面 的距离.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】 =(1,2,-4),又平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),
所以P到α的距离为 = 。
故答案为:D
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法,再结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 P(-2,1,4)到α的距离 。
2.【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题意, ,而平面 与平面 的夹角 与 相等或互补,所以 。
故答案为:B.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式,进而结合平面 与平面 的夹角 与 相等或互补,进而求出。
3.【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算;与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】以 点为原点, , , 所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则 , , ,
∴ , ,
设平面 的一个法向量为 ,
则有 即 ∴∴ .
∵平面 的一个法向量为 ,
∴| ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
故答案为:B
【分析】先以A点为原点, , , 所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面 与平面 的一个法向量,根据向量夹角余弦值,即可得出结果.
4.【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图
则A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1),所以 =(-1,1,0), =(1,0,1).
所以cos〈 , 〉= =- ,所以〈 , 〉=120°,所以AC与BF的夹角为60°。
故答案为:D
【分析】以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表求出向量的坐标,再利用数量积求向量夹角公式,进而结合异面直线所成的角的取值范围,从而求出异面直线AC与BF的夹角 。
5.【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,如图,
设 ,则 , ,
,
因为 ,所以 ,即有 .
因为 ,所以 ,即异面直线 和 所成角为 .
故答案为:D.
【分析】建立空间直角坐标系,结合 ,求出 的坐标,利用向量夹角公式可求.
6.【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图,分别以 , , 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,则 , , , ,
, , ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 , ,∴ ,
∴点 到平面 的距离 。
故答案为:B.
【分析】分别以 , , 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 到平面 的距离 。
7.【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以 为坐标原点,分别以 , , 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 , , , .
设平面 的法向量为 ,
则 ,即
令 ,得 .
又 ,
点 到平面 的距离 。
故答案为:D.
【分析】以 为坐标原点,分别以 , , 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 到平面 的距离。
8.【答案】C
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】如图所示,分别作 于 , 于 , 于 , 于 ,连接 ,则 ,
所以 ,
又因为 ,
当且仅当 ,即点 与点 重合时取最小值。
故答案为:C
【分析】分别作 于 , 于 , 于 , 于 ,连接 ,则 ,所以 ,再利用勾股定理结合几何法求出PQ两点距离的取值范围,再结合几何法得出当且仅当 ,即点 与点 重合时取最小值,进而求出 两点之间距离的最小值 。
9.【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以底面中心 为原点,建立空间直角坐标系 ,如图所示:
则 ,
设平面 的方程为 ,将点A,B,P的坐标代入计算得 , , ,所以方程可化为 ,即 ,
所以 。
故答案为:B.
【分析】以底面中心 为原点,建立空间直角坐标系 ,进而求出点的坐标,再利用已知条件结合点到直线的距离公式,进而求出底面中心O到侧面 的距离d的值。
10.【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0), =(a,a,0), =(0,2a,2a), =(a,-a,0), =(0,0,2a),
设平面AGC的法向量为n1=(x1,y1,1),
由 n1=(1,-1,1).
sinθ= = = .
故答案为:C
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法,用数量积求向量夹角公式求出线面角的余弦值,再利用同角三角函数基本关系式求出线面角的正弦值。
11.【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】平面 的一个法向量为 , ,
所以 ,
∵ ,
∴ 。
故答案为: 。
【分析】 在空间直角坐标系 中,已知 , , 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式,从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的余弦值,再利用向量 与平面 的法向量的夹角的取值范围,进而结合同角三角函数基本关系式,从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值。
12.【答案】30°
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,
设OD=SO=OA=OB=OC=a(a>0),
则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0), .
则 , , .
设平面PAC的法向量为 ,则
即 ,得 ,令 ,则
,
则 ,
∴ ,
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°。
故答案为: 。
【分析】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设OD=SO=OA=OB=OC=a(a>0),进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式,进而利用两角互余的关系,求出直线BC与平面PAC所成的角。
13.【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】建立空间直角坐标系,如图所示,则 , , , .设平面 的法向量为 ,
则 ,
即 ,
∴ ,∴ .令 ,得 .
又∵ ,
∴点 到平面 的距离 。
故答案为: 。
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 到平面 的距离。
14.【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式;棱柱的结构特征
【解析】【解答】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值,当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,此时P′C= = 。
【分析】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值,当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,进而利用相似三角形对应边成比例,从而求出点P到直线CC1的距离的最小值。
15.【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , , , , , ,
∴ , .
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 , ,
∴ ,
∴点 到平面 的距离 。
故答案为: 。
【分析】利用已知条件建立如图所示的空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 到平面 的距离。
16.【答案】
【知识点】平面向量的基本定理;空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】如图,分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
∴ .
∵过M、N、P三点的平面交 于点Q,
∴点Q在线段 上,点Q在平面 内,
∴可设 , .
又 ,
∴ 解得
∴ ,即A、Q两点间的距离为 。
故答案为: 。
【分析】分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合向量共线定理和平面向量基本定理,再结合三角形法则,进而利用向量的模的坐标表示,从而求出A、Q两点间的距离。
17.【答案】(1)证明:如图,连接 .由题设可知, .
∵ ,
∴ .
而 , ,
∴ 平面 .
∵ 平面 ,
∴ .
(2)解:如图,连接 , .
∵ ,又 , ,
∴ .
又 ,
∴ 平面 ,即 平面 .
∴ , .
设点 到平面 的距离为 ,由 ,
得 ,解得 .
∴点 到平面 的距离为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系;点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1) 连接 ,由题设可知, ,再结合勾股定理证出线线垂直,即 ,而 ,再结合线线垂直证出线面垂直,即 平面 ,再利用线面垂直的定义证出线线垂直,进而证出 。
(2) 连接 , ,因为 ,又因为 , ,所以 ,再利用线线垂直证出线面垂直,所以 平面 ,即 平面 ,再利用三棱锥体积公式结合已知条件求出三棱锥C-BEF的体积,再结合三角形面积公式求出三角形的面积,设点 到平面 的距离为 ,利用等体积法结合三棱锥的体积公式,进而求出d的值,从而求出点 到平面 的距离。
18.【答案】解:(I)取 中点 ,连结 ,依题意可知 均为正三角形,所以 ,
又 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,
从而 为直角三角形.
说明:利用 平面 证明正确,同样满分!
(II)[向量法]由(I)可知 ,又平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ,所以 平面 .
以 为原点,建立空间直角坐标系 如图所示,则

由 可得点 的坐标
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
即 解得 ,
令 ,得 ,
显然平面 的一个法向量为 ,
依题意 ,
解得 或 (舍去),
所以,当 时,二面角 的余弦值为 .
[传统法]由(I)可知 平面 ,所以 ,
所以 为二面角 的平面角,
即 ,
在 中, ,
所以

由正弦定理可得 ,即
解得 ,
又 ,所以 ,
所以,当 时,二面角 的余弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定;用空间向量研究二面角;正弦定理
【解析】【分析】(1)结合题目条件,AD垂直平面POC,利用向量平行,性质传递性,即可得出答案。(2)向量法:建立坐标系,分别计算出平面PAD和ADM的法向量,结合向量的数量积,计算,即可得出答案。传统法:即为该平面角,对三角形POM运用正弦定理,计算出PM,结合勾股定理,计算PC的长,由此得出的值,即可得出答案。
19.【答案】(1)解:如图,以 为原点建立空间直角坐标系.由题意,得 , .
设 ,则 , .
∵ ,∴ ,解得 .
∴ .
∵ 平面 ,∴ 是 与底面 的夹角.
∵ ,
∴ 与底面 的夹角的正切值是
(2)解:∵ ,且 平面 ,
∴平面 的一个法向量为 .又∵ ,
∴ .
又∵ , ,
∴ .
∴ 与侧面 的夹角的余弦值为
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 以 为原点建立空间直角坐标系结合已知条件求出点B,D的坐标,再设 结合向量的坐标表示,进而求出向量的坐标,再利用两向量垂直数量积为0等价关系,再结合数量积的坐标表示,进而求出z的值,从而求出点P的坐标,再利用线面垂直得出 是 与底面 的夹角,再结合正切函数的定义,进而求出直线 与底面 的夹角的正切值。
(2) 以 为原点建立空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标,再结合向量的坐标表示,进而求出向量的坐标,再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式求出直线 与侧面 的夹角的余弦值 。
20.【答案】(1)解:建立以点 为坐标原点, , , 分别为 轴, 轴, 轴正方向的空间直角坐标系,如图所示,
, , 分别为 , 的中点,
, , , , ,
所以 , , ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 , ,所以 ,
所以点 到平面 的距离 ,
故答案为:
(2)解:因为 ,
所以点 到平面 的距离 ,
, 分别为 , 的中点,
,
面 , 面 ,
面 ,
直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离,
直线 到平面 的距离为 ,
故答案为:
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1) 以点 为坐标原点, , , 分别为 轴, 轴, 轴正方向的空间直角坐标系, 再利用已知条件 , , 分别为 , 的中点,进而求出点的坐标,再结合向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出点 到平面 的距离 。
(2) 以点 为坐标原点, , , 分别为 轴, 轴, 轴正方向的空间直角坐标系, 再利用已知条件 , , 分别为 , 的中点,进而求出点的坐标,再结合向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式,进而求出 点 到平面 的距离,再利用 , 分别为 , 的中点, 结合中点作中位线的方法,再利用中位线的性质证出线线平行,即 ,再利用线线平行证出线面平行,即 面 ,所以直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离,进而求出直线 到平面 的距离。
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