2.1 等式性质与不等式性质（第二课时） 课件（共26张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.1 等式性质与不等式性质（第二课时） 课件（共26张PPT） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-29 23:28:53 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.1.2 不等式的性质
高中数学/人教A版/必修一
知识篇
素养篇
思维篇
2.1.2 不等式的性质
上一课时我们学习了比较两个数的大小，为我们学习不等式的性质奠定了基础. 让我们先回顾等式的有关性质：
性质１ 如果a＝b，那么b＝a；
性质２ 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质３ 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质４ 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质５ 如果a＝b，c≠０，那么＝．
等式有下面的基本性质：
接下来，我们类比等式的性质，猜想不等式的性质，请你给出证明.
不等式的性质：
性质１ 如果a>b，那么b性质２ 如果a>b，b>c，那么a>c；(传递性)
不等式的性质
1
不等式的性质：
性质3 如果a>b，那么a+c>b+c； (加法保序性)
推论： a+c>b a>b-c
证明：ac-bc=(a-b)c
∵ a>b, ∴a-b>0
∴ c>0时， ac-bc>0, ac>bc;
c<0时， ac-bc<0, ac不等式的性质：
性质4 如果a＞b，c＞０，那么ac＞bc ；(正数保序性)
如果a＞b，c＜０，那么ac＜bc . (负数反序性)
不等式的性质：
性质5 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．(同向可加性)
性质６ 如果a＞b＞０，c＞d＞０，那么ac＞bd．
(正数同向乘法保序性)
特别地：若a＞b＞０，则
＞ (保序性)
0< < (反序性)
不等式的性质：
性质7 如果a＞b＞０，那么an＞bn （n∈N，n≥２）
(正数乘方保序性)
性质8 如果a＞b＞０，那么＞ （n∈N，n≥２）
(正数开方保序性)
(1)如果a＞b，c＜d，那么a－c b－d；
(2)如果a＞b＞０，c＜d＜０，那么ac bd；
(3)如果a＞b＞０，那么 ；
(4)如果a＞b＞c＞０，那么
练一练
1. 用不等号 “＞”或 “＜”填空：
答案: (1)＞; (2)＞; (3)＜; (4)＜.
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
练一练
2. 已知x,y∈R,则“|x|+|y|>0”是“x>0”的 ( )
答案: B
2
不等式性质的应用
例题.已知a>b>0, c<0, > .
证明： 因为a>b>0, 所以ab>0, >0
所以a× > b× ;
即 > ;
又c<0, 所以 .
正数同向可乘性
倒数保号性
正数保序性
负数反序性
A．x2＜ax＜a2 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞ax
答案：B
练一练
设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是( )
知识篇
素养篇
思维篇
2.1.2 不等式的性质
1.对于实数a,b,c, 给出下列命题:
①若a>b,则ac2>bc2; ②若aab>b2;
③若a>b,则a2>b2; ④若a
其中,正确命题的序号是 .
方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数据分析
问
题
解
答
填②④ ①不严密！ c=0时不成立；
②因为-a>-b>0,所以(-a)(-a)>(-a)(-b)>(-b)(-b)
③换一种叙述：若a>b，a>b ，则aa>bb; 错误！
④因为-a>-b>0,所以>>0, 所以 (-a)()>(-b))
不等式的推导过程，每一步都必需有依据，而主要依据就是实数大小的事实和不等式的性质.
2.(1)设a,b∈R,若a->0,则下列不等式中正确的是( )
A. b-a>0 B. a3+b3<0 C. a2-b2<0 D. a+b>0
方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数据分析
问
题
解
答
(1)选D 注意到≥-b
(2)选D 因为-c>-d >0,所以>>0, 所以 a()>b()>0
在不等式推导过程中，常用到的两个结论：
1) ≥±x 2) a>b>0时，>>0
(2)若a>b>0，cA.> B.< C.> D. <
3.已知12方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数据分析
问
题
解
答
因为15又12即-24不等式中出现减法运算时，要调整为加上减数的相反数，再用不等式的同向可加性；
两个正数的倒数具有反序性.
知识篇
素养篇
思维篇
2.1.2 不等式的性质
1.设a>0, 不等式-c < ax+b < c的解集是{x｜-2则a:b:c= .
数学思想 之 转化与化归
问
题
解
答
方法总结
由-c < ax+b < c得-b-c c-b
又因为a>0, 所以
由已知，有, =1
解得：=，= ， 所以a:b:c=2 : 1: 3
解不等式过程中的每一步化归，都用到不等式的性质；运用不等式的性质时，要检查性质的前提条件.
数学思想 之 转化与化归
问
题
解
答
2.已知a,b,c∈R，a+b+c=0, abc<0，求证：>0.
证明：由a+b+c=0,abc<0知 a,b,c中两正一负；
不妨设a>0,b>0, c<0 ； 则
===
因为 -c=a+b>0 ,所以 c2=(a+b)2>ab
所以 -c2+ab<0, 又abc<0 , 所以
方法
对于轮换式，可以作出具体的假设，以利于进一步推导.
3.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且
三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分
别为x,y,z,且x分别为a,b,c,且a元)是( )
A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
数学思想 之 极端思想
问
题
解
答
选B
根据极端思想，用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元.
可以用作差比较法加以验证.
注意：根据正数同向可乘性能得到的是最高的总费用；另一种极端情况就能得到最低的总费用.
方法总结
4.已知-2数学思想 之 转化与化归
问
题
解
答
设m=a+b, n=a-b, 则-2所以-6<3m≤15, -8≤-2n≤2;
又a+5b=3m-2n，所以-14已知二元不等式，可以通过换元转化为一元不等式；目标式的转化可以用观察法或待定系数法.
方法总结
5.若-10数学思想 之 分类讨论
问
题
解
答
1)当a≥0时，+b=a+b;
由0≤a<8, 02)当a<0时，+b=-a+b;
由0<-a<10, -10又由a综合1),2) 得：0<+b<18
1.目标式带有绝对值的，要分类讨论；
2 .两个变量取值有关联时，要注意其对目标式的影响.
方法总结
课堂小结
一、本节课学习的新知识
不等式的性质
不等式性质的应用
二、本节课提升的核心素养
逻辑推理
数据分析
课堂小结
数学运算
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
课堂小结
分类讨论
极端思想
01
基础作业： .
02
能力作业： .
03
拓展延伸：（选做）
作业
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.1.2 不等式的性质
高中数学/人教A版/必修一
知识篇
素养篇
思维篇
2.1.2 不等式的性质
上一课时我们学习了比较两个数的大小，为我们学习不等式的性质奠定了基础. 让我们先回顾等式的有关性质：
性质１ 如果a＝b，那么b＝a；
性质２ 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质３ 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质４ 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质５ 如果a＝b，c≠０，那么＝．
等式有下面的基本性质：
接下来，我们类比等式的性质，猜想不等式的性质，请你给出证明.
不等式的性质：
性质１ 如果a>b，那么b
不等式的性质
1
不等式的性质：
性质3 如果a>b，那么a+c>b+c； (加法保序性)
推论： a+c>b a>b-c
证明：ac-bc=(a-b)c
∵ a>b, ∴a-b>0
∴ c>0时， ac-bc>0, ac>bc;
c<0时， ac-bc<0, ac
性质4 如果a＞b，c＞０，那么ac＞bc ；(正数保序性)
如果a＞b，c＜０，那么ac＜bc . (负数反序性)
不等式的性质：
性质5 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．(同向可加性)
性质６ 如果a＞b＞０，c＞d＞０，那么ac＞bd．
(正数同向乘法保序性)
特别地：若a＞b＞０，则
＞ (保序性)
0< < (反序性)
不等式的性质：
性质7 如果a＞b＞０，那么an＞bn （n∈N，n≥２）
(正数乘方保序性)
性质8 如果a＞b＞０，那么＞ （n∈N，n≥２）
(正数开方保序性)
(1)如果a＞b，c＜d，那么a－c b－d；
(2)如果a＞b＞０，c＜d＜０，那么ac bd；
(3)如果a＞b＞０，那么 ；
(4)如果a＞b＞c＞０，那么
练一练
1. 用不等号 “＞”或 “＜”填空：
答案: (1)＞; (2)＞; (3)＜; (4)＜.
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
练一练
2. 已知x,y∈R,则“|x|+|y|>0”是“x>0”的 ( )
答案: B
2
不等式性质的应用
例题.已知a>b>0, c<0, > .
证明： 因为a>b>0, 所以ab>0, >0
所以a× > b× ;
即 > ;
又c<0, 所以 .
正数同向可乘性
倒数保号性
正数保序性
负数反序性
A．x2＜ax＜a2 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞ax
答案：B
练一练
设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是( )
知识篇
素养篇
思维篇
2.1.2 不等式的性质
1.对于实数a,b,c, 给出下列命题:
①若a>b,则ac2>bc2; ②若a
③若a>b,则a2>b2; ④若a
其中,正确命题的序号是 .
方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数据分析
问
题
解
答
填②④ ①不严密！ c=0时不成立；
②因为-a>-b>0,所以(-a)(-a)>(-a)(-b)>(-b)(-b)
③换一种叙述：若a>b，a>b ，则aa>bb; 错误！
④因为-a>-b>0,所以>>0, 所以 (-a)()>(-b))
不等式的推导过程，每一步都必需有依据，而主要依据就是实数大小的事实和不等式的性质.
2.(1)设a,b∈R,若a->0,则下列不等式中正确的是( )
A. b-a>0 B. a3+b3<0 C. a2-b2<0 D. a+b>0
方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数据分析
问
题
解
答
(1)选D 注意到≥-b
(2)选D 因为-c>-d >0,所以>>0, 所以 a()>b()>0
在不等式推导过程中，常用到的两个结论：
1) ≥±x 2) a>b>0时，>>0
(2)若a>b>0，c
3.已知12
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数据分析
问
题
解
答
因为15
两个正数的倒数具有反序性.
知识篇
素养篇
思维篇
2.1.2 不等式的性质
1.设a>0, 不等式-c < ax+b < c的解集是{x｜-2
数学思想 之 转化与化归
问
题
解
答
方法总结
由-c < ax+b < c得-b-c c-b
又因为a>0, 所以
由已知，有, =1
解得：=，= ， 所以a:b:c=2 : 1: 3
解不等式过程中的每一步化归，都用到不等式的性质；运用不等式的性质时，要检查性质的前提条件.
数学思想 之 转化与化归
问
题
解
答
2.已知a,b,c∈R，a+b+c=0, abc<0，求证：>0.
证明：由a+b+c=0,abc<0知 a,b,c中两正一负；
不妨设a>0,b>0, c<0 ； 则
===
因为 -c=a+b>0 ,所以 c2=(a+b)2>ab
所以 -c2+ab<0, 又abc<0 , 所以
方法
对于轮换式，可以作出具体的假设，以利于进一步推导.
3.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且
三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分
别为x,y,z,且x
A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
数学思想 之 极端思想
问
题
解
答
选B
根据极端思想，用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元.
可以用作差比较法加以验证.
注意：根据正数同向可乘性能得到的是最高的总费用；另一种极端情况就能得到最低的总费用.
方法总结
4.已知-2
问
题
解
答
设m=a+b, n=a-b, 则-2
又a+5b=3m-2n，所以-14
方法总结
5.若-10
问
题
解
答
1)当a≥0时，+b=a+b;
由0≤a<8, 0
由0<-a<10, -10
1.目标式带有绝对值的，要分类讨论；
2 .两个变量取值有关联时，要注意其对目标式的影响.
方法总结
课堂小结
一、本节课学习的新知识
不等式的性质
不等式性质的应用
二、本节课提升的核心素养
逻辑推理
数据分析
课堂小结
数学运算
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
课堂小结
分类讨论
极端思想
01
基础作业： .
02
能力作业： .
03
拓展延伸：（选做）
作业
同课章节目录
- 第一章 集合与常用逻辑用语
- 1.1 集合的概念
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.3 集合的基本运算
- 1.4 充分条件与必要条件
- 1.5 全称量词与存在量词
- 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2.1 等式性质与不等式性质
- 2.2 基本不等式
- 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
- 第三章 函数概念与性质
- 3.1 函数的概念及其表示
- 3.2 函数的基本性质
- 3.3 幂函数
- 3.4 函数的应用（一）
- 第四章 指数函数与对数函数
- 4.1 指数
- 4.2 指数函数
- 4.3 对数
- 4.4 对数函数
- 4.5 函数的应用（二）
- 第五章 三角函数
- 5.1 任意角和弧度制
- 5.2 三角函数的概念
- 5.3 诱导公式
- 5.4 三角函数的图象与性质
- 5.5 三角恒等变换
- 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
- 5.7 三角函数的应用