人教A版（2019） 必修一 5.2 三角函数的概念

人教A版（2019） 必修一 5.2 三角函数的概念
一、单选题
1．（2020高三上·平顶山月考）已知角 的顶点在坐标原点，始边在 轴非负半轴上，终边与单位圆交于 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由三角函数的定义， .
故答案为：D.
【分析】根据正弦函数的定义求解．
2．（2020高二上·双峰月考）已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题设 可得 ,经检验 成立,
故答案为：A.
【分析】利用三角函数的定义结合已知条件，经检验，从而求出满足要求的m的值。
3．（2020高一下·丽水期末）已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由三角函数定义得
由三角函数定义得
故答案为：C
【分析】根据三角函数定义列方程，解得m，再根据三角函数定义求结果.
4．（2020高一下·辽宁期中）已知角 的终边过点 ，则 的值是（　　）
A． B．
C． 或 D．随着k的取值不同其值不同
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】∵角 的终边过点 ，∴ = ,∴ 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合三角函数定义求出角的正弦值和余弦值，从而求出 的值。
5．（2020高一下·潮州期中）若函数 的图象经过定点P，且点 在角 的终边上，则 的值等于（　　）
A．2 B． C．－2 D．
【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为函数 的图象经过定点 ，所以函数 的图象经过定点 ，
因为点 在角 的终边上，所以 .
故答案为：A.
【分析】根据函数图象的平移变换可得定点P的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果.
6．（2020高一下·东莞月考）若 ，则点 位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】 ，故点Q在第四象限。
【分析】利用角的取值范围，从而结合正弦函数和余弦函数的图象，从而求出点Q坐标中横坐标和纵坐标的正负，从而求出点Q所在的象限。
7．（2020高一下·林州月考）已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是（　　）
A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3]
【答案】A
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2【分析】根据题意可得 且 ，解不等式组求得 的取值范围．
8．（2019高一上·厦门月考）若α是第三象限角，则y＝ ＋ 的值为（　　）
A．0 B．2 C．－2 D．2或－2
【答案】A
【知识点】象限角、轴线角；三角函数值的符号
【解析】【解答】∵α是第三象限角，∴ 是第二或第四象限角，
当 为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0；
当 为第四象限角时，y＝－1＋1＝0，∴y＝0，
故答案为：A。
【分析】利用角α所在的象限推出角 所在的象限，再利用分类讨论的方法推出角 的正、余弦值的正负，从而去绝对值求出y的值。
9．（2019高一上·金华月考）如图，点 在圆 上，且点 位于第一象限，圆 与 正半轴的交点是 ，点 的坐标为 ， ，若 则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】半径r＝|OB| 1，
由三角函数定义知，点A的坐标为（cosα，sinα）；
∵点B的坐标为（ ， ），|BC| ，
∴ ，
∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又 + =1，
∴解得sin 或 ，又点 位于第一象限，∴0< < ，∴sin ，
故答案为：A.
【分析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A的坐标,由A，B的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合 + =1，即可解得 的值．
10．（2019高一上·宾县月考）已知 ， ，若 为第二象限角，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】∵ ，∴ ，解得 或 ，
时， ， 不是第二象限角，舍去． 时， 符合题意．
∴ ．
故答案为：D．
【分析】由 ，注意 在第二象限，有 即可．
11．（2019高一上·蚌埠月考）若角 满足条件 ，且 ，则 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】因为 ，所以 在第二或第四象限，且 ，所以 在第二象限．
故答案为：B
【分析】先由已知 ，判断 在第二或第四象限，再由 ，即可确定 所在象限.
12．（2019高二上·沧县月考）已知角 的终边在射线 上，那么 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵角 的终边在射线 上，
∴在 的终边上任意取一点 则
故答案为：B．
【分析】在角 的终边上任意取一点 利用任意角的三角函数的定义求得结果．
13．（2019高一上·南海月考）已知角 终边上一点 的坐标为 （ ），则 的值是（　　）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由正切函数的定义可得 ，即 代入 可得 ，
故答案为：D。
【分析】由正切函数的定义可得 ，切化弦得到代入即可得结果.
二、填空题
14．（2020高一下·上海期末）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于　 　．
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），
∴x=﹣3a，y=4a，r= =5a，
∴sinα+2cosα= = ．
故答案为 ．
【分析】利用任意角三角函数定义求解
15．（2020高一下·海淀期中）已知 ， ，则 　 　.
【答案】 或
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 在第一和第二象限，所以 或 .
故答案为： 或
【分析】确定 在第一和第二象限，再写出方程的解.
16．（2020高一下·普宁月考）若角 的终边落在射线 上，则 　 　.
【答案】0
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】 角 的终边落在射线 上，
，
.
故答案为： .
【分析】根据三角函数的定义，分别求得 的值，即可得到答案.
三、解答题
17．（2020高一下·内蒙古期末）已知角 的终边经过点 ，且 ．
（1）求m的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：因为已知角 的终边经过点 ，且 ，所以有 ，求得
（2）解：由（1）可得， ，
原式= = =
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）角 的终边经过点 ，所以可以得到 ，而 ，所以可以求出 的值；（2）由（1）可以求出 的值，然后把 写成分母为1的形式，再用 进行代换，最后分子、分母同除以 ，求出代数式的值.
18．（2020高一下·宁波期中）已知－ ＜x＜0，sin x＋cos x＝ ．
（1）求sinxcosx；
（2）求sinx－cosx的值
【答案】（1）解：由sin x＋cos x＝ 两边平方得 ，
所以 .
（2）解：因为－ ＜x＜0，所以 ， ，
所以
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）两边平方后，根据平方关系式可得结果；（2）根据－ ＜x＜0可知 ，再配方可解得结果.
19．（2020高一下·开鲁期中）
（1）若 ，且 是第三象限角，求 、 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：∵ ， 是第三象限角，
∴ ， .
（2）解：∵ ，∴ 是第二或第四象限角.
由 ，可得 .
当 是第二象限角时， ； 当 是第四象限角时， .
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系结合角度范围得到答案.（2）根据题意得到 ，解得 ，讨论范围得到答案.
20．（2020高一上·义乌期末）已知
（1）化简： ；
（2）计算： .
【答案】（1）解：由 及 得
得
∴
.
（2）解：由 两边平方得：
故有 ，从而
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求 ，进而即可化简得解；（2）由 ，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求 ，即可得解．
21．（2019高一上·鹤岗月考）已知 ，且 有意义.
（1）试判断角 是第几象限角；
（2）若角 的终边上一点是 ，且 |OM|=1 （ 为坐标原点），求 的值及 的值.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ,由 有意义，可知 ，
所以角 是第四象限角.
（2）解：因为 ，所以 ，得 ，
又因为角 是第四象限角，
所以 ，所以 ,所以 .
【知识点】函数的定义域及其求法；象限角、轴线角；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据 得到 ，结合对数函数定义域求得 ，由此即可判断出 所在象限；
（2）由已知垂直关系列方程，求得 的值，再根据三角函数的定义，即可求得 的值.
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一、单选题
1．（2020高三上·平顶山月考）已知角 的顶点在坐标原点，始边在 轴非负半轴上，终边与单位圆交于 ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2020高二上·双峰月考）已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高一下·丽水期末）已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一下·辽宁期中）已知角 的终边过点 ，则 的值是（　　）
A． B．
C． 或 D．随着k的取值不同其值不同
5．（2020高一下·潮州期中）若函数 的图象经过定点P，且点 在角 的终边上，则 的值等于（　　）
A．2 B． C．－2 D．
6．（2020高一下·东莞月考）若 ，则点 位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2020高一下·林州月考）已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是（　　）
A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3]
8．（2019高一上·厦门月考）若α是第三象限角，则y＝ ＋ 的值为（　　）
A．0 B．2 C．－2 D．2或－2
9．（2019高一上·金华月考）如图，点 在圆 上，且点 位于第一象限，圆 与 正半轴的交点是 ，点 的坐标为 ， ，若 则 的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2019高一上·宾县月考）已知 ， ，若 为第二象限角，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． 或 D．
11．（2019高一上·蚌埠月考）若角 满足条件 ，且 ，则 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2019高二上·沧县月考）已知角 的终边在射线 上，那么 等于（　　）
A． B． C． D．
13．（2019高一上·南海月考）已知角 终边上一点 的坐标为 （ ），则 的值是（　　）
A．2 B．-2 C． D．
二、填空题
14．（2020高一下·上海期末）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于　 　．
15．（2020高一下·海淀期中）已知 ， ，则 　 　.
16．（2020高一下·普宁月考）若角 的终边落在射线 上，则 　 　.
三、解答题
17．（2020高一下·内蒙古期末）已知角 的终边经过点 ，且 ．
（1）求m的值；
（2）求 的值．
18．（2020高一下·宁波期中）已知－ ＜x＜0，sin x＋cos x＝ ．
（1）求sinxcosx；
（2）求sinx－cosx的值
19．（2020高一下·开鲁期中）
（1）若 ，且 是第三象限角，求 、 的值；
（2）若 ，求 的值.
20．（2020高一上·义乌期末）已知
（1）化简： ；
（2）计算： .
21．（2019高一上·鹤岗月考）已知 ，且 有意义.
（1）试判断角 是第几象限角；
（2）若角 的终边上一点是 ，且 |OM|=1 （ 为坐标原点），求 的值及 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由三角函数的定义， .
故答案为：D.
【分析】根据正弦函数的定义求解．
2．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题设 可得 ,经检验 成立,
故答案为：A.
【分析】利用三角函数的定义结合已知条件，经检验，从而求出满足要求的m的值。
3．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由三角函数定义得
由三角函数定义得
故答案为：C
【分析】根据三角函数定义列方程，解得m，再根据三角函数定义求结果.
4．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】∵角 的终边过点 ，∴ = ,∴ 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合三角函数定义求出角的正弦值和余弦值，从而求出 的值。
5．【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为函数 的图象经过定点 ，所以函数 的图象经过定点 ，
因为点 在角 的终边上，所以 .
故答案为：A.
【分析】根据函数图象的平移变换可得定点P的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果.
6．【答案】D
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】 ，故点Q在第四象限。
【分析】利用角的取值范围，从而结合正弦函数和余弦函数的图象，从而求出点Q坐标中横坐标和纵坐标的正负，从而求出点Q所在的象限。
7．【答案】A
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2【分析】根据题意可得 且 ，解不等式组求得 的取值范围．
8．【答案】A
【知识点】象限角、轴线角；三角函数值的符号
【解析】【解答】∵α是第三象限角，∴ 是第二或第四象限角，
当 为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0；
当 为第四象限角时，y＝－1＋1＝0，∴y＝0，
故答案为：A。
【分析】利用角α所在的象限推出角 所在的象限，再利用分类讨论的方法推出角 的正、余弦值的正负，从而去绝对值求出y的值。
9．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】半径r＝|OB| 1，
由三角函数定义知，点A的坐标为（cosα，sinα）；
∵点B的坐标为（ ， ），|BC| ，
∴ ，
∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又 + =1，
∴解得sin 或 ，又点 位于第一象限，∴0< < ，∴sin ，
故答案为：A.
【分析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A的坐标,由A，B的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合 + =1，即可解得 的值．
10．【答案】D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】∵ ，∴ ，解得 或 ，
时， ， 不是第二象限角，舍去． 时， 符合题意．
∴ ．
故答案为：D．
【分析】由 ，注意 在第二象限，有 即可．
11．【答案】B
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】因为 ，所以 在第二或第四象限，且 ，所以 在第二象限．
故答案为：B
【分析】先由已知 ，判断 在第二或第四象限，再由 ，即可确定 所在象限.
12．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵角 的终边在射线 上，
∴在 的终边上任意取一点 则
故答案为：B．
【分析】在角 的终边上任意取一点 利用任意角的三角函数的定义求得结果．
13．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由正切函数的定义可得 ，即 代入 可得 ，
故答案为：D。
【分析】由正切函数的定义可得 ，切化弦得到代入即可得结果.
14．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），
∴x=﹣3a，y=4a，r= =5a，
∴sinα+2cosα= = ．
故答案为 ．
【分析】利用任意角三角函数定义求解
15．【答案】 或
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 在第一和第二象限，所以 或 .
故答案为： 或
【分析】确定 在第一和第二象限，再写出方程的解.
16．【答案】0
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】 角 的终边落在射线 上，
，
.
故答案为： .
【分析】根据三角函数的定义，分别求得 的值，即可得到答案.
17．【答案】（1）解：因为已知角 的终边经过点 ，且 ，所以有 ，求得
（2）解：由（1）可得， ，
原式= = =
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）角 的终边经过点 ，所以可以得到 ，而 ，所以可以求出 的值；（2）由（1）可以求出 的值，然后把 写成分母为1的形式，再用 进行代换，最后分子、分母同除以 ，求出代数式的值.
18．【答案】（1）解：由sin x＋cos x＝ 两边平方得 ，
所以 .
（2）解：因为－ ＜x＜0，所以 ， ，
所以
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）两边平方后，根据平方关系式可得结果；（2）根据－ ＜x＜0可知 ，再配方可解得结果.
19．【答案】（1）解：∵ ， 是第三象限角，
∴ ， .
（2）解：∵ ，∴ 是第二或第四象限角.
由 ，可得 .
当 是第二象限角时， ； 当 是第四象限角时， .
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系结合角度范围得到答案.（2）根据题意得到 ，解得 ，讨论范围得到答案.
20．【答案】（1）解：由 及 得
得
∴
.
（2）解：由 两边平方得：
故有 ，从而
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求 ，进而即可化简得解；（2）由 ，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求 ，即可得解．
21．【答案】（1）解：因为 ，所以 ,由 有意义，可知 ，
所以角 是第四象限角.
（2）解：因为 ，所以 ，得 ，
又因为角 是第四象限角，
所以 ，所以 ,所以 .
【知识点】函数的定义域及其求法；象限角、轴线角；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据 得到 ，结合对数函数定义域求得 ，由此即可判断出 所在象限；
（2）由已知垂直关系列方程，求得 的值，再根据三角函数的定义，即可求得 的值.
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