广东省深圳市2021-2022学年第二学期学科素养形成八年级数学第一章三角形的证明
一、选择题(共10小题，共30分)
1．（2021八上·恩平期中）等腰三角形的一个底角等于 ，则它的顶角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个底角等于 ，
∴另外一个底角也是55°，
∴它的顶角为： ．
故答案为：C．
【分析】先求出另外一个底角也是55°，再计算求解即可。
2．（2021八上·东莞期中）如图， 中，点 在 上，连接BD，∠ABD=2∠DBC，∠ADB=2∠C，∠DBC=∠A，则图中共有等腰三角形（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：图中共有等腰三角形3个，理由如下：
∵∠ADB＝∠C＋∠DBC，∠ADB＝2∠C，
∴∠DBC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，DB＝DC，
∵∠ABD＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形，AB＝AD，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，AB＝CB，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的判定定理分别求出DB=DC，AB=AD，AB=CB即可。
3．下列说法：
①一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；④用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故①说法错误；
②等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角平分线互相重合，故②说法错误；
③在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 ，故③说法正确；
④用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故④说法错误；
综上所述，说法正确的只有1个；
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线等对每个说法一一判断即可。
4．如图，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC= 150°，BC的长是40 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）m．
A．20 B．40 C．80 D．10
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
如图：过点C作CE⊥直线AB于E，
∴∠CEB=90°，CE=h，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
∵BC=40m，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出∠CEB=90°，CE=h，再求出∠CBE=30°，最后计算求解即可。
5．如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BD是高，∠CBD=20°，
∴∠BCD=180°-90°-20°=70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD=∠CBE=70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出∠BCD=70°，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
6．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B=45°，AC=，CD=1，则AB的长度为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由作法得：AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴在Rt△ACD中，，
∵∠B=45°，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出∠ADB=∠ADC=90°，再利用勾股定理计算求解即可。
7．（2020八下·惠东期中）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：油库到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质可得，油库应建在这三条公路交角的平分线上，如图，符合条件的油库所在位置有4处，三角形内部1处，是三角形三个内角角平分线的角点，三角形的外部3处，分别是三角形的两个外角和其不相邻的内角的角平分线的交点，
故答案为D．
【分析】根据角平分线的性质，画出各个角的平分线，它们的交点，即为油库的位置．
8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
如图，当DP⊥AB时，DP的值最小，
由作图可知，AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP=CD=2，
∴DP的最小值为2，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出当DP⊥AB时，DP的值最小，再求出DP=CD=2，最后求解即可。
9．（2020八下·福田期中）如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，
AP=20-3x，AQ=2x
即20-3x=2x，
解得x=4．
故答案为：D．
【分析】设运动的时间为x，则AP=20-3x，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可．
10．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD-AH=AB；④DG= AP+ GH．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】角平分线的定义；三角形的综合
【解析】【解答】①∵∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P
∴∠ABP＝∠ABC
∴∠CAP＝（90°+∠ABC）＝45°+∠ABC
∴∠APB＝180°-∠BAP-∠ABP
＝180°-（45°+∠ABC+90°-∠ABC）-∠ABC
＝45°，故①正确；
②由①得，PF⊥AD，∠APB＝45°
∴∠APB＝∠FPB＝45°
∵PB为∠ABC的角平分线
∴∠ABP＝∠FBP
在△ABP和△FBP中
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴AB＝BF，AP＝PF；故②正确；
③∵∠ACB＝90°，PF⊥AD
∴∠FDP+∠HAP＝90°，∠AHP+∠HAP＝90°
∴∠AHP＝∠FDP
∵PF⊥AD
∴∠APH=∠FPD＝90°，
在△AHP与△FDP中
∴△AHP≌△FDP（AAS）
∴DF＝AH
∵BD＝DF+BF
∴BD＝AH+AB
∴BD-AH＝AB，故③小题正确；
④∵AP＝PF，PF⊥AD
∴∠PAF＝45°
∴∠ADG＝∠DAG＝45°
∴DG＝AG
∵∠PAF＝45°，AG⊥DH
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形
∴DG＝AG，GH＝GF
∴DG＝GH+AF
∵AF＞AP
∴DG＝AP+GH不成立，故本小题错误
综上，①②③正确．
故答案为：A
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP＝∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
②先求出∠APB＝∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB＝BF，AP＝PF；
③根据直角的关系求出∠AHP＝∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝AH；
④求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根据等角对等边可得DG＝AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH＝GF，然后求出DG＝GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误．
二、填空题(每题3分，共15分)
11．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边为 cm．
【答案】3
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：13-3-3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
12．（2020八下·福田期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC=2，则AC的长为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CD垂直平分BE，
∴CE=CB，∠BDC=90°，
∴CD平分∠BCE，即∠BCD=∠ECD，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE， 而∠ACB=90°，
∴∠BCD= ∠ACB=30°，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
由
∴AC= BC= ．
故答案为： ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到CE=CB，∠BDC=90°，再根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠BCD= ∠ACB=30°，则∠A=30°，然后可得答案．
13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任何一个角．这个三等分角仪由两很有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D， E可在槽中滑动，若∠BDE=78°，则∠AOB等于 度．
【答案】26
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∵∠BDE是△ODE的外角，
∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝78°，
∴∠AOB＝26°
【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，再根据三角形外角性质可得∠AOB的度数
14．如图，△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC，点E线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=12cm，则△ABC的周长是 cm．
【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点C在AE的垂直平分线上
∴AC＝CE
∵AB＝AC，AD平分∠BAC
∴BD＝CD
∴AB+BD＝AC+CD＝CE+CD＝DE
∵DE＝12cm
∴AB+BC+AC＝AB+BD+AC+CD＝2×12＝24cm
故答案为：24
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AC＝CE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，然后求出AD+BD＝DE
15．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为
【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】过P作PF∥BC交AC于F
∵PF∥BC
∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B，∠AFP＝∠ACB
又∵△ABC是等边三角形
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°
∴△APF是等边三角形
∴AP＝PF＝AF
∵PE⊥AC
∴AE＝EF
∵AP＝PF，AP＝CQ
∴PF＝CQ
在△PFD和△QCD中
∴
∴FD＝CD
∵AE＝EF
∴EF+FD＝AE+CD
∴AE+CD＝DE＝AC
∵AC＝3
∴DE＝
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE=AC即可。
三、解答题(共55分)
16．已知：AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且CE= BF．求证：AB∥CD．
【答案】证明：∵CE＝BF，
∴CE+EF＝BF+EF，即EB＝FC，
又∵AB＝CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△AEB和Rt△DFC中，
∴△AEB≌△DFC （HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】由已知条件易证得△AEB△DFC，可得∠B＝∠C，即可证得AB∥CD．
17．（2020八下·河源月考）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示 点M，N表示大学，OA，OB表示公路 现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．
【答案】解：如图所示，P在 的平分线和MN的垂直平分线的交点上，点P就是仓库应该修建的位置．
．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据题意，仓库P在 的平分线和MN的垂直平分线的交点上．
18．（2016八下·云梦期中）已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，CD=12cm．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：∵122+162=202，
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴BD⊥AC
（2）解：设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，
∵AB=AC，
∴AB═（x+12 ）cm，
在Rt△ABD中：AB2=AD2+BD2，
∴（x+12）2=162+x2，
解得x= ，
∴AC= +12= cm，
∴△ABC的面积S= BD AC= ×16× = cm2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明BD⊥AC；（2）设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，在Rt△ABD中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AB，进一步得到AC，再利用AC和AC边上的高列式计算即可得解．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G．
（1）当∠B=30°时，AE和EF有什么关系？请说明理由；
（2）当点D在BC延长线上(CD< BC)运动时，点E是否在线段AF的垂直平分线上？
【答案】（1）AE＝EF，
理由是：∵线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G，
∴DE＝BE，
∵∠B＝30°，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠DEA＝∠D+∠B＝60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠A＝∠DEA＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF；
（2）点E是在线段AF的垂直平分线，
理由是：∵∠B＝∠D，∠ACB＝90°＝∠FCD，
∴∠A＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠AFE，
∴∠A＝∠AFE，
∴EF＝AE，
∴点E是在线段AF的垂直平分线．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出DE＝BE，求出∠D＝∠B＝30°，根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠A＝∠DEA＝60°，即可得出答案；
（2）求出∠A＝∠AFE，根据线段垂直平分线性质得出即可
20．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB=DC．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果BD∥AC，∠DAF=15°，求证：AB=2DF．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°；
在Rt△BDE和Rt△DFC中，
∴Rt△BDE≌Rt△DFC （HL），
∴BE＝CF；
（2）∵AD平分∠BAC，∠DAF＝15°，
∴∠BAC＝30°，∠BAD＝∠DAF，
∵BD∥AC，
∴∠DBE＝∠BAC＝30°，∠DAF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴AB＝BD，
在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE，
∴AB＝2DE，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴AB＝2DF．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）证明DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°；进而证明Rt△BDE≌Rt△DFC，即可解决问题；
（2）根据平行线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可
21．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．(答案：35° )
例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100° )
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题；
（2）解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【答案】（1）（1）当∠A＝80°为顶角时，
∠B＝＝50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°-80°-80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（）°
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180-2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当≠180-2x且180-2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；
（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，AB的垂直平分线MN交AD于点O，连接BO并延长交AC于点E，AH⊥BE，垂足为H．
（1）求证：△ABD≌△BAH；
（2）若∠BAC=30°，AE=2，求BC的长；
（3）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，D是AC上的一点，且∠ABD=20°，若BC=6，请你直接写出AD的长．
【答案】（1）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD是BC上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝
∵MN垂直平分线段AB，
∴BO＝AO，
∴∠HBA＝∠DAB，
∵AH⊥BE，AD⊥BC，
∴∠H＝∠ADB＝90°，
在△ABH和△BAD中，
∴△ABH≌△BAD（AAS）
（2）∵∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝=
又∵∠HBA＝∠DAB
∴∠HBA＝15°，
又∵∠HBA+∠HAB＝90°，
∴∠HAB＝75°，
又∵∠HAB＝∠BAE+∠EAH，
∴∠EAH＝45°，
∴∠HEA＝∠EAH＝45°，
∴AH＝EH．
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
2AH2＝AE2，
又∵AE＝2，∴AH＝
∴BD＝
又∵BC＝2BD，
∴BC＝2
（3）过点A作AE⊥BC于点E，AH⊥BD交BD的延长线于点H，
由（1）可知BE＝AH，
∵BC＝6，∴AH＝3，
又∵∠ADH＝∠ABH+∠BAD，
∠ABD＝20°，∠BAD＝40°，
∴∠ADH＝60°，
在Rt△ADH中，由勾股定理得：
AD2＝AH2+DH2，
又∵∠DAH＝30°，
∴AD＝2DH，
∴AD2＝9+
AD＝2
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，∠BAD＝，线段的垂直平分线和等腰三角形得∠HBA＝∠DAB，再加AB公用，可证明△ABH≌△BAD；
（2）由等腰三角形的性质，线段的垂直平分线和三角形的内角和定理得∠HBA＝15°，∠HAB＝75°，根据角的和差得∠EAH＝45°，在直角三角形中由勾股定理可求出AH＝，从而得到BC＝
（3）根据（1）（2）的解题思路和方法，构建等腰三角形的三线合一，三角形全等和勾股定理可求出AD＝
1 / 1广东省深圳市2021-2022学年第二学期学科素养形成八年级数学第一章三角形的证明
一、选择题(共10小题，共30分)
1．（2021八上·恩平期中）等腰三角形的一个底角等于 ，则它的顶角等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·东莞期中）如图， 中，点 在 上，连接BD，∠ABD=2∠DBC，∠ADB=2∠C，∠DBC=∠A，则图中共有等腰三角形（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列说法：
①一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；④用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC= 150°，BC的长是40 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）m．
A．20 B．40 C．80 D．10
5．如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
6．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B=45°，AC=，CD=1，则AB的长度为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．3
7．（2020八下·惠东期中）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2020八下·福田期中）如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s
10．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD-AH=AB；④DG= AP+ GH．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题(每题3分，共15分)
11．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边为 cm．
12．（2020八下·福田期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC=2，则AC的长为 .
13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任何一个角．这个三等分角仪由两很有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D， E可在槽中滑动，若∠BDE=78°，则∠AOB等于 度．
14．如图，△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC，点E线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=12cm，则△ABC的周长是 cm．
15．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为
三、解答题(共55分)
16．已知：AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且CE= BF．求证：AB∥CD．
17．（2020八下·河源月考）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示 点M，N表示大学，OA，OB表示公路 现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．
18．（2016八下·云梦期中）已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，CD=12cm．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求△ABC的面积．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G．
（1）当∠B=30°时，AE和EF有什么关系？请说明理由；
（2）当点D在BC延长线上(CD< BC)运动时，点E是否在线段AF的垂直平分线上？
20．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB=DC．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果BD∥AC，∠DAF=15°，求证：AB=2DF．
21．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．(答案：35° )
例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100° )
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题；
（2）解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，AB的垂直平分线MN交AD于点O，连接BO并延长交AC于点E，AH⊥BE，垂足为H．
（1）求证：△ABD≌△BAH；
（2）若∠BAC=30°，AE=2，求BC的长；
（3）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，D是AC上的一点，且∠ABD=20°，若BC=6，请你直接写出AD的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个底角等于 ，
∴另外一个底角也是55°，
∴它的顶角为： ．
故答案为：C．
【分析】先求出另外一个底角也是55°，再计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：图中共有等腰三角形3个，理由如下：
∵∠ADB＝∠C＋∠DBC，∠ADB＝2∠C，
∴∠DBC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，DB＝DC，
∵∠ABD＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形，AB＝AD，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，AB＝CB，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的判定定理分别求出DB=DC，AB=AD，AB=CB即可。
3．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故①说法错误；
②等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角平分线互相重合，故②说法错误；
③在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 ，故③说法正确；
④用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故④说法错误；
综上所述，说法正确的只有1个；
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线等对每个说法一一判断即可。
4．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
如图：过点C作CE⊥直线AB于E，
∴∠CEB=90°，CE=h，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
∵BC=40m，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出∠CEB=90°，CE=h，再求出∠CBE=30°，最后计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BD是高，∠CBD=20°，
∴∠BCD=180°-90°-20°=70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD=∠CBE=70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出∠BCD=70°，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由作法得：AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴在Rt△ACD中，，
∵∠B=45°，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出∠ADB=∠ADC=90°，再利用勾股定理计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：油库到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质可得，油库应建在这三条公路交角的平分线上，如图，符合条件的油库所在位置有4处，三角形内部1处，是三角形三个内角角平分线的角点，三角形的外部3处，分别是三角形的两个外角和其不相邻的内角的角平分线的交点，
故答案为D．
【分析】根据角平分线的性质，画出各个角的平分线，它们的交点，即为油库的位置．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
如图，当DP⊥AB时，DP的值最小，
由作图可知，AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP=CD=2，
∴DP的最小值为2，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出当DP⊥AB时，DP的值最小，再求出DP=CD=2，最后求解即可。
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，
AP=20-3x，AQ=2x
即20-3x=2x，
解得x=4．
故答案为：D．
【分析】设运动的时间为x，则AP=20-3x，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可．
10．【答案】A
【知识点】角平分线的定义；三角形的综合
【解析】【解答】①∵∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P
∴∠ABP＝∠ABC
∴∠CAP＝（90°+∠ABC）＝45°+∠ABC
∴∠APB＝180°-∠BAP-∠ABP
＝180°-（45°+∠ABC+90°-∠ABC）-∠ABC
＝45°，故①正确；
②由①得，PF⊥AD，∠APB＝45°
∴∠APB＝∠FPB＝45°
∵PB为∠ABC的角平分线
∴∠ABP＝∠FBP
在△ABP和△FBP中
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴AB＝BF，AP＝PF；故②正确；
③∵∠ACB＝90°，PF⊥AD
∴∠FDP+∠HAP＝90°，∠AHP+∠HAP＝90°
∴∠AHP＝∠FDP
∵PF⊥AD
∴∠APH=∠FPD＝90°，
在△AHP与△FDP中
∴△AHP≌△FDP（AAS）
∴DF＝AH
∵BD＝DF+BF
∴BD＝AH+AB
∴BD-AH＝AB，故③小题正确；
④∵AP＝PF，PF⊥AD
∴∠PAF＝45°
∴∠ADG＝∠DAG＝45°
∴DG＝AG
∵∠PAF＝45°，AG⊥DH
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形
∴DG＝AG，GH＝GF
∴DG＝GH+AF
∵AF＞AP
∴DG＝AP+GH不成立，故本小题错误
综上，①②③正确．
故答案为：A
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP＝∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
②先求出∠APB＝∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB＝BF，AP＝PF；
③根据直角的关系求出∠AHP＝∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝AH；
④求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根据等角对等边可得DG＝AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH＝GF，然后求出DG＝GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误．
11．【答案】3
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：13-3-3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CD垂直平分BE，
∴CE=CB，∠BDC=90°，
∴CD平分∠BCE，即∠BCD=∠ECD，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE， 而∠ACB=90°，
∴∠BCD= ∠ACB=30°，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
由
∴AC= BC= ．
故答案为： ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到CE=CB，∠BDC=90°，再根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠BCD= ∠ACB=30°，则∠A=30°，然后可得答案．
13．【答案】26
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∵∠BDE是△ODE的外角，
∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝78°，
∴∠AOB＝26°
【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，再根据三角形外角性质可得∠AOB的度数
14．【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点C在AE的垂直平分线上
∴AC＝CE
∵AB＝AC，AD平分∠BAC
∴BD＝CD
∴AB+BD＝AC+CD＝CE+CD＝DE
∵DE＝12cm
∴AB+BC+AC＝AB+BD+AC+CD＝2×12＝24cm
故答案为：24
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AC＝CE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，然后求出AD+BD＝DE
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】过P作PF∥BC交AC于F
∵PF∥BC
∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B，∠AFP＝∠ACB
又∵△ABC是等边三角形
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°
∴△APF是等边三角形
∴AP＝PF＝AF
∵PE⊥AC
∴AE＝EF
∵AP＝PF，AP＝CQ
∴PF＝CQ
在△PFD和△QCD中
∴
∴FD＝CD
∵AE＝EF
∴EF+FD＝AE+CD
∴AE+CD＝DE＝AC
∵AC＝3
∴DE＝
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE=AC即可。
16．【答案】证明：∵CE＝BF，
∴CE+EF＝BF+EF，即EB＝FC，
又∵AB＝CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△AEB和Rt△DFC中，
∴△AEB≌△DFC （HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】由已知条件易证得△AEB△DFC，可得∠B＝∠C，即可证得AB∥CD．
17．【答案】解：如图所示，P在 的平分线和MN的垂直平分线的交点上，点P就是仓库应该修建的位置．
．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据题意，仓库P在 的平分线和MN的垂直平分线的交点上．
18．【答案】（1）证明：∵122+162=202，
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴BD⊥AC
（2）解：设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，
∵AB=AC，
∴AB═（x+12 ）cm，
在Rt△ABD中：AB2=AD2+BD2，
∴（x+12）2=162+x2，
解得x= ，
∴AC= +12= cm，
∴△ABC的面积S= BD AC= ×16× = cm2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明BD⊥AC；（2）设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，在Rt△ABD中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AB，进一步得到AC，再利用AC和AC边上的高列式计算即可得解．
19．【答案】（1）AE＝EF，
理由是：∵线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G，
∴DE＝BE，
∵∠B＝30°，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠DEA＝∠D+∠B＝60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠A＝∠DEA＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF；
（2）点E是在线段AF的垂直平分线，
理由是：∵∠B＝∠D，∠ACB＝90°＝∠FCD，
∴∠A＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠AFE，
∴∠A＝∠AFE，
∴EF＝AE，
∴点E是在线段AF的垂直平分线．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出DE＝BE，求出∠D＝∠B＝30°，根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠A＝∠DEA＝60°，即可得出答案；
（2）求出∠A＝∠AFE，根据线段垂直平分线性质得出即可
20．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°；
在Rt△BDE和Rt△DFC中，
∴Rt△BDE≌Rt△DFC （HL），
∴BE＝CF；
（2）∵AD平分∠BAC，∠DAF＝15°，
∴∠BAC＝30°，∠BAD＝∠DAF，
∵BD∥AC，
∴∠DBE＝∠BAC＝30°，∠DAF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴AB＝BD，
在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE，
∴AB＝2DE，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴AB＝2DF．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）证明DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°；进而证明Rt△BDE≌Rt△DFC，即可解决问题；
（2）根据平行线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可
21．【答案】（1）（1）当∠A＝80°为顶角时，
∠B＝＝50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°-80°-80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（）°
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180-2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当≠180-2x且180-2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；
（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可
22．【答案】（1）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD是BC上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝
∵MN垂直平分线段AB，
∴BO＝AO，
∴∠HBA＝∠DAB，
∵AH⊥BE，AD⊥BC，
∴∠H＝∠ADB＝90°，
在△ABH和△BAD中，
∴△ABH≌△BAD（AAS）
（2）∵∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝=
又∵∠HBA＝∠DAB
∴∠HBA＝15°，
又∵∠HBA+∠HAB＝90°，
∴∠HAB＝75°，
又∵∠HAB＝∠BAE+∠EAH，
∴∠EAH＝45°，
∴∠HEA＝∠EAH＝45°，
∴AH＝EH．
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
2AH2＝AE2，
又∵AE＝2，∴AH＝
∴BD＝
又∵BC＝2BD，
∴BC＝2
（3）过点A作AE⊥BC于点E，AH⊥BD交BD的延长线于点H，
由（1）可知BE＝AH，
∵BC＝6，∴AH＝3，
又∵∠ADH＝∠ABH+∠BAD，
∠ABD＝20°，∠BAD＝40°，
∴∠ADH＝60°，
在Rt△ADH中，由勾股定理得：
AD2＝AH2+DH2，
又∵∠DAH＝30°，
∴AD＝2DH，
∴AD2＝9+
AD＝2
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，∠BAD＝，线段的垂直平分线和等腰三角形得∠HBA＝∠DAB，再加AB公用，可证明△ABH≌△BAD；
（2）由等腰三角形的性质，线段的垂直平分线和三角形的内角和定理得∠HBA＝15°，∠HAB＝75°，根据角的和差得∠EAH＝45°，在直角三角形中由勾股定理可求出AH＝，从而得到BC＝
（3）根据（1）（2）的解题思路和方法，构建等腰三角形的三线合一，三角形全等和勾股定理可求出AD＝
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