直线与圆锥曲线的位置关系
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课件23张PPT。直线与圆锥曲线的位置关系[教学目的]：能正确熟练地解决直线与圆锥曲线的位置关系的一些问题。
[教学重点、难点]：直线与圆锥曲线的位置关系的判定；弦长的计算；中点弦问题。
[教学课时]：1课时。一、引入: 前面我们已学习了直线与圆的位置关系的判定，回想一下，有哪些主要方法？
⑴法一：方程观点。即将位置关系问题转化为直线方程和圆方程联立所得方程组的解的个数问题。
⑵法二：数形结合，利用圆的几何特性。那么直线与圆锥曲线的位置关系的判定是否也有同样类似的方法呢？下面我们就来对其进行研讨。二、新课： 1、位置关系的判定：主要两法：
思路一：将直线方程和圆锥曲线方程联立，研究方程组的解的个数，常又转化为关于x或y的一元二次方程的解的个数问题，即判定Δ是否大于零。Δ= 0 ,直线与圆锥曲线只有一个公共点，为相切；Δ> 0 ,直线与圆锥曲线有两个公共点，为相交；Δ< 0 ,直线与圆锥曲线没有公共点，为相离。1、位置关系的判定思路二：数形结合，利用几何特性。
关于直线与双曲线、抛物线的位置中只有一公共点的特别说明：只有一个公共点，并不能说明它们是相切。对于双曲线，当直线与双曲线的渐近线平行时，也可只有一个公共点；对于抛物线，当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个公共点。典型例题例1、已知定点A(0,1) ,过A分别与下列曲线只有一个公共点的直线有几条？
解析：⑴数形结合，因为点A在抛物线外，过A与抛物线只有一个公共点有两种情况：①与抛物线相切的直线有2条；②与抛物线的对称轴平行的直线有1条；故共有3条。解析：⑵法一：数形结合，因为点A在双曲线外，过A与抛物线只有一个公共点有两种情况：①与双曲线相切的直线有2条；②与抛物线的渐近线平行的直线有2条；故共有4条。解析：法二：若过A的直线斜率不存在，此时直线方程为x = 0，直线不与双曲线相切，不满足只有一个公共点；若过A的直线斜率存在，设其为k，则直线方程为y = kx + 1，将其代入双曲线方程得: （4－k2)x2－2kx－5 = 0
①若4－k2 = 0 ，即k = ±2时，方程有一解，这样的直线有两条。
②若4－k2 ≠ 0 ，由Δ=80－16 k2 = 0 得，k = ± 时，直线与双曲线相切，这样的切线有两条。
综上可得，共有4条。思考：①若定点在曲线的内部，情况又怎样？
②对于双曲线，若定点正好在其中的一条渐近线上，情况又怎样？若定点正好为两渐近线的交点，情况又怎样？若定点在双曲线的内部呢？典型例题例2、直线L:y = k(x－ ) 与曲线x 2 －y 2 = 1 (x > 0 )相交于A、B两点，求直线L的倾角的范围。
解析：数形结合，直线L过定点（ ,0 ），画出曲线的图示
当L与渐近线y=x平行时，只有一个交点，当其倾角增大时，直线将与双曲线有两交点，当倾角为 90°时，直线与双曲线有两个点，但此时直线的斜率不存在，倾角继续增大，当直线与y=－x平行时，直线将与双曲线又出现只有一个交点
典型例题解析：解：因动直线经过定点（0，1），∴当且仅当定点在椭圆内部或椭圆上时，两者恒有公共点。
2、弦长问题： 弦长公式： |AB| = |x2－x1 | 典型例题例4、直线y=kx－2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB的中点横坐标为2，求弦|AB|的值。
解析：先利用 韦达定理求得k 的值，再用弦长公式求 |AB|的值。
k = 2 或 k = －1（舍去）
∴ x1x2 = 1
∴ |AB| = = 2 典型例题例5、抛物线 y2 = 2px (p>0) 的焦点弦AB的倾斜角为θ ，求弦长|AB|的值。
解析：设A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ，AB的斜率为k
|AF| = |AC| |BF| = | BD|
∴ |AB| = |AC| + |BD| = x1+ x2+ p
4k2x2－4p(k2 + 2)x + kp2 = 03、中点弦问题： 典型例题求直线 AB的方程。
思路一：利用设而为求思想求出直线AB的斜率。
设A(x1,y1) , B(x2 , y2) 典型例题思路二：利用韦达定理求AB的斜率。
设AB的斜率为k，则AB的方程为： y = kx －2k +1 ，将其代入双曲线方程得：
(3－k2)x 2 + 2k(2k－1)x－(2k－1) 2 －3 = 0
∴直线 AB的方程为 y = 6x －11三、小结：1、直线与圆锥曲线的位置关系的判定主要方法：①方程观点。即将位置关系问题转化为直线方程和圆锥曲线方程联立所得方程组的解的个数问题。②数形结合，利用几何特性。
2、 弦长公式： |AB| = |x1－x2 |。
注意韦达定理的应用。
3、圆锥曲线的弦的斜率总是与弦的中点坐标有关。并注意设而不求的处理思想。五、作业：与名师对话《直线与圆锥曲线》
[教学重点、难点]：直线与圆锥曲线的位置关系的判定；弦长的计算；中点弦问题。
[教学课时]：1课时。一、引入: 前面我们已学习了直线与圆的位置关系的判定，回想一下，有哪些主要方法？
⑴法一：方程观点。即将位置关系问题转化为直线方程和圆方程联立所得方程组的解的个数问题。
⑵法二：数形结合，利用圆的几何特性。那么直线与圆锥曲线的位置关系的判定是否也有同样类似的方法呢？下面我们就来对其进行研讨。二、新课： 1、位置关系的判定：主要两法：
思路一：将直线方程和圆锥曲线方程联立，研究方程组的解的个数，常又转化为关于x或y的一元二次方程的解的个数问题，即判定Δ是否大于零。Δ= 0 ,直线与圆锥曲线只有一个公共点，为相切；Δ> 0 ,直线与圆锥曲线有两个公共点，为相交；Δ< 0 ,直线与圆锥曲线没有公共点，为相离。1、位置关系的判定思路二：数形结合，利用几何特性。
关于直线与双曲线、抛物线的位置中只有一公共点的特别说明：只有一个公共点，并不能说明它们是相切。对于双曲线，当直线与双曲线的渐近线平行时，也可只有一个公共点；对于抛物线，当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个公共点。典型例题例1、已知定点A(0,1) ,过A分别与下列曲线只有一个公共点的直线有几条？
解析：⑴数形结合，因为点A在抛物线外，过A与抛物线只有一个公共点有两种情况：①与抛物线相切的直线有2条；②与抛物线的对称轴平行的直线有1条；故共有3条。解析：⑵法一：数形结合，因为点A在双曲线外，过A与抛物线只有一个公共点有两种情况：①与双曲线相切的直线有2条；②与抛物线的渐近线平行的直线有2条；故共有4条。解析：法二：若过A的直线斜率不存在，此时直线方程为x = 0，直线不与双曲线相切，不满足只有一个公共点；若过A的直线斜率存在，设其为k，则直线方程为y = kx + 1，将其代入双曲线方程得: （4－k2)x2－2kx－5 = 0
①若4－k2 = 0 ，即k = ±2时，方程有一解，这样的直线有两条。
②若4－k2 ≠ 0 ，由Δ=80－16 k2 = 0 得，k = ± 时，直线与双曲线相切，这样的切线有两条。
综上可得，共有4条。思考：①若定点在曲线的内部，情况又怎样？
②对于双曲线，若定点正好在其中的一条渐近线上，情况又怎样？若定点正好为两渐近线的交点，情况又怎样？若定点在双曲线的内部呢？典型例题例2、直线L:y = k(x－ ) 与曲线x 2 －y 2 = 1 (x > 0 )相交于A、B两点，求直线L的倾角的范围。
解析：数形结合，直线L过定点（ ,0 ），画出曲线的图示
当L与渐近线y=x平行时，只有一个交点，当其倾角增大时，直线将与双曲线有两交点，当倾角为 90°时，直线与双曲线有两个点，但此时直线的斜率不存在，倾角继续增大，当直线与y=－x平行时，直线将与双曲线又出现只有一个交点
典型例题解析：解：因动直线经过定点（0，1），∴当且仅当定点在椭圆内部或椭圆上时，两者恒有公共点。
2、弦长问题： 弦长公式： |AB| = |x2－x1 | 典型例题例4、直线y=kx－2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB的中点横坐标为2，求弦|AB|的值。
解析：先利用 韦达定理求得k 的值，再用弦长公式求 |AB|的值。
k = 2 或 k = －1（舍去）
∴ x1x2 = 1
∴ |AB| = = 2 典型例题例5、抛物线 y2 = 2px (p>0) 的焦点弦AB的倾斜角为θ ，求弦长|AB|的值。
解析：设A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ，AB的斜率为k
|AF| = |AC| |BF| = | BD|
∴ |AB| = |AC| + |BD| = x1+ x2+ p
4k2x2－4p(k2 + 2)x + kp2 = 03、中点弦问题： 典型例题求直线 AB的方程。
思路一：利用设而为求思想求出直线AB的斜率。
设A(x1,y1) , B(x2 , y2) 典型例题思路二：利用韦达定理求AB的斜率。
设AB的斜率为k，则AB的方程为： y = kx －2k +1 ，将其代入双曲线方程得：
(3－k2)x 2 + 2k(2k－1)x－(2k－1) 2 －3 = 0
∴直线 AB的方程为 y = 6x －11三、小结：1、直线与圆锥曲线的位置关系的判定主要方法：①方程观点。即将位置关系问题转化为直线方程和圆锥曲线方程联立所得方程组的解的个数问题。②数形结合，利用几何特性。
2、 弦长公式： |AB| = |x1－x2 |。
注意韦达定理的应用。
3、圆锥曲线的弦的斜率总是与弦的中点坐标有关。并注意设而不求的处理思想。五、作业：与名师对话《直线与圆锥曲线》