5.2.1三角函数的概念（第一课时）教学设计

5.2.1三角函数的概念（第一课时）
一、教学目标
借助单位圆理解任意角三角函数的定义.
教学重难点
1.重点:借助单位圆上点的圆周运动建构和理解任意角的正弦、余弦的定义，正切的定义;能根据定义求特殊角的三角函数值.
2.难点:从单位圆上点的圆周运动中如何确定变量,如何明确对应关系,如何构建和理解对应法则.
三、教学过程（一） 创设问题情景，寻找变量
1.教学内容
【引入】师：请大家观察以下三张图片（地球自转，月亮圆缺，摩天轮）并说说它们有什么共性？
生：都在做圆周运动。
师：圆周运动具有什么特点？具有循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。那我们今天这节课就来一起试试能不能建立一种函数模型来刻画周期性呢？
师：我们以摩天轮作为代表模型来研究圆周运动，这是我暑假去游乐场坐摩天轮的照片，请问如何确定我在摩天轮的位置？
生：坐标
师：要有坐标就需要建立直角坐标系，如何建系呢？
生：以o为原点建立直角坐标系。
师：除了坐标还有没有别的变量能确定我的位置？为了方便计算，我不妨设摩天轮半径为1.
生：角度
【设计意图】 1. 由摩天轮实际例子抽象出数学问题, 明确本课时的研究任务; 2.通过将一般圆周运动简化为在单位圆进行研究, 不失一般性, 体现化繁为简, 突出本质的数学研究方法. 通过教师的提问和引导, 寻找到刻画数学模型 (即刻画 P 点位置变化) 的两个变量, 为下一环节的探究自然铺垫.
(二) 联系变量、构建函数
提出问题：当α=π/3时，点P的坐标是什么？当α=π/2时，点P的坐标是什么？当α=2π/3时，点P的坐标是什么？
任意给定一个角α，点的坐标唯一确定吗？
师生活动：在学生求出α=π/3时点P的坐标后追问以下问题。
追问：（1）如何求得的点P坐标，用到哪些知识？
α=2π/3时，如何求？
教师需做出引导: 要点出利用初中解直角三角形解题; 引导学生在长度上添加符号获得坐标;
借助Geogebra画板展示，任意角α，观察它的终边OP与单位圆交点为P（x,y),无论是横坐标，还是纵坐标y,都是唯一确定的。
教师小结: 综合以上大家的回答, 得到比较清晰的两个函数关系, 在弧度制下任意角为自变量, 分别以横、纵坐标为函数值的两个函数了, 不妨记为 f 和 g(板书如下)
根据上述分析，f:R [-1,1]和g:R [-1,1]都是从集合R到集合[-1,1]的函数。
【设计意图】(1) 这是本节课的重点和难点, 结合一般函数概念、任意角、弧度制等知识, 通过教师直观演示、不断设问、追问和层层引导, 学生获得三角函数的对应关系, 帮助学生在一般函数观念下理清三角函数的“三要素”, 初步构建三角函数概念, 为理解形式化的三角函数定义起关键作用, 突破了教与学的难点.
(2) 在概念的形成过程中, 体会函数思想和数形结合思想.
（三) 明确要素、理解概念
教师给出三角函数的定义并黑板板书:
给出三角函数的常用记法:
(1) 正弦函数: y = sinx(x∈ R)
(2) 余弦函数: y = cosx(x ∈ R)
(3) 正切函数: y = tanx,（x,k ∈ Z)
教师要给学生特别指出此处的 x、y, 与初始定义中的 x、y 是不一样的!
【设计意图】(1) 在建构三角函数概念过程中, 通过再次明确函数三要素, 较为准确地理解三角函数定义. (2) 给出三角函数的常用记号, 为后续章节的学习做好知识和符号铺垫.
（四）三角函数的初步应用
例1:求5π/3的正弦、余弦和正切值。
变式1：已知角α的终边过点P（-，），求角α的正弦、余弦和正切值。
变式2：已知角α的终边过点P（， 3），求角α的正弦、余弦和正切值。
变式3：已知角α的终边过点P（x，y），求角α的正弦、余弦和正切值。
教师注意引导: 1. 当 r = 1 时, 则为初始定义形式, 体现了数学简洁和形式美; 2. 当α是锐角时, 则函数值则等价于边长比, 再次认识初高中定义的联系.
设角 α 的终边上任意一点的坐标为 (x,y), 它与原点的
距离为 r, 则(x ≠ 0).
【设计意图】 1. 通过进阶和变式训练巩固所学定义, 也通过练习层层递进, 为三角函数的“坐标比”定义证明做了铺垫. 最终使学生认识到: 只要终边上任意一点, 便可以求得相应的三角函数值, 得到三角函数的“坐标比”定义. 2. 使学生同时对单位圆这一数学模型的再认识: 单位圆对三角函数定义起到更易理解、运算的便捷性.
（五）关联探究, 深化认识
【设计意图】 通过上一环节的运算结果, 由教师引导学生分三维度进行回答, 体会高中三角函数定义与初中三角函数定义的区别, 从锐角的初高中运算结果的一致认知到高中三角函数定义统一和兼容了初中三角函数定义.
(六) 课堂小结
1. 知识小结: 三角函数定义, 以及如何求三角函数值
2. 思想归纳:
(1) 从引入坐标表示感受数形结合的思想和方法, 从如
何建系及在单位圆中探究体会数学化繁为简的方法; 从具体
问题—定义—例题—新结论的学习路径, 体会数学中特殊与
一般不断转化的研究方法.
(2) 经历从认识任意角三角函数新概念统一兼容初中三
角函数概念; 从三角函数历史中, 看到数学发展的曲折和严
谨追求.
（七）课后作业