2.5 角平分线的性质 教学课件(共29张PPT)青岛版八年级数学上册

(共29张PPT)
课程名称：角平分线的性质
学科：数学
年级：八年级
上/下册：上册
版本：青岛版
主讲教师：
工作单位：
2.5角平分线的性质
青岛版数学八年级上册
情境导入
如图，在两条铁路之间有两个村庄A,B，现欲建一个中转站C，使得C到两条铁路的距离相等，且C到A,B两个村庄的距离也相等，试确定中转站C的位置.
学习目标
1.通过折纸活动，探索角的轴对称性质；
2.通过折一折，猜一猜，证一证的活动，探索角平分线的性质定理和判定定理，并加以证明，会进行简单的应用和综合运用；
3.通过分析角平分仪的原理，探究用尺规作角的平分线的方法，能从实际问题中建立数学模型，解决实际问题.
知识回顾
1、角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
o
B
C
A
1
2
符号语言：
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵OC平分∠AOB (已知)
知识回顾
2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的______________,叫做这个点到直线的距离.
垂线段PO的长度
O
P
A
B
垂线段的长度
新知探究
活动一：探究角的轴对称性
1.拿出准备好的三角形纸片，记三个顶点为A,B,C；
2.把∠BAC沿经过点 A 的某条直线对折,使角的两边 AB 与 AC 重合,然后把纸展开铺平,记折痕为 AD.
你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么？
C
B
A
D
结论：角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴.
D
新知探究
活动二：探索角平分线的性质
操作：（1）请同学们将三角形纸片重新沿AD对折,
第二次沿PN折叠使点A落在AC上，记第二次折叠折痕为PM，PN.
（2）画出折痕，标上字母.
探究：（1）∠BAD与∠CAD有怎样的数量关系？
（2）PM与AB,PN与AC分别有怎样的位置关系？
（3）线段PM与PN有怎样的数量关系
折一折
①∠BAD=∠CAD即AD平分∠BAC
③PM=PN
②PM⊥AB,PN⊥AC
A
B
C
D
B
A
C
D
P
A
N
B
①AD平分∠BAC
③PM=PN
②PM⊥AB,PN⊥AC
新知探究
猜一猜
角平分线有什么性质呢？请从以下三个关系中任选两个作为条件，一个作为结论，看看你能写出哪些组合，并加以证明.
组合方式：
①②推③
①③推②
②③推①
活动二：探索角平分线的性质
C
B
M
A
P
N
D
1
2
新知探究
证一证
已知：AD是∠BAC的角平分线，点P是AD上任意一点,PM⊥AB，PN⊥AC.
求证：PM=PN
C
B
M
A
P
N
D
1
2
∵AD平分∠BAC
∴ ∠1=∠2
∵PM⊥AB , PN⊥AC
∴ ∠ AMP=∠ANP=90
在△AMP与△ANP中
∵ ∠1= ∠2
∠ AMP=∠ANP
AP=AP
∴ △AMP ≌ △ANP（AAS）
∴PM=PN
证明：
结论：角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.
①AD平分∠BAC
②PM⊥AB,PN⊥AC
③PM=PN

请同学们试着用文字语言描述上述结论？
活动二：探索角平分线的性质
新知探究
C
B
M
A
P
N
D
角平分线的性质：
角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.
∵AD平分∠BAC，P在AD上
PM⊥AB ，PN⊥AC
∴PM=PN
②角平分线的性质为证明线段相等提供了新思路.
符号语言：
①一平分，两垂直得一相等.
注意：
判断正误,并说明理由：
(1)如图,P是∠AOB的平分线OC上的一点,D、E分别在OA、OB上,
则PD=PE. ( )
(2)如图,P在射线OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,则PD=PE.( )
(3)如图,在∠AOB的平分线OC上任取一点P,若P到OA
的距离为3cm,则P到OB的距离边为3cm. ( )
（1题）
（2题）
（3题）
×
√
×
新知巩固
第1题图
第2题图
第3题图
缺少“垂直距离”这一条件
缺少“角平分线”这一条件
用一用
①AD平分∠BAC
③PM=PN
②PM⊥AB,PN⊥AC
新知探究
猜一猜
角平分线有什么性质呢？请从以下三个关系中任选两个作为条件，一个作为结论，看看你能写出哪些组合，并加以证明.
组合方式：
①②推③
①③推②
②③推①
活动三：探索角平分线的判定
C
B
M
A
P
N
D
1
2

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
新知探究
结论：
已知：点P在∠BAC内部,且PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PN.
求证：点P在∠BAC的平分线上.
C
B
M
A
P
N
D
1
2
证明： ∵PM⊥AB PN⊥AC
∴ ∠ AMP=∠ANP=90
在Rt△AMP与Rt△ANP中
PM=PN
AP=AP
∴ Rt△AMP ≌ Rt△ANP（HL）
∴ ∠1= ∠2
∴AD平分∠BAC 即点P在∠BAC的平分线上.
证一证
①AD平分∠BAC
②PM⊥AB,PN⊥AC
③PM=PN

请同学们试着用文字语言描述上述结论？
活动三：探索角平分线的判定
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
新知探究
C
B
M
A
P
N
D
角平分线的判定：
∵PM⊥AB ，PN⊥AC
PM=PN
∴AD平分∠BAC
②角平分线的判定为证明角相等提供了新的依据.
符号语言：
①一相等，两垂直得一平分.
注意：
①AD平分∠BAC
③PM=PN
②PM⊥AB,PN⊥AC
新知探究
猜一猜
角平分线有什么性质呢？请从以下三个关系中任选两个作为条件，一个作为结论，看看你能写出哪些组合，并加以证明.
组合方式：
①②推③
①③推②
②③推①
C
B
M
A
P
N
D
1
2


新知探究
小组合作交流：
能由已知条件证明PM⊥AB,PN⊥AC吗？说明理由.
C
B
M
A
P
N
D
1
2
证一证
①AD平分∠BAC
②PM⊥AB,PN⊥AC
③PM=PN
M
N
∠1=∠2
PM=PN
AP=AP

边边角推不出全等！
图形 名称 图形语言 文字语言 符号语言 关键词
角平分线 性质定理
判定定理
P
C
∵OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
∴PD=PE
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
一平分，
两垂直，
得一相等.
P
C
∴OP平分∠AOB
∵PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
一相等，
两垂直，
得一平分.
归纳小结
（1题）
（2题）
（3题）
新知应用
1. 如图，△ABC的角平分线BM,CN相交于点P
求证：点P到三角形三边AB，BC，AC的距离相等.
证明：分别过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F
∵BM平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC
∴PD=PE
∵CN平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC
∴PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到三边的距离相等.
∟
∟
∟
D
E
F
总结：遇到角平分线常作的辅助线
——过角平分线上一点向这个角的两边作垂线.
2. 如图,P 是∠AOB 内部的一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为点 E,F,且PE = PF . Q是 OP 上的任意一点, QM⊥OA, QN⊥OB,垂足分别为点 M 和 N . QM与QN 相等吗？为什么？
新知应用
证明：
∵ PE⊥OA, PF⊥OB, PE=PF
∴ OP为∠AOB的平分线
∵ QM⊥OA,QN⊥OB
∴ QM=QN
相等
（角平分线的判定）
（角平分线的性质)
新知探究
活动四：探索用尺规作角的平分线
如图，是一个角平分仪，其中OA=OB，AC=BC.将点O放在角的顶点，OA和OB沿着角的两边放下，过O,C两点作射线OC，OC就是角平分线，你能说明它的道理吗
O
B
C
A
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
A
B
O
请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
提示
(1)已知什么？求作什么？
(2)仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边OA,OB相等，怎样在作图中体现这个过程呢
(3)在平分角的仪器中，AC=BC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
新知探究
活动四：探索用尺规作角的平分线
O
B
C
A
A
B
M
N
C
已知: ∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
半径为什么要大于 MN？
新知探究
活动四：探索用尺规作角的平分线
O
如图，在两条铁路之间有两个村庄A,B，现欲建一个中转站C，使得C到两条铁路的距离相等，且C到A,B两个村庄的距离也相等，试确定点C的位置.
问题解决
C
课堂小结
角的平分线的性质
会用尺规作图法作出一个已知角的平分线
性质
作图
角平分线上的点到角的两边的距离相等
利用角的平分线的性质解决实际问题
判定
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线
应用
达标检测
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF=______ 度，BE= .
60
B F
E
B
D
F
A
C
G
2.△ABC中， ∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
SSS
ASA
AAS
角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
达标检测
达标检测
4.已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
证明：
再见！