人教A版（2019）选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征

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人教A版（2019）选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征
一、选择题（共10小题）
1．已知某一离散型随机变量x的分布列如下，且，则a的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得，
故选：C
【分析】根据分布列的性质列出方程组，求解即可.
2．若随机变量的分布列为
则X的数学期望E(X)是( )
A．1/4 B．1/2 C．1 D．3/2
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解： E(X)=.
故选：C
【分析】由分布列，代入期望公式计算即可.
3．设一随机试验的结果只有和，，令随机变量则的方差为（　　）
A．p B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1-P P
所以随机变量X服从参数为P的两点分布，
所以D(X)=P(1-P)．
故选：D
【分析】随机变量X服从两点分布，根据两点分布的方差公式得结果.
4．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知，每次摸球中中奖的概率，则，
因此 ξ的 期望为.
故选：A.
【分析】计算出每次摸球中中奖的概率，可知，然后利用二项分布的期望公式可求得结果.
5．（2018·浙江）设0ξ 0 1 2
P
则当p在（0，1）内增大时，（　　）
A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】详解： ，
，
，∴ 先增后减，
故答案为：D.
【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．解题的关键是掌握离散型随机变量的数学期望与方差.
6．随机变量的分布列如表，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得，
则 .
故选：B
【分析】先根据分布列的性质列出方程组，求得a，b，再代入方差公式求解即可.
7．（2020·聊城模拟）随机变量ξ的分布列为：
0 1 2
其中 ，下列说法不正确的是（　　）
A． B．
C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值
【答案】C
【知识点】分布的意义和作用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】根据分布列的性质得 ，即 ，故 正确；
根据期望公式得 ，故 正确；
根据方差公式得 ，
因为 ，所以 时， 取得最大值 ，故 不正确， 正确；
故答案为：C
【分析】根据分布列的性质得A符合题意；根据期望公式和方差公式计算期望和方差，根据结果分析可得答案.
8．已知，，随机变量的分布列如下：，若，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得，
则 .
故选：C
【分析】由分布列的性质求解即可.
9．甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为0.5，0.8，两人考试时相互独立互不影响，记X表示两人中通过雅思考试的人数，则X的方差为( )
A．0.41 B．0.42 C．0.45 D．0.46
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】通过雅思考试人数的分布列为：
即 ，
所以D（X） =
故答案为：A．
【分析】根据题意得到 通过雅思考试的人数的可能取值和相应的概率，得出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解.
10．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X（单位：分）的均值为( )
A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意得 ，则
，
，
，
所以 ．
故答案为：A
【分析】由题意得到随机变量 的取值为 ，结合独立事件的概率公式，即可求解.
二、填空题（共5小题）
11．某射击手射击所得环数的分布列如下：，已知的期望，则的值为　 　．
【答案】0.4
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：0.4
【分析】由分布列的性质列出方程组，求解得x，y即可.
12．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的件数，则　 　，随机变量的数学期望　 　．
【答案】；
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】易知 服从超几何分布，
所以 ，
．
【分析】根据题意，得到随机变量 服从超几何分布，结合超几何分布的概率公式和期望公式，即可求解.
13．（2019高三上·金华期末）一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同 现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是　 　；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望 　 　．
【答案】；
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．
现从中任意取出3个小球，
基本事件总数 ，
其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数 ，
其中恰有2个小球颜色相同的概率是 ；
若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，
，
，
，
数学期望 ．
故答案为： ， ．
【分析】求出基本事件总数及恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数 ，可得所求概率；再求变量X 的概率分布，可得 X的数学期望 .
14．（2022·河西模拟）某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为　 　；取出的3件产品中次品的件数的期望是　 　.
【答案】；
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】（1）从10件产品中，抽取3件，有种可能；
若取出的3件中恰有1件是次品，有种可能；
故满足题意的概率；
（2）根据题意，，
；；，
故.
故答案为：；.
【分析】（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；
（2）先求得的分布列，再求其期望即可.
15．某公司有500万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是去年200例类似项目开发的实施结果　 　．
试估计该公司一年后可获收益为万元．
【答案】47.6
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【解答】应先求出投资成功与失贩的概率，再计算其收益．
设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为500×12%，
如果失败，x的取值为 ．
由题表可得，一年后该公司投资成功的概率约为 ，失败的概率约为 ．
所以估计该公司一年后可获收益为 （万元）．
【分析】设可获收益为x万元，如果成功和失败时x的取值，结合题表中的数据的相依的概率，利用期望的公式，即可求解.
三、解答题（共5小题）
16．请回答下列问题：
（1）如果随机变量的概率分布律由下表给出：
求的数学期望与方差．
（2）设，其中的概率分布律同第题，求，．
【答案】（1）解：数学期望为 ，方差为
（2）解：数学期望为0，方差为
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列的期望和方差的公式，即可求解；
（2）根据 ，结合分布列的期望和方差的公式，即可求解.
17．高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程，某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到下表：
（1）从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；
（2）从第8组、第9组、第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X，求X的分布列和期望；
（3）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大 并说明理由．
【答案】（1）解：设 “从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，
则 ，
所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为 ．
（2）解：第8，9，10组共有11人，其中选择政治的有6人，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以 的分布列为
故 的期望 ．
（3）解：选择地理的总人数为： ，
所以 ，
，
，
，
，
因为 最大，
所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 设 “从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，结合题设中的熟记，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）第8，9，10组共有11人中选择政治的有6人，得出X的所有可能取值为0，1，2，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（3） 求得选择地理的总人数为79人 分别求得同时选生物、化学、政治、物理和历史的概率，进而得到结论.
18．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】（1）解：随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，则
= =
= =
= = ，
．
所以，随机变量 的分布列为
随机变量 的数学期望为： ．
（2）解：设y表示第一辆车遇到红灯的个数，z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 = = = =
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）得到随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.
（2）设y表示第一辆车遇到红灯的个数，z表示第二辆车遇到红灯的个数，结合互斥之间的概率公式，即可求解所求事件的概率 ．
19．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理如表所示．
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差．
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由．
【答案】（1）解：当日需求量 时，利润 ．
当日需求量 时，利润 ．
所以y关于n的函数解析式为
（2）解：（i）X可能的取值为60，70，80，并且P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7． 的分布列如表所示：
的数学期望为 ．
的方差为D（X）= =44
（ii）答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润（单位：元），那么y的分布列如表所示：
的数学期望为 ．
y的方差为D（Y）= =112.04
由以上的计算结果可以看出， ，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．
另外，虽然 ，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润（单位：元），那么y的分布列如表所示：
的数学期望为 ．
由以上的计算结果可以看出， ，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】（1） 分别求得日需求量 和 的利润 ，进而求得以y关于n的函数解析式；
（2） （i）X可能的取值为60，70，80，求得相依的概率，得出的分布列，利用公式期望和方差的公式，即可求解；
（ii）答案一：若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润（单位：元），得出y的分布列，利用期望和方差的公式，比较得出结论；答案二：若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润，得出y的分布列，利用期望和方差的公式，比较得出结论.
20．
2013年2月，中国跳水队在2013年度国际跳水大奖赛马德里站的比赛中取得优异的成绩，为积极准备下一站的比赛，在著名的海滨城市青岛举行了一场选拔赛，其中甲、乙运动员为争夺最后一个参赛名额进行了七轮激烈的争夺，甲、乙两名选手七轮比赛的得分如图所示，现从两名运动员每轮不低于80，不高于90的得分中任选．
（1）若任选三个，求甲的三个得分与其每轮平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；
（2）求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值的分布列及其期望．
【答案】（1）解：由茎叶图，可知甲、乙两名运动员七轮比赛的得分分别为
甲：78，81，84，85，84，85，91；
乙：79，84，84，86，87，84，91．
所以甲每轮的平均得分为 ；
乙每轮的平均得分为 ．
显然甲运动员的每轮得分中不低于80，不高于90的得分共有5个，分别为81，84，84，85，85，其中只有81与平均得分的差的绝对值大于2，
所以所求事件的概率
（2）解：设甲、乙两名运动员不低于80，不高于90的得分分别为x，y，得分之差的绝对值为 ．
显然，由茎叶图，可知 可取 ， ， ， ， ， ，
当 时， ，故 ；
当 时， ， ，故 ；
当 时， ， 或 ， ，故 ；
当 时， ， 或 ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ．
所以 的分布列如表所示：
其期望为
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据茎叶图的数据，分别求得甲、乙的平均数，结合甲运动员的每轮得分中不低于80，不高于90的得分的个数，结合古典摡型的概率公式，即可求解；
（2） 设甲、乙两名运动员不低于80，不高于90的得分分别为x，y，得分之差的绝对值为 ，根据题意得出随机变量 可取取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
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人教A版（2019）选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征
一、选择题（共10小题）
1．已知某一离散型随机变量x的分布列如下，且，则a的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．若随机变量的分布列为
则X的数学期望E(X)是( )
A．1/4 B．1/2 C．1 D．3/2
3．设一随机试验的结果只有和，，令随机变量则的方差为（　　）
A．p B． C． D．
4．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（　　）
A． B． C． D．
5．（2018·浙江）设0ξ 0 1 2
P
则当p在（0，1）内增大时，（　　）
A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
6．随机变量的分布列如表，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·聊城模拟）随机变量ξ的分布列为：
0 1 2
其中 ，下列说法不正确的是（　　）
A． B．
C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值
8．已知，，随机变量的分布列如下：，若，则（　　）
A． B． C． D．1
9．甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为0.5，0.8，两人考试时相互独立互不影响，记X表示两人中通过雅思考试的人数，则X的方差为( )
A．0.41 B．0.42 C．0.45 D．0.46
10．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X（单位：分）的均值为( )
A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1
二、填空题（共5小题）
11．某射击手射击所得环数的分布列如下：，已知的期望，则的值为　 　．
12．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的件数，则　 　，随机变量的数学期望　 　．
13．（2019高三上·金华期末）一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同 现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是　 　；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望 　 　．
14．（2022·河西模拟）某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为　 　；取出的3件产品中次品的件数的期望是　 　.
15．某公司有500万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是去年200例类似项目开发的实施结果　 　．
试估计该公司一年后可获收益为万元．
三、解答题（共5小题）
16．请回答下列问题：
（1）如果随机变量的概率分布律由下表给出：
求的数学期望与方差．
（2）设，其中的概率分布律同第题，求，．
17．高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程，某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到下表：
（1）从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；
（2）从第8组、第9组、第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X，求X的分布列和期望；
（3）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大 并说明理由．
18．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
19．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理如表所示．
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差．
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由．
20．
2013年2月，中国跳水队在2013年度国际跳水大奖赛马德里站的比赛中取得优异的成绩，为积极准备下一站的比赛，在著名的海滨城市青岛举行了一场选拔赛，其中甲、乙运动员为争夺最后一个参赛名额进行了七轮激烈的争夺，甲、乙两名选手七轮比赛的得分如图所示，现从两名运动员每轮不低于80，不高于90的得分中任选．
（1）若任选三个，求甲的三个得分与其每轮平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；
（2）求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值的分布列及其期望．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得，
故选：C
【分析】根据分布列的性质列出方程组，求解即可.
2．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解： E(X)=.
故选：C
【分析】由分布列，代入期望公式计算即可.
3．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1-P P
所以随机变量X服从参数为P的两点分布，
所以D(X)=P(1-P)．
故选：D
【分析】随机变量X服从两点分布，根据两点分布的方差公式得结果.
4．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知，每次摸球中中奖的概率，则，
因此 ξ的 期望为.
故选：A.
【分析】计算出每次摸球中中奖的概率，可知，然后利用二项分布的期望公式可求得结果.
5．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】详解： ，
，
，∴ 先增后减，
故答案为：D.
【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．解题的关键是掌握离散型随机变量的数学期望与方差.
6．【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得，
则 .
故选：B
【分析】先根据分布列的性质列出方程组，求得a，b，再代入方差公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】分布的意义和作用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】根据分布列的性质得 ，即 ，故 正确；
根据期望公式得 ，故 正确；
根据方差公式得 ，
因为 ，所以 时， 取得最大值 ，故 不正确， 正确；
故答案为：C
【分析】根据分布列的性质得A符合题意；根据期望公式和方差公式计算期望和方差，根据结果分析可得答案.
8．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得，
则 .
故选：C
【分析】由分布列的性质求解即可.
9．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】通过雅思考试人数的分布列为：
即 ，
所以D（X） =
故答案为：A．
【分析】根据题意得到 通过雅思考试的人数的可能取值和相应的概率，得出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意得 ，则
，
，
，
所以 ．
故答案为：A
【分析】由题意得到随机变量 的取值为 ，结合独立事件的概率公式，即可求解.
11．【答案】0.4
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：0.4
【分析】由分布列的性质列出方程组，求解得x，y即可.
12．【答案】；
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】易知 服从超几何分布，
所以 ，
．
【分析】根据题意，得到随机变量 服从超几何分布，结合超几何分布的概率公式和期望公式，即可求解.
13．【答案】；
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．
现从中任意取出3个小球，
基本事件总数 ，
其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数 ，
其中恰有2个小球颜色相同的概率是 ；
若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，
，
，
，
数学期望 ．
故答案为： ， ．
【分析】求出基本事件总数及恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数 ，可得所求概率；再求变量X 的概率分布，可得 X的数学期望 .
14．【答案】；
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】（1）从10件产品中，抽取3件，有种可能；
若取出的3件中恰有1件是次品，有种可能；
故满足题意的概率；
（2）根据题意，，
；；，
故.
故答案为：；.
【分析】（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；
（2）先求得的分布列，再求其期望即可.
15．【答案】47.6
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【解答】应先求出投资成功与失贩的概率，再计算其收益．
设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为500×12%，
如果失败，x的取值为 ．
由题表可得，一年后该公司投资成功的概率约为 ，失败的概率约为 ．
所以估计该公司一年后可获收益为 （万元）．
【分析】设可获收益为x万元，如果成功和失败时x的取值，结合题表中的数据的相依的概率，利用期望的公式，即可求解.
16．【答案】（1）解：数学期望为 ，方差为
（2）解：数学期望为0，方差为
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列的期望和方差的公式，即可求解；
（2）根据 ，结合分布列的期望和方差的公式，即可求解.
17．【答案】（1）解：设 “从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，
则 ，
所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为 ．
（2）解：第8，9，10组共有11人，其中选择政治的有6人，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以 的分布列为
故 的期望 ．
（3）解：选择地理的总人数为： ，
所以 ，
，
，
，
，
因为 最大，
所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 设 “从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，结合题设中的熟记，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）第8，9，10组共有11人中选择政治的有6人，得出X的所有可能取值为0，1，2，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（3） 求得选择地理的总人数为79人 分别求得同时选生物、化学、政治、物理和历史的概率，进而得到结论.
18．【答案】（1）解：随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，则
= =
= =
= = ，
．
所以，随机变量 的分布列为
随机变量 的数学期望为： ．
（2）解：设y表示第一辆车遇到红灯的个数，z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 = = = =
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）得到随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.
（2）设y表示第一辆车遇到红灯的个数，z表示第二辆车遇到红灯的个数，结合互斥之间的概率公式，即可求解所求事件的概率 ．
19．【答案】（1）解：当日需求量 时，利润 ．
当日需求量 时，利润 ．
所以y关于n的函数解析式为
（2）解：（i）X可能的取值为60，70，80，并且P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7． 的分布列如表所示：
的数学期望为 ．
的方差为D（X）= =44
（ii）答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润（单位：元），那么y的分布列如表所示：
的数学期望为 ．
y的方差为D（Y）= =112.04
由以上的计算结果可以看出， ，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．
另外，虽然 ，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润（单位：元），那么y的分布列如表所示：
的数学期望为 ．
由以上的计算结果可以看出， ，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】（1） 分别求得日需求量 和 的利润 ，进而求得以y关于n的函数解析式；
（2） （i）X可能的取值为60，70，80，求得相依的概率，得出的分布列，利用公式期望和方差的公式，即可求解；
（ii）答案一：若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润（单位：元），得出y的分布列，利用期望和方差的公式，比较得出结论；答案二：若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润，得出y的分布列，利用期望和方差的公式，比较得出结论.
20．【答案】（1）解：由茎叶图，可知甲、乙两名运动员七轮比赛的得分分别为
甲：78，81，84，85，84，85，91；
乙：79，84，84，86，87，84，91．
所以甲每轮的平均得分为 ；
乙每轮的平均得分为 ．
显然甲运动员的每轮得分中不低于80，不高于90的得分共有5个，分别为81，84，84，85，85，其中只有81与平均得分的差的绝对值大于2，
所以所求事件的概率
（2）解：设甲、乙两名运动员不低于80，不高于90的得分分别为x，y，得分之差的绝对值为 ．
显然，由茎叶图，可知 可取 ， ， ， ， ， ，
当 时， ，故 ；
当 时， ， ，故 ；
当 时， ， 或 ， ，故 ；
当 时， ， 或 ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ．
所以 的分布列如表所示：
其期望为
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据茎叶图的数据，分别求得甲、乙的平均数，结合甲运动员的每轮得分中不低于80，不高于90的得分的个数，结合古典摡型的概率公式，即可求解；
（2） 设甲、乙两名运动员不低于80，不高于90的得分分别为x，y，得分之差的绝对值为 ，根据题意得出随机变量 可取取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
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