精编人教版第二章整式的加减重难点题型汇总及答案解析第一部分（含解析）
文档属性
| 名称 | 精编人教版第二章整式的加减重难点题型汇总及答案解析第一部分（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 105.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-30 07:57:03 | ||
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文档简介
精编人教版第二章整式的加减重难点题型汇总及答案解析
第一部分（第一章共二个部分）
小专题1 整式及其应用（一）列代数式
小专题2 整式及其应用（二）整式的有关概念
小专题3 整式及其应用（三）利用代数式揭示规律
小专题4 整式及其应用（四）求代数式的值
小专题5 整式的加减（一）化简与求值
第二章整式的加减
小专题1 整式及其应用（一）列代数式
[方法技巧]审清题意，正确表达量与量之间的关系，特别注意代数式的书写.
[例1]随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（ ）
A.（）元 B.（）元 C.（）元 D.（）元
[例2]一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，甲、乙合做7天后，余下的由乙单独做，还要多少天完成？
[方法小结]
1.降低或增了几分之几，就是用基数乘以（1±几分之几）;
2.工程问题中，工作量＝工作效率×工作时间;
3.代数式的书写原则:（1）数与字母相乘，数写在字母前面省略乘号:（2）当代数式加减运算后面有单位时，要加括号:
（3）除法一定要写成分数的形式.
1.a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（ ）
A.100b+a B.10a+b C.a+b D.100a+b
2.在一个地球仪的赤道上加铁丝箍，若地球仪的半径增大1米，需增加m米长的铁丝;假设在地球的赤道上加一个铁丝箍，同样地球的半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（ ）
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.不能确定
3.李师傅下岗后，做起了小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了30件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且a＜b.
（1）若李师傅将甲种商品提价40%，乙种商品提价30%全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果）;
（2）若李师傅将两种商品都以元的价格全部售出，他这次买卖是赚钱还是亏本？请说明理由.
小专题2 整式及其应用（二）整式的有关概念
[方法技巧]理解单项式和多项式的次数、项和系数.
[例1]多项式7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为一
7.求m+n-k的值.
[例2]若关于x的多项式（a-3）2x3+x|b|-2x+b+1的次数与单项式的次数相同，求a与b的值.
[方法小结]
1.解决单项数或多项式有关项，系数，次数问题时，抓题目的条件，合情推理，从而求出待定系数的值;
2.准确理解有关概念是解题的关键。
1.按要求填空:
2.如果2xny4与m2x2y|m-n|都是关于x，y的六次单项式，且系数相等，求m，n的值.
3.若多项式5-（m+3）a+an是关于a的二次二项式，求mn的值.
小专题3 整式及其应用（三）利用代数式揭示规律
[方法技巧]从特殊到一般，用不完全归纳法揭示规律.
[例1]古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为an，则… 的值是（ ）
[例2]下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成.依此规律，第n个图案中白色正方形的个数为______.
[方法小结]
1.从特殊到一般，合情推理:2.等差数列的求和，数与形结合起来推理.
1.用式子表示下列各数:
（1）数列:1，2，4，7，…，则第6个数为_________，第n个数为___________;
（2）数列:2，5，10，17，26，…，则第6个数为_____;第n个数为___________;
（3）数列:-1，+3，-5，+7，…，则第n个数为____________.
2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有____________________个小圆.
3.观察下面的三行单项式:
x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…;①
-2x，4x2，-8x3，16x4，-32x5，64x6，…;②
2x2，-3x3，5x4，-9x5，17x6，-33x7，…;③
根据你发现的规律，第一行第8个单项式为______;第二行第9个单项式为______ ;第三行第n个单项式为____________________.
小专题4 整式及其应用（四）求代数式的值
[方法技巧]运用整体思想求代数式的值.
[例1]（1）若m2-5m+2＝0，则2m2-10m+2020＝________.
（2）若a2+2ab＝5，ab+2b2＝-2，则a2-4b2＝_____，2a2+5ab+2b2＝_____.
[例2]已知多项式ax28-bx14+cx6-8，当x＝3时，多项式的值为2014，
则当x＝-3时，ax28-bx14+cx6+8的值为______.
[方法小结]
1.整体思想的运用;
2.灵活地进行代数的恒等变形，得出要求的代数式，整体代入求解。
1.（1）已知a2-2a＝1，则6a-3a2-1的值为_______;
（2）若3x2-4x+6＝9，则x2的值为_____.
2.已知y＝ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a，b，c，d，e为常数.当x＝2时，y＝23;当x＝-2时，y＝-35，求e的值.
3.已知（x2-x+1）6＝a12x12+a11x11+a10x10+…+a2x2+a1x+a0，求a12+a10+a8+… +a2+a0的值.
小专题5 整式的加减（一）化简与求值
[方法技巧]灵活地去括号，合并同类项.
[例1]当||+（y+5）2＝0时，
求整式-3（x2y-xy2）（1-6xy2）-4x2y]（）的值.
[例2]已知a，b，c满足:① 5（a+3）2+2|b-2|＝0;② x2-ay1+b+c是7次单项式.求多项式a2b-[a2b-（2abc-a2c-3a2b）-4a2c]-abc的值.
[方法小结]
1.去括号时，可以先去小括号，再去中括号;也可以先去中括号，再去小括号;
2.代数式求值时，一定要先化简，再求值.
1.已知:a＝1，b＝2，求整式-8ab-[4a-36ab+5（ab+a-b）-7a]的值.
2.已知（x-5）2+2|y-2|＝0，求代数式（2x2-3xy+6y2）-2（3x2-xy+9y2）的值.
3.小虎在计算某整式减去xy+2yz-4xz时，由于粗心，误以为加上此式，得到结果为xy -2xz，请你帮助小虎求出此题的正确结果.
参考答案及解析：
小专题1 整式及其应用（一）列代数式
[方法技巧]审清题意，正确表达量与量之间的关系，特别注意代数式的书写.
[例1]随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（B）
A.（）元 B.（）元 C.（）元 D.（）元
分析：原售价为n元，降低m元后，售价为（n-m）元，
又降低20%，就是在基数（n-m）上降低20%，则现在的售价为（1-20%）（n-m）
解答：
解:（n-m）（n-m）.
[例2]一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，甲、乙合做7天后，余下的由乙单独做，还要多少天完成？
分析：在工程问题中通常设工作量为1，工作量＝工作效率x工作时间，
由题意可得，甲的工作效率为，乙的工作效率为，
故甲、乙合做7天的工作量为7（），余下的工作量是1-7（），故余下的工作量由乙单独做还要的时间就可求.
解答：
解:[1-7（）]
[方法小结]
1.降低或增了几分之几，就是用基数乘以（1±几分之几）;
2.工程问题中，工作量＝工作效率×工作时间;
3.代数式的书写原则:（1）数与字母相乘，数写在字母前面省略乘号:
（2）当代数式加减运算后面有单位时，要加括号:
（3）除法一定要写成分数的形式.
1.a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（B）
A.100b+a B.10a+b C.a+b D.100a+b
分析：把6放在a的右边，即6为该三位数的个位，a中两个数字位数依次变为百位与十位，据此可得。本题主要考查列代数式，根据题意得出6为该三位数的个位，a中两个数字位数依次变为百位与十位是解题的关键.
2.在一个地球仪的赤道上加铁丝箍，若地球仪的半径增大1米，需增加m米长的铁丝;假设在地球的赤道上加一个铁丝箍，同样地球的半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（C）
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.不能确定
分析：解:设地球仪的赤道上铁丝圈的半径为r，则原周长为2r，半径增加1米后，根据圆的周长公式得:m=2(r + 1)= 2r + 2，即周长增加了2米.
设地球赤道上铁丝圈的半径为R，则原周长为2R，半径增加1米后，根据圆的周长公式得:n = 2(R+1)= 2R +2，即周长增加了2米.
∴m = n.选择C
3.李师傅下岗后，做起了小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了30件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且a＜b.
（1）若李师傅将甲种商品提价40%，乙种商品提价30%全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果）;
若李师傅将两种商品都以元的价格全部售出，他这次买卖是赚钱还是亏本？请说明理由.
解答：
解:（1）（12a+12b）元;
（2）亏本了.
∵（30a+40b）＝5（a-b），
又∵a＜b，∴5（a-b）＜0，
∴亏本了.
小专题2 整式及其应用（二）整式的有关概念
[方法技巧]理解单项式和多项式的次数、项和系数.
[例1]多项式7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为一
7.求m+n-k的值.
分析：∵7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，∴m＝3，
而一次项系数为-7，即-（3n+1）＝-7，
∵7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，故二次项的系数k＝0，
解答：
解:∵7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，∴m＝3，
而一次项系数为-7，即-（3n+1）＝-7，故n＝2.
已有三次项为7x3，一次项为-7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n-k＝3+2-0＝5.
[例2]若关于x的多项式（a-3）2x3+x|b|-2x+b+1的次数与单项式的次数相同，求a与b的值.
分析：∵xy是二次单项式，多项式（a-3）2x3+x|b|-2x+b+1的次数是2，
说明（a-3）2x3这一项不存在，它的系数为0，从而求出a的值;
再根据最高次数为2，可求出b的值.
解答：
解:∵是二次单项式，解得a＝3，b＝±2.
[方法小结]
1.解决单项数或多项式有关项，系数，次数问题时，抓题目的条件，合情推理，从而求出待定系数的值;
2.准确理解有关概念是解题的关键。
1.按要求填空:
2.如果2xny4与m2x2y|m-n|都是关于x，y的六次单项式，且系数相等，求m，n的值.
解答：
解:由题意得n+4＝6，2+|m-n|＝6，m2，
∴m＝-2，n＝2.
3.若多项式5-（m+3）a+an是关于a的二次二项式，求mn的值.
解答：
解:由已知得解得则mn＝（-3）2＝9.
小专题3 整式及其应用（三）利用代数式揭示规律
[方法技巧]从特殊到一般，用不完全归纳法揭示规律.
[例1]古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为an，则… 的值是（）
分析：∵a1，a2，a3…，
an＝1+2+3+…，又（），从而可求.
解答：
解:∵a1，a2，a3…，an，
∴… （…）
＝2（…）
[例2]下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成.依此规律，第n个图案中白色正方形的个数为5n+3.
分析：第1个图案中白色正方形的个数为8;
第2个图案中白色正方形的个数为13;
第3个图案中白色正方形的个数为18;可以猜想:后面的图案比它前面一个图案中白色正方形多5个，所以每个图案中白色正方形的个数可以用5及序号表示出来.
解答：
解:第1个图案中白色正方形的个数为8＝5×1+3;第2个:13＝5×2+3;
第3个:18＝5×3+3; 第 n 个图案中白色正方形的个数为5n+3.
[方法小结]
1.从特殊到一般，合情推理:
2.等差数列的求和，数与形结合起来推理.Sn＝.
1.用式子表示下列各数:
（1）数列:1，2，4，7，…，则第6个数为16，第n个数为;
（2）数列:2，5，10，17，26，…，则第6个数为37;第n个数为n2+1;
（3）数列:-1，+3，-5，+7，…，则第n个数为（-1）n（2n-1）.
解答：
解:（1）数列1,2,4,7…第6个数为16,第n个数为
由规律可知每个数字逐一递加:由1→2差为1，2→4差为2…
故第6个数为7+4+5=16，第n个为.
（2）问数列2,5,10,17,26….第6个数为37,第n个数为 n2+1.
5-2=3,10-5=5,17-10=7,26-17=9,37-26=11,所以第6个数为37,第n个数为 n2+1，（n为从1开始的自然数）
注: 规律是从1开始的自然数的平方加1.
（3）数列-1,+3.-5,+7….第n个数为 (-1)"(2n-1)
注意正负号交替出现时用 (-1)"表示
2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有4+n（n+1）个小圆.
分析:本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律.
解答：
解:根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，
∵6＝4+1×2，10＝4+2×3，16＝4+3×4，24＝4+4×5…，
∴第n个图形有:4+n（n+1）.故答案为:4+n（n+1），
3.观察下面的三行单项式:
x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…;①
-2x，4x2，-8x3，16x4，-32x5，64x6，…;②
2x2，-3x3，5x4，-9x5，17x6，-33x7，…;③
根据你发现的规律，第一行第8个单项式为128x8;第二行第9个单项式为-512x9 ;第三行第n个单项式为[（-2）n-1+（-1）n-1] xn+1.
解答：
解:第一行的单项式为:x＝21-1x1，2x2＝22-1x2，4x3=23-1x3,…，
∴第一行的第n个单项式为:2n-1xn，
∴第一行的第8个单项式为:28-1x8=128x8,
∴第二行的单项式为:-2x=(-2)1x1,4x2=(-2)2x2，-8x3=(-2)3x3,…,
∴第二行的第n个单项式为:(-2)nxn,
∴第二行的第9个单项式为:(-2)9x9=-512x9,
∴第三行的单项式为:2x2=[(-2)1-1+(-1)1-1]x1+1,
-3x3=[(-2)2-1+(-1)2-1]x2+1,5x4=[(-2)3-1+(-1)3-1]x3+1,…,
∴第三行的第n个单项式为:[(-2)n-1+(-1)n-1]xn+1.
故答案为:128x8;-512x9;[（-2）n-1+（-1）n-1] xn+1.
小专题4 整式及其应用（四）求代数式的值
[方法技巧]运用整体思想求代数式的值.
[例1]（1）若m2-5m+2＝0，则2m2-10m+2020＝________.
分析:2m2-10m+2020＝2（m2-5m）+2020
∵m2-5m+2＝0，∴m2-5m＝-2，
解答：
解:∵m2-5m+2＝0，∴m2-5m＝-2，
∴2m2-10m+2020＝2（m2-5m）+2020＝2016;
（2）若a2+2ab＝5，ab+2b2＝-2，则a2-4b2＝_____，2a2+5ab+2b2＝_____.
分析:第一式中ab项的系数是第二式ab项的2倍，而结论中又不含ab这项，
故可用第一式减去第二式的2倍，即可;
同样，2a2+5ab+2b2＝2（a2+2ab）+（ab+2b2）
解答：
解:a2-4b2＝（a2+2ab）-2（ab+2b2）＝5-2×（-2）＝9;
2a2+5ab+2b2＝2（a2+2ab）+（ab+2b2）＝2×5+（-2）＝8.
[例2]已知多项式ax28-bx14+cx6-8，当x＝3时，多项式的值为2014，
则当x＝-3时，ax28-bx14+cx6+8的值为______.
分析:多项式ax28-bx14+cx6+8只含x的偶次方项，当x＝3或-3时，偶次方项的值是相等的，
故我们可能把偶次方项部分看成整体，从而求解.
解答：
解:当x＝3时，代数式ax28-bx14+cx6+8＝328a-314b+36c-8＝2014，
∴328a-314b+36c＝2022，
当x＝-3时，代数式ax28-bx14+cx6+8＝328a-314b+36c+8＝2030.
[方法小结]
1.整体思想的运用;
2.灵活地进行代数的恒等变形，得出要求的代数式，整体代入求解。
1.（1）已知a2-2a＝1，则6a-3a2-1的值为_______;
（2）若3x2-4x+6＝9，则x2的值为_____.
解答：
解:（1）原式＝-3（a2-2a）-1＝-4;
（2）3x2-4x＝3，x2，原式＝7.
2.已知y＝ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a，b，c，d，e为常数.当x＝2时，y＝23;当x＝-2时，y＝-35，求e的值.
解答：
解:当x＝2时，y＝ax7+bx5+cx3+dx+e＝27a+25b+23c+2d+c＝23，27a+25b+23c+2d＝23-e;
当x＝-2时，y＝ax7+bx5+cx3+dx+c＝-（27a+25b+23c+2d）+e＝-（23-e）+c＝ -23+2e＝-35;
所以e＝-6.
3.已知（x2-x+1）6＝a12x12+a11x11+a10x10+…+a2x2+a1x+a0，求a12+a10+a8+… +a2+a0的值.
解答：
解:令x＝1，得a12+a11+a10+…+a2+a1+a0＝1;
a1＝-1，得a12-a11+a10-a9+…+a2-a1+a0＝729;
两式相加得a12+a10+a8+…+a2+a0＝365.
小专题5 整式的加减（一）化简与求值
[方法技巧]灵活地去括号，合并同类项.
[例1]当||+（y+5）2＝0时，
求整式-3（x2y-xy2）（1-6xy2）-4x2y]（）的值.
分析:∵||≥0，（y+5）2≥0，∴，y＝-5，
求整式的值时，能化简的先化简，再根据条件求其值.
解答：
解:∵||≥0，（y+5）2≥0，∴，y＝-5，
∴原式＝-3x2y+3xy2（1-6xy2）+4x2
=-3x2y+3xy2-4xy2+4x2xy＝x2y-xy2
当，y＝-5时∴原式
[例2]已知a，b，c满足:① 5（a+3）2+2|b-2|＝0;② x2-ay1+b+c是7次单项式.求多项式a2b-[a2b-（2abc-a2c-3a2b）-4a2c]-abc的值.
分析:∵5（a+3）2+2|b-2|＝0，∴a＝-3，b＝2.
又x2-（-3）y1+2+c为7次单项式，可得c＝-1，
解答：
解:∵（a+3）2+2|b-2|＝0，∴a+3＝0，b-2＝0，∴a＝-3，b＝2.
又x2-（-3）y1+2+c为7次单项式，∴2-（-3）+1+2+c＝7，可得c＝-1，
∴当a＝-3，b＝2，c＝-1时，
原式＝abc+3a2c-3a2b
＝（-3）×2×（-1）+3×（-3）2×（-1）-3×（-3）2×2＝-75.
[方法小结]
1.去括号时，可以先去小括号，再去中括号;也可以先去中括号，再去小括号;
2.代数式求值时，一定要先化简，再求值.
1.已知:a＝1，b＝2，求整式-8ab-[4a-36ab+5（ab+a-b）-7a]的值.
解答：
解:原式＝23ab-2a+5b＝54.
2.已知（x-5）2+2|y-2|＝0，求代数式（2x2-3xy+6y2）-2（3x2-xy+9y2）的值.
解答：
解:原式＝-4x2-xy-12y2＝-158.
3.小虎在计算某整式减去xy+2yz-4xz时，由于粗心，误以为加上此式，得到结果为xy -2xz，请你帮助小虎求出此题的正确结果.
解答：
解:方法1:∵（xy-2xz）-（xy+2yz-4xz）
＝xy-2xz-xy-2yz+4xz
＝-2yz+2xz.
∴（-2yz+2xz）-（xy+2yz-4xz）＝-xy+6xz-4yz.
方法2:（xy-2xz）-2（xy+2yx-4xz）＝xy-2xz-2xy-4yz+8xz＝-xy+6xz-4yz.
第一部分（第一章共二个部分）
小专题1 整式及其应用（一）列代数式
小专题2 整式及其应用（二）整式的有关概念
小专题3 整式及其应用（三）利用代数式揭示规律
小专题4 整式及其应用（四）求代数式的值
小专题5 整式的加减（一）化简与求值
第二章整式的加减
小专题1 整式及其应用（一）列代数式
[方法技巧]审清题意，正确表达量与量之间的关系，特别注意代数式的书写.
[例1]随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（ ）
A.（）元 B.（）元 C.（）元 D.（）元
[例2]一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，甲、乙合做7天后，余下的由乙单独做，还要多少天完成？
[方法小结]
1.降低或增了几分之几，就是用基数乘以（1±几分之几）;
2.工程问题中，工作量＝工作效率×工作时间;
3.代数式的书写原则:（1）数与字母相乘，数写在字母前面省略乘号:（2）当代数式加减运算后面有单位时，要加括号:
（3）除法一定要写成分数的形式.
1.a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（ ）
A.100b+a B.10a+b C.a+b D.100a+b
2.在一个地球仪的赤道上加铁丝箍，若地球仪的半径增大1米，需增加m米长的铁丝;假设在地球的赤道上加一个铁丝箍，同样地球的半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（ ）
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.不能确定
3.李师傅下岗后，做起了小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了30件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且a＜b.
（1）若李师傅将甲种商品提价40%，乙种商品提价30%全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果）;
（2）若李师傅将两种商品都以元的价格全部售出，他这次买卖是赚钱还是亏本？请说明理由.
小专题2 整式及其应用（二）整式的有关概念
[方法技巧]理解单项式和多项式的次数、项和系数.
[例1]多项式7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为一
7.求m+n-k的值.
[例2]若关于x的多项式（a-3）2x3+x|b|-2x+b+1的次数与单项式的次数相同，求a与b的值.
[方法小结]
1.解决单项数或多项式有关项，系数，次数问题时，抓题目的条件，合情推理，从而求出待定系数的值;
2.准确理解有关概念是解题的关键。
1.按要求填空:
2.如果2xny4与m2x2y|m-n|都是关于x，y的六次单项式，且系数相等，求m，n的值.
3.若多项式5-（m+3）a+an是关于a的二次二项式，求mn的值.
小专题3 整式及其应用（三）利用代数式揭示规律
[方法技巧]从特殊到一般，用不完全归纳法揭示规律.
[例1]古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为an，则… 的值是（ ）
[例2]下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成.依此规律，第n个图案中白色正方形的个数为______.
[方法小结]
1.从特殊到一般，合情推理:2.等差数列的求和，数与形结合起来推理.
1.用式子表示下列各数:
（1）数列:1，2，4，7，…，则第6个数为_________，第n个数为___________;
（2）数列:2，5，10，17，26，…，则第6个数为_____;第n个数为___________;
（3）数列:-1，+3，-5，+7，…，则第n个数为____________.
2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有____________________个小圆.
3.观察下面的三行单项式:
x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…;①
-2x，4x2，-8x3，16x4，-32x5，64x6，…;②
2x2，-3x3，5x4，-9x5，17x6，-33x7，…;③
根据你发现的规律，第一行第8个单项式为______;第二行第9个单项式为______ ;第三行第n个单项式为____________________.
小专题4 整式及其应用（四）求代数式的值
[方法技巧]运用整体思想求代数式的值.
[例1]（1）若m2-5m+2＝0，则2m2-10m+2020＝________.
（2）若a2+2ab＝5，ab+2b2＝-2，则a2-4b2＝_____，2a2+5ab+2b2＝_____.
[例2]已知多项式ax28-bx14+cx6-8，当x＝3时，多项式的值为2014，
则当x＝-3时，ax28-bx14+cx6+8的值为______.
[方法小结]
1.整体思想的运用;
2.灵活地进行代数的恒等变形，得出要求的代数式，整体代入求解。
1.（1）已知a2-2a＝1，则6a-3a2-1的值为_______;
（2）若3x2-4x+6＝9，则x2的值为_____.
2.已知y＝ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a，b，c，d，e为常数.当x＝2时，y＝23;当x＝-2时，y＝-35，求e的值.
3.已知（x2-x+1）6＝a12x12+a11x11+a10x10+…+a2x2+a1x+a0，求a12+a10+a8+… +a2+a0的值.
小专题5 整式的加减（一）化简与求值
[方法技巧]灵活地去括号，合并同类项.
[例1]当||+（y+5）2＝0时，
求整式-3（x2y-xy2）（1-6xy2）-4x2y]（）的值.
[例2]已知a，b，c满足:① 5（a+3）2+2|b-2|＝0;② x2-ay1+b+c是7次单项式.求多项式a2b-[a2b-（2abc-a2c-3a2b）-4a2c]-abc的值.
[方法小结]
1.去括号时，可以先去小括号，再去中括号;也可以先去中括号，再去小括号;
2.代数式求值时，一定要先化简，再求值.
1.已知:a＝1，b＝2，求整式-8ab-[4a-36ab+5（ab+a-b）-7a]的值.
2.已知（x-5）2+2|y-2|＝0，求代数式（2x2-3xy+6y2）-2（3x2-xy+9y2）的值.
3.小虎在计算某整式减去xy+2yz-4xz时，由于粗心，误以为加上此式，得到结果为xy -2xz，请你帮助小虎求出此题的正确结果.
参考答案及解析：
小专题1 整式及其应用（一）列代数式
[方法技巧]审清题意，正确表达量与量之间的关系，特别注意代数式的书写.
[例1]随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（B）
A.（）元 B.（）元 C.（）元 D.（）元
分析：原售价为n元，降低m元后，售价为（n-m）元，
又降低20%，就是在基数（n-m）上降低20%，则现在的售价为（1-20%）（n-m）
解答：
解:（n-m）（n-m）.
[例2]一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，甲、乙合做7天后，余下的由乙单独做，还要多少天完成？
分析：在工程问题中通常设工作量为1，工作量＝工作效率x工作时间，
由题意可得，甲的工作效率为，乙的工作效率为，
故甲、乙合做7天的工作量为7（），余下的工作量是1-7（），故余下的工作量由乙单独做还要的时间就可求.
解答：
解:[1-7（）]
[方法小结]
1.降低或增了几分之几，就是用基数乘以（1±几分之几）;
2.工程问题中，工作量＝工作效率×工作时间;
3.代数式的书写原则:（1）数与字母相乘，数写在字母前面省略乘号:
（2）当代数式加减运算后面有单位时，要加括号:
（3）除法一定要写成分数的形式.
1.a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（B）
A.100b+a B.10a+b C.a+b D.100a+b
分析：把6放在a的右边，即6为该三位数的个位，a中两个数字位数依次变为百位与十位，据此可得。本题主要考查列代数式，根据题意得出6为该三位数的个位，a中两个数字位数依次变为百位与十位是解题的关键.
2.在一个地球仪的赤道上加铁丝箍，若地球仪的半径增大1米，需增加m米长的铁丝;假设在地球的赤道上加一个铁丝箍，同样地球的半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（C）
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.不能确定
分析：解:设地球仪的赤道上铁丝圈的半径为r，则原周长为2r，半径增加1米后，根据圆的周长公式得:m=2(r + 1)= 2r + 2，即周长增加了2米.
设地球赤道上铁丝圈的半径为R，则原周长为2R，半径增加1米后，根据圆的周长公式得:n = 2(R+1)= 2R +2，即周长增加了2米.
∴m = n.选择C
3.李师傅下岗后，做起了小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了30件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且a＜b.
（1）若李师傅将甲种商品提价40%，乙种商品提价30%全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果）;
若李师傅将两种商品都以元的价格全部售出，他这次买卖是赚钱还是亏本？请说明理由.
解答：
解:（1）（12a+12b）元;
（2）亏本了.
∵（30a+40b）＝5（a-b），
又∵a＜b，∴5（a-b）＜0，
∴亏本了.
小专题2 整式及其应用（二）整式的有关概念
[方法技巧]理解单项式和多项式的次数、项和系数.
[例1]多项式7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为一
7.求m+n-k的值.
分析：∵7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，∴m＝3，
而一次项系数为-7，即-（3n+1）＝-7，
∵7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，故二次项的系数k＝0，
解答：
解:∵7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，∴m＝3，
而一次项系数为-7，即-（3n+1）＝-7，故n＝2.
已有三次项为7x3，一次项为-7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n-k＝3+2-0＝5.
[例2]若关于x的多项式（a-3）2x3+x|b|-2x+b+1的次数与单项式的次数相同，求a与b的值.
分析：∵xy是二次单项式，多项式（a-3）2x3+x|b|-2x+b+1的次数是2，
说明（a-3）2x3这一项不存在，它的系数为0，从而求出a的值;
再根据最高次数为2，可求出b的值.
解答：
解:∵是二次单项式，解得a＝3，b＝±2.
[方法小结]
1.解决单项数或多项式有关项，系数，次数问题时，抓题目的条件，合情推理，从而求出待定系数的值;
2.准确理解有关概念是解题的关键。
1.按要求填空:
2.如果2xny4与m2x2y|m-n|都是关于x，y的六次单项式，且系数相等，求m，n的值.
解答：
解:由题意得n+4＝6，2+|m-n|＝6，m2，
∴m＝-2，n＝2.
3.若多项式5-（m+3）a+an是关于a的二次二项式，求mn的值.
解答：
解:由已知得解得则mn＝（-3）2＝9.
小专题3 整式及其应用（三）利用代数式揭示规律
[方法技巧]从特殊到一般，用不完全归纳法揭示规律.
[例1]古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为an，则… 的值是（）
分析：∵a1，a2，a3…，
an＝1+2+3+…，又（），从而可求.
解答：
解:∵a1，a2，a3…，an，
∴… （…）
＝2（…）
[例2]下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成.依此规律，第n个图案中白色正方形的个数为5n+3.
分析：第1个图案中白色正方形的个数为8;
第2个图案中白色正方形的个数为13;
第3个图案中白色正方形的个数为18;可以猜想:后面的图案比它前面一个图案中白色正方形多5个，所以每个图案中白色正方形的个数可以用5及序号表示出来.
解答：
解:第1个图案中白色正方形的个数为8＝5×1+3;第2个:13＝5×2+3;
第3个:18＝5×3+3; 第 n 个图案中白色正方形的个数为5n+3.
[方法小结]
1.从特殊到一般，合情推理:
2.等差数列的求和，数与形结合起来推理.Sn＝.
1.用式子表示下列各数:
（1）数列:1，2，4，7，…，则第6个数为16，第n个数为;
（2）数列:2，5，10，17，26，…，则第6个数为37;第n个数为n2+1;
（3）数列:-1，+3，-5，+7，…，则第n个数为（-1）n（2n-1）.
解答：
解:（1）数列1,2,4,7…第6个数为16,第n个数为
由规律可知每个数字逐一递加:由1→2差为1，2→4差为2…
故第6个数为7+4+5=16，第n个为.
（2）问数列2,5,10,17,26….第6个数为37,第n个数为 n2+1.
5-2=3,10-5=5,17-10=7,26-17=9,37-26=11,所以第6个数为37,第n个数为 n2+1，（n为从1开始的自然数）
注: 规律是从1开始的自然数的平方加1.
（3）数列-1,+3.-5,+7….第n个数为 (-1)"(2n-1)
注意正负号交替出现时用 (-1)"表示
2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有4+n（n+1）个小圆.
分析:本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律.
解答：
解:根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，
∵6＝4+1×2，10＝4+2×3，16＝4+3×4，24＝4+4×5…，
∴第n个图形有:4+n（n+1）.故答案为:4+n（n+1），
3.观察下面的三行单项式:
x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…;①
-2x，4x2，-8x3，16x4，-32x5，64x6，…;②
2x2，-3x3，5x4，-9x5，17x6，-33x7，…;③
根据你发现的规律，第一行第8个单项式为128x8;第二行第9个单项式为-512x9 ;第三行第n个单项式为[（-2）n-1+（-1）n-1] xn+1.
解答：
解:第一行的单项式为:x＝21-1x1，2x2＝22-1x2，4x3=23-1x3,…，
∴第一行的第n个单项式为:2n-1xn，
∴第一行的第8个单项式为:28-1x8=128x8,
∴第二行的单项式为:-2x=(-2)1x1,4x2=(-2)2x2，-8x3=(-2)3x3,…,
∴第二行的第n个单项式为:(-2)nxn,
∴第二行的第9个单项式为:(-2)9x9=-512x9,
∴第三行的单项式为:2x2=[(-2)1-1+(-1)1-1]x1+1,
-3x3=[(-2)2-1+(-1)2-1]x2+1,5x4=[(-2)3-1+(-1)3-1]x3+1,…,
∴第三行的第n个单项式为:[(-2)n-1+(-1)n-1]xn+1.
故答案为:128x8;-512x9;[（-2）n-1+（-1）n-1] xn+1.
小专题4 整式及其应用（四）求代数式的值
[方法技巧]运用整体思想求代数式的值.
[例1]（1）若m2-5m+2＝0，则2m2-10m+2020＝________.
分析:2m2-10m+2020＝2（m2-5m）+2020
∵m2-5m+2＝0，∴m2-5m＝-2，
解答：
解:∵m2-5m+2＝0，∴m2-5m＝-2，
∴2m2-10m+2020＝2（m2-5m）+2020＝2016;
（2）若a2+2ab＝5，ab+2b2＝-2，则a2-4b2＝_____，2a2+5ab+2b2＝_____.
分析:第一式中ab项的系数是第二式ab项的2倍，而结论中又不含ab这项，
故可用第一式减去第二式的2倍，即可;
同样，2a2+5ab+2b2＝2（a2+2ab）+（ab+2b2）
解答：
解:a2-4b2＝（a2+2ab）-2（ab+2b2）＝5-2×（-2）＝9;
2a2+5ab+2b2＝2（a2+2ab）+（ab+2b2）＝2×5+（-2）＝8.
[例2]已知多项式ax28-bx14+cx6-8，当x＝3时，多项式的值为2014，
则当x＝-3时，ax28-bx14+cx6+8的值为______.
分析:多项式ax28-bx14+cx6+8只含x的偶次方项，当x＝3或-3时，偶次方项的值是相等的，
故我们可能把偶次方项部分看成整体，从而求解.
解答：
解:当x＝3时，代数式ax28-bx14+cx6+8＝328a-314b+36c-8＝2014，
∴328a-314b+36c＝2022，
当x＝-3时，代数式ax28-bx14+cx6+8＝328a-314b+36c+8＝2030.
[方法小结]
1.整体思想的运用;
2.灵活地进行代数的恒等变形，得出要求的代数式，整体代入求解。
1.（1）已知a2-2a＝1，则6a-3a2-1的值为_______;
（2）若3x2-4x+6＝9，则x2的值为_____.
解答：
解:（1）原式＝-3（a2-2a）-1＝-4;
（2）3x2-4x＝3，x2，原式＝7.
2.已知y＝ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a，b，c，d，e为常数.当x＝2时，y＝23;当x＝-2时，y＝-35，求e的值.
解答：
解:当x＝2时，y＝ax7+bx5+cx3+dx+e＝27a+25b+23c+2d+c＝23，27a+25b+23c+2d＝23-e;
当x＝-2时，y＝ax7+bx5+cx3+dx+c＝-（27a+25b+23c+2d）+e＝-（23-e）+c＝ -23+2e＝-35;
所以e＝-6.
3.已知（x2-x+1）6＝a12x12+a11x11+a10x10+…+a2x2+a1x+a0，求a12+a10+a8+… +a2+a0的值.
解答：
解:令x＝1，得a12+a11+a10+…+a2+a1+a0＝1;
a1＝-1，得a12-a11+a10-a9+…+a2-a1+a0＝729;
两式相加得a12+a10+a8+…+a2+a0＝365.
小专题5 整式的加减（一）化简与求值
[方法技巧]灵活地去括号，合并同类项.
[例1]当||+（y+5）2＝0时，
求整式-3（x2y-xy2）（1-6xy2）-4x2y]（）的值.
分析:∵||≥0，（y+5）2≥0，∴，y＝-5，
求整式的值时，能化简的先化简，再根据条件求其值.
解答：
解:∵||≥0，（y+5）2≥0，∴，y＝-5，
∴原式＝-3x2y+3xy2（1-6xy2）+4x2
=-3x2y+3xy2-4xy2+4x2xy＝x2y-xy2
当，y＝-5时∴原式
[例2]已知a，b，c满足:① 5（a+3）2+2|b-2|＝0;② x2-ay1+b+c是7次单项式.求多项式a2b-[a2b-（2abc-a2c-3a2b）-4a2c]-abc的值.
分析:∵5（a+3）2+2|b-2|＝0，∴a＝-3，b＝2.
又x2-（-3）y1+2+c为7次单项式，可得c＝-1，
解答：
解:∵（a+3）2+2|b-2|＝0，∴a+3＝0，b-2＝0，∴a＝-3，b＝2.
又x2-（-3）y1+2+c为7次单项式，∴2-（-3）+1+2+c＝7，可得c＝-1，
∴当a＝-3，b＝2，c＝-1时，
原式＝abc+3a2c-3a2b
＝（-3）×2×（-1）+3×（-3）2×（-1）-3×（-3）2×2＝-75.
[方法小结]
1.去括号时，可以先去小括号，再去中括号;也可以先去中括号，再去小括号;
2.代数式求值时，一定要先化简，再求值.
1.已知:a＝1，b＝2，求整式-8ab-[4a-36ab+5（ab+a-b）-7a]的值.
解答：
解:原式＝23ab-2a+5b＝54.
2.已知（x-5）2+2|y-2|＝0，求代数式（2x2-3xy+6y2）-2（3x2-xy+9y2）的值.
解答：
解:原式＝-4x2-xy-12y2＝-158.
3.小虎在计算某整式减去xy+2yz-4xz时，由于粗心，误以为加上此式，得到结果为xy -2xz，请你帮助小虎求出此题的正确结果.
解答：
解:方法1:∵（xy-2xz）-（xy+2yz-4xz）
＝xy-2xz-xy-2yz+4xz
＝-2yz+2xz.
∴（-2yz+2xz）-（xy+2yz-4xz）＝-xy+6xz-4yz.
方法2:（xy-2xz）-2（xy+2yx-4xz）＝xy-2xz-2xy-4yz+8xz＝-xy+6xz-4yz.