初中数学北师大版八年级上学期 第一章 1.1探索勾股定理
一、单选题
1．（2020八下·邯郸月考）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB= ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．5
2．（2020八下·哈尔滨期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长为（ ）
A．5 B．25 C．6 D．
3．（2020八下·滨州月考）如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，则S1的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2020八下·新疆月考）下列说法正确的是（ ）
A．若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2
D．若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2
5．（2020八上·奉化期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．较小两个正三角重叠部分的面积
C．最大正三角形的面积
D．最大正三角形与直角三角形的面积差
6．（2020八上·徐州期末）如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为 的线段有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
7．（2019八上·民勤月考）如图，点A坐标为（3，0），B是y轴正半轴上一点，AB=5，则点B的坐标为（ ）
A．（4，0） B．（0，4） C．（0，5） D．（0， ）
8．（2019八上·新昌期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
二、填空题
9．（2020八下·邯郸月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2。
10．（2020八下·鼎城期中）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的 时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？ (填“能”或“不能”)．
11．（2020八下·甘井子月考）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为10 cm2和26 cm2，则正方形A的边长是 cm.
12．（2020八上·大丰期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
三、综合题
13．（2020八下·唐县期末）如图网格是由边长为1的小正方形组成，点A、B、C位置如图所示，在网格中确定点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形的所有内角都相等。
（1）确定点D的位置，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，并说明理由；
（2）求出(1)中所画出的四边形的周长和面积。
14．（2020八下·西安月考）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CD=12，AC=20，BC=15，AE=AC，BF=BC，求EF的长．
15．（2019八下·来宾期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．
求：
（1）△ABC的周长；
（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： ，
∵在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝ ，
∴AB2＋AC2＋BC2＝10，
∴S阴影＝ ×10＝5．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2＋BC2，进而可将阴影部分的面积求出．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求解即可．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可知，AC2+BC2=AB2
∴S3+S2=S1
∵S3+S2+S1=16
∴2S1=16
∴S1=8
故答案为：B.
【分析】在直角三角形中，根据勾股定理，即可得到三个正方形面积的和为16，求出S1的答案即可。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】A. 若 a、b、c是△ABC的三边，但△ABC不一定是直角三角形，则a2＋b2不一定等于c2，故本选项错误；
B. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边，但不确定哪条边为斜边，则a2＋b2不一定等于c2，故本选项错误；
C. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2，故本选项正确；
D. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则c2＋b2＝a2，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较短直角边长为a，较长直角边为b，
由勾股定理得：c2=a2+b2，
阴影部分的面积为：，
较小两个正三角形重叠部分的边长为：a+b-c，
则较小两个正三角形重叠部分的面积为：
，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正三角形重叠部分的面积，即等于阴影部分的面积.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，再根据正三角形的面积公式、平行四边形的面积公式推导计算即可.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴是直角边为2、3的直角三角形的斜边长度，
如图所示，AB、CD、BE、DF的长都等于.
故答案为：C
【分析】是直角边长为2,、3的直角三角形的斜边，据此画两条以个点为端点且长度为的线段即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：因为点A坐标为（3，0），B是y轴正半轴上一点，AB=5，
所以OB= =4 ，
所以点B的坐标为（0，4），
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理算出OB的长，再根据点的坐标与图形的性质即可得出点B的坐标.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴
在Rt△A'BD中，
∵∠A'BD=90°，A'D=2米，
∴
∴
∵BD>0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米
即小巷的宽度为2.2米，
故答案为：A.
【分析】如图，在Rt△ACB中，genuine勾股定理表示出AB2，在Rt△A'BD中，利用勾股定理即可求出BD的长，进而根据CD=BC+BD算出答案.
9．【答案】36
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如右图所示,
根据勾股定理可知，
，
，
∴ ，
故答案为：36.
【分析】根据勾股定理有， ， ，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．
10．【答案】不能
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的 ，且梯子的长度为9米，
∴梯子底端离墙约为梯子长度为9× =3米，
∴梯子的顶端距离地面的高度为： ，
∵ ，
∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．
故答案为：不能．
【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断．
11．【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图所示：
根据题意得： =26， =10，∠EFG=90°，
根据勾股定理得：
∴正方形A的边长为： .
故答案为： .
【分析】根据已知两正方形的面积分别得出直角三角形两直角边长的平方，利用勾股定理求出斜边长的平方，即可求出正方形A的面积.
12．【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，斜边长AB= = =10米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为：8.
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果。
13．【答案】（1）解：如图所示
AB= = =DC
BC= =2 =AD
所以，四边形ABCD是平行四边形。
又因为 ，所以
所以四边形ABCD是矩形，故四个内角相等。
（2）解：周长为（2 + ）×2=6
面积为2 × =10
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意可知，四边形的内角为直角，得到D点的位置即可；
（2）根据勾股定理计算得到AB和BC的长度，根据周长公式求出答案即可。
14．【答案】解：∵CD是高
∴∠CDB=∠BDC=90°
在Rt△ADC中，,
在Rt△BDC中，,
∵AE=AC=20，
∴DE=AE-AD=20-16=4，
∵BF=BC=15，
∴DF=BF-BD=15-9=6，
∴EF=DE+DF=4+6=10.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】利用三角形的高的定义，可知∠CDB=∠BDC=90°，再利用勾股定理求出AD，BD的长，利用已知条件求出DE，DF的长，然后根据EF=DE+DF，即可求出EF的长。
15．【答案】（1）解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
又AD＝12，BD＝16，CD＝5，
∴AB＝20，AC＝13，
△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD+DC＝20+13+16+5＝54．
（2）解：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，
AB2+AC2≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1） 已知AD、BD、CD，在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别由勾股定理求得AB和AC，BC=BD+DC长度可求，则△ABC的周长可求；
（2）先找出最大边，再求较小两边的平方和，利用勾股定理的逆定理判断即可。
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第一章 1.1探索勾股定理
一、单选题
1．（2020八下·邯郸月考）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB= ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： ，
∵在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝ ，
∴AB2＋AC2＋BC2＝10，
∴S阴影＝ ×10＝5．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2＋BC2，进而可将阴影部分的面积求出．
2．（2020八下·哈尔滨期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长为（ ）
A．5 B．25 C．6 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求解即可．
3．（2020八下·滨州月考）如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，则S1的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可知，AC2+BC2=AB2
∴S3+S2=S1
∵S3+S2+S1=16
∴2S1=16
∴S1=8
故答案为：B.
【分析】在直角三角形中，根据勾股定理，即可得到三个正方形面积的和为16，求出S1的答案即可。
4．（2020八下·新疆月考）下列说法正确的是（ ）
A．若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2
D．若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】A. 若 a、b、c是△ABC的三边，但△ABC不一定是直角三角形，则a2＋b2不一定等于c2，故本选项错误；
B. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边，但不确定哪条边为斜边，则a2＋b2不一定等于c2，故本选项错误；
C. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2，故本选项正确；
D. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则c2＋b2＝a2，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方逐一判断即可.
5．（2020八上·奉化期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．较小两个正三角重叠部分的面积
C．最大正三角形的面积
D．最大正三角形与直角三角形的面积差
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较短直角边长为a，较长直角边为b，
由勾股定理得：c2=a2+b2，
阴影部分的面积为：，
较小两个正三角形重叠部分的边长为：a+b-c，
则较小两个正三角形重叠部分的面积为：
，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正三角形重叠部分的面积，即等于阴影部分的面积.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，再根据正三角形的面积公式、平行四边形的面积公式推导计算即可.
6．（2020八上·徐州期末）如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为 的线段有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴是直角边为2、3的直角三角形的斜边长度，
如图所示，AB、CD、BE、DF的长都等于.
故答案为：C
【分析】是直角边长为2,、3的直角三角形的斜边，据此画两条以个点为端点且长度为的线段即可.
7．（2019八上·民勤月考）如图，点A坐标为（3，0），B是y轴正半轴上一点，AB=5，则点B的坐标为（ ）
A．（4，0） B．（0，4） C．（0，5） D．（0， ）
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：因为点A坐标为（3，0），B是y轴正半轴上一点，AB=5，
所以OB= =4 ，
所以点B的坐标为（0，4），
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理算出OB的长，再根据点的坐标与图形的性质即可得出点B的坐标.
8．（2019八上·新昌期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴
在Rt△A'BD中，
∵∠A'BD=90°，A'D=2米，
∴
∴
∵BD>0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米
即小巷的宽度为2.2米，
故答案为：A.
【分析】如图，在Rt△ACB中，genuine勾股定理表示出AB2，在Rt△A'BD中，利用勾股定理即可求出BD的长，进而根据CD=BC+BD算出答案.
二、填空题
9．（2020八下·邯郸月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2。
【答案】36
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如右图所示,
根据勾股定理可知，
，
，
∴ ，
故答案为：36.
【分析】根据勾股定理有， ， ，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．
10．（2020八下·鼎城期中）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的 时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？ (填“能”或“不能”)．
【答案】不能
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的 ，且梯子的长度为9米，
∴梯子底端离墙约为梯子长度为9× =3米，
∴梯子的顶端距离地面的高度为： ，
∵ ，
∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．
故答案为：不能．
【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断．
11．（2020八下·甘井子月考）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为10 cm2和26 cm2，则正方形A的边长是 cm.
【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图所示：
根据题意得： =26， =10，∠EFG=90°，
根据勾股定理得：
∴正方形A的边长为： .
故答案为： .
【分析】根据已知两正方形的面积分别得出直角三角形两直角边长的平方，利用勾股定理求出斜边长的平方，即可求出正方形A的面积.
12．（2020八上·大丰期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，斜边长AB= = =10米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为：8.
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果。
三、综合题
13．（2020八下·唐县期末）如图网格是由边长为1的小正方形组成，点A、B、C位置如图所示，在网格中确定点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形的所有内角都相等。
（1）确定点D的位置，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，并说明理由；
（2）求出(1)中所画出的四边形的周长和面积。
【答案】（1）解：如图所示
AB= = =DC
BC= =2 =AD
所以，四边形ABCD是平行四边形。
又因为 ，所以
所以四边形ABCD是矩形，故四个内角相等。
（2）解：周长为（2 + ）×2=6
面积为2 × =10
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意可知，四边形的内角为直角，得到D点的位置即可；
（2）根据勾股定理计算得到AB和BC的长度，根据周长公式求出答案即可。
14．（2020八下·西安月考）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CD=12，AC=20，BC=15，AE=AC，BF=BC，求EF的长．
【答案】解：∵CD是高
∴∠CDB=∠BDC=90°
在Rt△ADC中，,
在Rt△BDC中，,
∵AE=AC=20，
∴DE=AE-AD=20-16=4，
∵BF=BC=15，
∴DF=BF-BD=15-9=6，
∴EF=DE+DF=4+6=10.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】利用三角形的高的定义，可知∠CDB=∠BDC=90°，再利用勾股定理求出AD，BD的长，利用已知条件求出DE，DF的长，然后根据EF=DE+DF，即可求出EF的长。
15．（2019八下·来宾期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．
求：
（1）△ABC的周长；
（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？
【答案】（1）解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
又AD＝12，BD＝16，CD＝5，
∴AB＝20，AC＝13，
△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD+DC＝20+13+16+5＝54．
（2）解：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，
AB2+AC2≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1） 已知AD、BD、CD，在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别由勾股定理求得AB和AC，BC=BD+DC长度可求，则△ABC的周长可求；
（2）先找出最大边，再求较小两边的平方和，利用勾股定理的逆定理判断即可。
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