初中数学北师大版八年级上学期 第六章 6.4 数据的离散程度
一、单选题
1．（2019·台州）方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x·x1·…xn，可用如下算式计算方差s2= [（x1-5）2+（x2-5）2+.…+（xn-5）2]，其中“5”是这组数据的（ ）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
2．（2019八下·长兴期末）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（ ）
A． B．3 C． D．9
3．（2019八上·温州开学考）甲，乙，丙，丁四名同学在学校演讲选拔赛的成绩平均数 与方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 8.0 8.0 8.5 8.5
方差s2 3.5 15.5 3.5 16.5
根据表中数据，要从中选一名成绩好又发挥稳定的同学参加市演讲比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2019八下·南浔期末）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中抽出10株苗，测出苗高，以下统计量中可以比较出两地长势哪一块更整齐的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
5．（2019八下·天河期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员参加男子跳高选拔赛成绩的平均数x与方差S2：
甲 乙 丙 丁
平均数 （cm） 175 173 175 174
方差S2（cm2） 3.5 3.5 12.5 15
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
6．（2019九上·杭州开学考）已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是 。
7．（2019八下·温州期末）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示．若 和 分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则 ．(填“>”、“<”或“=”)．
8．（2019八下·温岭期末）若八个数据x1，x2，x3，……x8，的平均数为8，方差为1，增加一个数据8后所得的九个数据x1，x2，x3，…x8；8的平均数 8，方差为S2 1．(填“>”、“=”、“<”)
三、综合题
9．（2019八下·中山期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同的条件下各射击10次，射击的成绩如图所示。根据图中信息，解答下列问题：
（1）算出乙射击成绩的平均数；
（2）经计算，甲射击成绩的平均数为8，乙射击成绩的方差为1.2，请你计算出甲射击成绩的方差，并判断谁的射击成绩更加稳定。
10．（2019八下·温岭期末）王达和李力是八(2)班运动素质最好的两位同学，为了选出一名同学参加全校的体育运动大寒，班主任针对学校要测试的五个项目，对两位同学进行相应的测试(成绩：分)，结果如下：
姓名 力量 速度 耐力 柔韧 灵敏
王达 60 75 100 90 75
李力 70 90 80 80 80
根据以上测试结果解答下列问题：
（1）补充完成下表：
姓名 平均成绩(分) 中位数(分) 众数(分) 方差(分2)
王达 80 75 75 190
李力
（2）任选一个角度分析推选哪位同学参加学校的比赛比较合适 并说明理由；
（3）若按力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，推选得分同学参加比赛，请通过计算说明应推选哪位同学去参赛。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：依题可得：
5为这组数据的平均数.
故答案为：B.
【分析】方差公式：S2= [（x1- ）2+（x2- ）2+……+（xn- ）2]，其中 表示平均数，从而可得答案.
2．【答案】A
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：∵方差为3，∴标准差是，
故答案为：A.
【分析】根据标准差是方差的算术平方根解答即可。
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：丙丁平均成绩较高为8.5，
但丙的方差较小，成绩发挥稳定，应选丁.
故答案为：C.
【分析】根据要求，应选平均数较高，但方差较小的同学参加比赛。
4．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】 解：方差可以比较出两地长势哪一块更整齐，方差越小，长势越整齐，方差越大，长势越不整齐。
故答案为：C
【分析】方差的定义是方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。据此定义分析可以判断。
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】∵S甲2=3.5，S乙2=3.5，S丙2=12.5，S丁2=15，
∴S甲2=S乙2＜S丙2＜S丁2，
∵甲=175， 乙=173，
∴甲= 乙，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；
故答案为：A．
【分析】根据平均数可知甲、丙成绩高，从方差看甲的方差小，成绩较稳定，据此判断即可.
6．【答案】2.6
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】解：∵众数是8, 即8出现的次数最多，
∴x=8,
故答案为：2.6.
【分析】先根据众数的定理确定x的值，再由平均数公式求出这组数据的平均数，最后根据方差公式求出这组数据的方差即可.
7．【答案】<
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，甲、乙两块地的苗高皆在12cm上下波动，但乙的波动幅度比甲大，
∴ 则 <
【分析】 方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异，所以从图像看苗高的波动幅度，
可以大致估计甲、乙两块地苗高数据的方差。
8．【答案】=；<
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ 八个数据x1，x2，x3，……x8，的平均数为8，
∴
∴
∵增加一个数8后，九个数据x1，x2，x3，8…x8的平均数为：
；
∵ 八个数据x1，x2，x3，……x8，的方差为1，
∴
∴
∵增加一个数8后，九个数据x1，x2，x3，8…x8的方差为：
；
故答案为：=，＜
【分析】根据 八个数据x1，x2，x3，……x8，的平均数为8，方差为1 ，利用平均数和方差的计算方法，可求出，，再分别求出9个数的平均数和方差，然后比较大小就可得出结果。
9．【答案】（1）解：
（2）解： ，
∵ ；
∴乙的射击成绩更稳定.
故答案为：(1)8；(2)乙.
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式得到答案即可。
（2）根据方差的计算公式计算得到方差，根据方差的性质计算得到答案即可。
10．【答案】（1） 解：李力的平均成绩为：；
将5个数排序70，80，80，80，90，
最中间的数是80，
∴李力的测试成绩的中位数为80；
∵80出现了3次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是80；
李力测试成绩的方差为：
填表如下
姓名 平均成绩(分) 中位数(分) 众数(分) 方差(分2)
王达 80 75 75 190
李力 80 80 80 40
（2） 解：根据表中数据可知，两人的平均成绩相同，从中位数和众数看，李力的成绩比王达的成绩好，从方差看，李力测试成绩的方差比王达次数成绩的方差小，可知李力的成绩比王达的成绩稳定，因此应该推选李力参加比赛。
（3）解： ∵ 按力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，
∴王达的成绩为：60×1+75×2+100×3+90×3+75×1=855；
李力的成绩为：70×1+90×2+80×3+80×3+80×1=910；
910＞855
∴选李力去参加比赛.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）利用平均数的计算方法求出李力测试成绩的平均数，再求出中位数和众数，然后利用方差公式求出李力测试成绩的方差，填表即可。
（2）可以根据表中数据，从两人的平均数，中位数，众数，方差进行分析，可得出结果。
（3）根据已知力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，分别算出两人的综合分数，再比较大小即可得出去参加比赛的选手。
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一、单选题
1．（2019·台州）方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x·x1·…xn，可用如下算式计算方差s2= [（x1-5）2+（x2-5）2+.…+（xn-5）2]，其中“5”是这组数据的（ ）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：依题可得：
5为这组数据的平均数.
故答案为：B.
【分析】方差公式：S2= [（x1- ）2+（x2- ）2+……+（xn- ）2]，其中 表示平均数，从而可得答案.
2．（2019八下·长兴期末）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】A
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：∵方差为3，∴标准差是，
故答案为：A.
【分析】根据标准差是方差的算术平方根解答即可。
3．（2019八上·温州开学考）甲，乙，丙，丁四名同学在学校演讲选拔赛的成绩平均数 与方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 8.0 8.0 8.5 8.5
方差s2 3.5 15.5 3.5 16.5
根据表中数据，要从中选一名成绩好又发挥稳定的同学参加市演讲比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：丙丁平均成绩较高为8.5，
但丙的方差较小，成绩发挥稳定，应选丁.
故答案为：C.
【分析】根据要求，应选平均数较高，但方差较小的同学参加比赛。
4．（2019八下·南浔期末）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中抽出10株苗，测出苗高，以下统计量中可以比较出两地长势哪一块更整齐的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】 解：方差可以比较出两地长势哪一块更整齐，方差越小，长势越整齐，方差越大，长势越不整齐。
故答案为：C
【分析】方差的定义是方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。据此定义分析可以判断。
5．（2019八下·天河期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员参加男子跳高选拔赛成绩的平均数x与方差S2：
甲 乙 丙 丁
平均数 （cm） 175 173 175 174
方差S2（cm2） 3.5 3.5 12.5 15
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】∵S甲2=3.5，S乙2=3.5，S丙2=12.5，S丁2=15，
∴S甲2=S乙2＜S丙2＜S丁2，
∵甲=175， 乙=173，
∴甲= 乙，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；
故答案为：A．
【分析】根据平均数可知甲、丙成绩高，从方差看甲的方差小，成绩较稳定，据此判断即可.
二、填空题
6．（2019九上·杭州开学考）已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是 。
【答案】2.6
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】解：∵众数是8, 即8出现的次数最多，
∴x=8,
故答案为：2.6.
【分析】先根据众数的定理确定x的值，再由平均数公式求出这组数据的平均数，最后根据方差公式求出这组数据的方差即可.
7．（2019八下·温州期末）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示．若 和 分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则 ．(填“>”、“<”或“=”)．
【答案】<
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，甲、乙两块地的苗高皆在12cm上下波动，但乙的波动幅度比甲大，
∴ 则 <
【分析】 方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异，所以从图像看苗高的波动幅度，
可以大致估计甲、乙两块地苗高数据的方差。
8．（2019八下·温岭期末）若八个数据x1，x2，x3，……x8，的平均数为8，方差为1，增加一个数据8后所得的九个数据x1，x2，x3，…x8；8的平均数 8，方差为S2 1．(填“>”、“=”、“<”)
【答案】=；<
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ 八个数据x1，x2，x3，……x8，的平均数为8，
∴
∴
∵增加一个数8后，九个数据x1，x2，x3，8…x8的平均数为：
；
∵ 八个数据x1，x2，x3，……x8，的方差为1，
∴
∴
∵增加一个数8后，九个数据x1，x2，x3，8…x8的方差为：
；
故答案为：=，＜
【分析】根据 八个数据x1，x2，x3，……x8，的平均数为8，方差为1 ，利用平均数和方差的计算方法，可求出，，再分别求出9个数的平均数和方差，然后比较大小就可得出结果。
三、综合题
9．（2019八下·中山期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同的条件下各射击10次，射击的成绩如图所示。根据图中信息，解答下列问题：
（1）算出乙射击成绩的平均数；
（2）经计算，甲射击成绩的平均数为8，乙射击成绩的方差为1.2，请你计算出甲射击成绩的方差，并判断谁的射击成绩更加稳定。
【答案】（1）解：
（2）解： ，
∵ ；
∴乙的射击成绩更稳定.
故答案为：(1)8；(2)乙.
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式得到答案即可。
（2）根据方差的计算公式计算得到方差，根据方差的性质计算得到答案即可。
10．（2019八下·温岭期末）王达和李力是八(2)班运动素质最好的两位同学，为了选出一名同学参加全校的体育运动大寒，班主任针对学校要测试的五个项目，对两位同学进行相应的测试(成绩：分)，结果如下：
姓名 力量 速度 耐力 柔韧 灵敏
王达 60 75 100 90 75
李力 70 90 80 80 80
根据以上测试结果解答下列问题：
（1）补充完成下表：
姓名 平均成绩(分) 中位数(分) 众数(分) 方差(分2)
王达 80 75 75 190
李力
（2）任选一个角度分析推选哪位同学参加学校的比赛比较合适 并说明理由；
（3）若按力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，推选得分同学参加比赛，请通过计算说明应推选哪位同学去参赛。
【答案】（1） 解：李力的平均成绩为：；
将5个数排序70，80，80，80，90，
最中间的数是80，
∴李力的测试成绩的中位数为80；
∵80出现了3次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是80；
李力测试成绩的方差为：
填表如下
姓名 平均成绩(分) 中位数(分) 众数(分) 方差(分2)
王达 80 75 75 190
李力 80 80 80 40
（2） 解：根据表中数据可知，两人的平均成绩相同，从中位数和众数看，李力的成绩比王达的成绩好，从方差看，李力测试成绩的方差比王达次数成绩的方差小，可知李力的成绩比王达的成绩稳定，因此应该推选李力参加比赛。
（3）解： ∵ 按力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，
∴王达的成绩为：60×1+75×2+100×3+90×3+75×1=855；
李力的成绩为：70×1+90×2+80×3+80×3+80×1=910；
910＞855
∴选李力去参加比赛.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）利用平均数的计算方法求出李力测试成绩的平均数，再求出中位数和众数，然后利用方差公式求出李力测试成绩的方差，填表即可。
（2）可以根据表中数据，从两人的平均数，中位数，众数，方差进行分析，可得出结果。
（3）根据已知力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，分别算出两人的综合分数，再比较大小即可得出去参加比赛的选手。
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