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初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.8 三元一次方程组
一、单选题
1．（2019·宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
2．（2019七下·官渡期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是( )
A．84cm B．85cm C．86cm D．87cm
3．有5个数，其中任两个数的和分别为：4，5，7，7，8，9，10，10，11，13．则将这5个数从小到大排列后，中间的一个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知 =1， =2， =3，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
5．已知 是方程组 的解，则a+b+c的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
二、填空题
6．（2019八上·武汉月考）已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，设m＝3a+b﹣7c，设s为m的最大值，则s的值为 .
7．（2019七下·海安月考）已知 ，则x＋y＋z＝ .
8．（2019七下·长兴期中）
小红到超市购买钢笔、笔记本、圆珠笔发现：若购买3支钢笔、7个笔记本、1支圆珠笔共需315元；若购买4支钢笔、10个笔记本、1支圆珠笔，共需420元钱．现若只购买2支钢笔、6个笔记本，共需 元钱．
三、计算题
9．（2019七下·马龙月考）解方程组
四、综合题
10．（2019七下·秀洲月考）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）
若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）
为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，由题意，
得 ，
将两方程相减得y-x=7，
∴y=x+7,
将y=x+7代入5x+3y=a-10
得8x=a-31，
∴若只买8支玫瑰花，则她所带的钱还剩31元。
故答案为：A
【分析】设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，根据若买5支玫瑰花和3支百合花所带的钱还剩10元，若买3支玫瑰花和5支百合花所带的钱还差4元，列出方程组，根据等式的性质，将两个等式相减即可得出y-x=7,即y=x+7,将y=x+7代入其中的一个方程，即可得出8x=a-31.从而得出答案。
2．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设长方形的长为a, 宽为b, 高为h,
由图①得：h-b+a=90,
由图②得：h+b-a=80,
所以：h-b+a+h+b-a=90+80,
2h=170,
h=85cm,
故答案为：B.
【分析】设长方形的长为a, 宽为b, 高为h, 根据如图的两种情况列式，将两式相加即可得出h的长。
3．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设这5个数是a、b、c、d、e，
依题意，有： ，解得 ，
又由a+d＝7，即d＝6，d+e＝13，即e＝7
可得：这5个数为1，3，4，6，7，
因此中间的一个数是4．故答案为：B．
【分析】根据这5个数中任意两个的和分别是 4，5，7，7，8，9，10，10，11，13 ，设这5个数是a、b、c、d、e，根据题意则有a+b=4,a+c=5,b+c=7,求得a=1,b=3,c=4，又由a+d＝7，d+e＝13，即可求出d,e然后将这5个数从小到大排列后即可得出最中间位置的数。
4．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：已知 =1， =2， =3，则： =1，即 =1；（1）
，即 ；（2）
，即 ．（3）
（ 2 ）﹣（3）得到： （4）
（ 1 ）﹣（4）得到： = 解得：x= ．
故答案为：B．
【分析】根据等式的性质，分别求出各式的倒数，然后利用乘法分配律即可得出方程 =1；（1）， ；（2） ．（3），再用加减消元法，用（ 2 ）﹣（3）得出（4）方程，再（ 1 ）﹣（4）即可消去未知数求出x的值。
5．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将 代入方程得
，
①+②+③得4(a+b+c)=12，
∴a+b+c=3，
故答案为：A.
【分析】将x、y、z的值代入方程组中，再观察方程组中各未知数的系数特点：相同字母的系数之和都为4，因此由（①+②+③）÷4，就可求得a+b+c的值。
6．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，
解得a＝7c﹣3，b＝7﹣11c，
∵a≥0、b≥0，
∴7c﹣3≥0，7﹣11c≥0，
∴ ≤c≤ .
∵m＝3a+b﹣7c＝3（7c﹣3）+（7﹣11c）﹣7c＝3c﹣2，
∴m的最大值为s＝3× ﹣2＝﹣ .
故答案为﹣ .
【分析】将c作为常数，解3a+2b+c＝5与2a+b﹣3c＝1，组成的方程组，即可用含c的式子表示出a,b的值，根据a,b都是非负数，列出关于c的不等式组，求解得出c的取值范围，然后将a,b的值代入 m＝3a+b﹣7c， 即可用含c的式子表示出m的值，从而根据c的取值范围即可求出答案.
7．【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：三个式子相加得2（x＋y＋z）=6,
∴x＋y＋z=3
【分析】观察方程组中同一未知数系数的特点：三个方程都是二元一次方程，且x、y、z的系数都是1，因此将三个方程相加除以2，即可求出x+y+z的值。
8．【答案】210
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每支钢笔x元，每个笔记本y元，每支圆珠笔z元，根据题意得：
由②－①得：x+3y=105③
由③×2得
2x+6y=210
∴ 现若只购买2支钢笔、6个笔记本，共需210元。
故答案为：210
【分析】抓住题中关键的已知条件： 若购买3支钢笔、7个笔记本、1支圆珠笔共需315元；若购买4支钢笔、10个笔记本、1支圆珠笔，共需420元钱，设未知数建立关于x、y、z的方程组，利用加减消元法消去z，就可得到x+3y=105，然后将方程的两边同时乘以2，就可解答问题。
9．【答案】解：
①+②得：3x+3y=15④，
③-②得：x+3y=9⑤，
④-⑤得2x=6，解得x=3，
将x=3代入④得：y=2，
将x=3，y=2代入①得：z=1，
∴方程组的解为： .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：可知z的系数最简单（相等或互为相反数），因此由①+②和③-②消去z，建立关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，再将x、y的值代入方程1，可求出z的值，即可得出方程组的解。
10．【答案】（1） 解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得： 解得
答：需甲车型8辆，需车型10辆；
（2） 解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
消去z得5x+2y=40，x= ，
因x，y是非负整数，且不大于16，得y=0，5，10，15，
由z是非负整数，解得 ， ， ，
有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）解：三种方案的运费分别是：
①400×8+600×8=8000；
②400×6+500×5+600×5=7900；
③400×4+500×10+600×2=7800．
答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】解：（1）等量关系为：甲车的数量×每一辆甲车的运载量+乙车的数量×每一辆乙车的运载量=120；甲车的数量×每一辆甲车的运费+乙车的数量×每一辆乙车的运费=8200；设未知数，列方程组求解即可。
（2）根据甲乙丙三种车的数量之和为16辆及三种车一共运120吨，设未知数，建立三元一次方程组，消元转化为 x= ，再根据 x，y是非负整数，且不大于16，可得到y=0，5，10，15， 然后分别求出对应的x、z的值，即可得到运送方案。
（3）分别求出三种方案的费用，再比较大小即可求解。
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初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.8 三元一次方程组
一、单选题
1．（2019·宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，由题意，
得 ，
将两方程相减得y-x=7，
∴y=x+7,
将y=x+7代入5x+3y=a-10
得8x=a-31，
∴若只买8支玫瑰花，则她所带的钱还剩31元。
故答案为：A
【分析】设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，根据若买5支玫瑰花和3支百合花所带的钱还剩10元，若买3支玫瑰花和5支百合花所带的钱还差4元，列出方程组，根据等式的性质，将两个等式相减即可得出y-x=7,即y=x+7,将y=x+7代入其中的一个方程，即可得出8x=a-31.从而得出答案。
2．（2019七下·官渡期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是( )
A．84cm B．85cm C．86cm D．87cm
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设长方形的长为a, 宽为b, 高为h,
由图①得：h-b+a=90,
由图②得：h+b-a=80,
所以：h-b+a+h+b-a=90+80,
2h=170,
h=85cm,
故答案为：B.
【分析】设长方形的长为a, 宽为b, 高为h, 根据如图的两种情况列式，将两式相加即可得出h的长。
3．有5个数，其中任两个数的和分别为：4，5，7，7，8，9，10，10，11，13．则将这5个数从小到大排列后，中间的一个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设这5个数是a、b、c、d、e，
依题意，有： ，解得 ，
又由a+d＝7，即d＝6，d+e＝13，即e＝7
可得：这5个数为1，3，4，6，7，
因此中间的一个数是4．故答案为：B．
【分析】根据这5个数中任意两个的和分别是 4，5，7，7，8，9，10，10，11，13 ，设这5个数是a、b、c、d、e，根据题意则有a+b=4,a+c=5,b+c=7,求得a=1,b=3,c=4，又由a+d＝7，d+e＝13，即可求出d,e然后将这5个数从小到大排列后即可得出最中间位置的数。
4．已知 =1， =2， =3，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：已知 =1， =2， =3，则： =1，即 =1；（1）
，即 ；（2）
，即 ．（3）
（ 2 ）﹣（3）得到： （4）
（ 1 ）﹣（4）得到： = 解得：x= ．
故答案为：B．
【分析】根据等式的性质，分别求出各式的倒数，然后利用乘法分配律即可得出方程 =1；（1）， ；（2） ．（3），再用加减消元法，用（ 2 ）﹣（3）得出（4）方程，再（ 1 ）﹣（4）即可消去未知数求出x的值。
5．已知 是方程组 的解，则a+b+c的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将 代入方程得
，
①+②+③得4(a+b+c)=12，
∴a+b+c=3，
故答案为：A.
【分析】将x、y、z的值代入方程组中，再观察方程组中各未知数的系数特点：相同字母的系数之和都为4，因此由（①+②+③）÷4，就可求得a+b+c的值。
二、填空题
6．（2019八上·武汉月考）已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，设m＝3a+b﹣7c，设s为m的最大值，则s的值为 .
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，
解得a＝7c﹣3，b＝7﹣11c，
∵a≥0、b≥0，
∴7c﹣3≥0，7﹣11c≥0，
∴ ≤c≤ .
∵m＝3a+b﹣7c＝3（7c﹣3）+（7﹣11c）﹣7c＝3c﹣2，
∴m的最大值为s＝3× ﹣2＝﹣ .
故答案为﹣ .
【分析】将c作为常数，解3a+2b+c＝5与2a+b﹣3c＝1，组成的方程组，即可用含c的式子表示出a,b的值，根据a,b都是非负数，列出关于c的不等式组，求解得出c的取值范围，然后将a,b的值代入 m＝3a+b﹣7c， 即可用含c的式子表示出m的值，从而根据c的取值范围即可求出答案.
7．（2019七下·海安月考）已知 ，则x＋y＋z＝ .
【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：三个式子相加得2（x＋y＋z）=6,
∴x＋y＋z=3
【分析】观察方程组中同一未知数系数的特点：三个方程都是二元一次方程，且x、y、z的系数都是1，因此将三个方程相加除以2，即可求出x+y+z的值。
8．（2019七下·长兴期中）
小红到超市购买钢笔、笔记本、圆珠笔发现：若购买3支钢笔、7个笔记本、1支圆珠笔共需315元；若购买4支钢笔、10个笔记本、1支圆珠笔，共需420元钱．现若只购买2支钢笔、6个笔记本，共需 元钱．
【答案】210
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每支钢笔x元，每个笔记本y元，每支圆珠笔z元，根据题意得：
由②－①得：x+3y=105③
由③×2得
2x+6y=210
∴ 现若只购买2支钢笔、6个笔记本，共需210元。
故答案为：210
【分析】抓住题中关键的已知条件： 若购买3支钢笔、7个笔记本、1支圆珠笔共需315元；若购买4支钢笔、10个笔记本、1支圆珠笔，共需420元钱，设未知数建立关于x、y、z的方程组，利用加减消元法消去z，就可得到x+3y=105，然后将方程的两边同时乘以2，就可解答问题。
三、计算题
9．（2019七下·马龙月考）解方程组
【答案】解：
①+②得：3x+3y=15④，
③-②得：x+3y=9⑤，
④-⑤得2x=6，解得x=3，
将x=3代入④得：y=2，
将x=3，y=2代入①得：z=1，
∴方程组的解为： .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：可知z的系数最简单（相等或互为相反数），因此由①+②和③-②消去z，建立关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，再将x、y的值代入方程1，可求出z的值，即可得出方程组的解。
四、综合题
10．（2019七下·秀洲月考）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）
若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）
为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元．
【答案】（1） 解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得： 解得
答：需甲车型8辆，需车型10辆；
（2） 解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
消去z得5x+2y=40，x= ，
因x，y是非负整数，且不大于16，得y=0，5，10，15，
由z是非负整数，解得 ， ， ，
有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）解：三种方案的运费分别是：
①400×8+600×8=8000；
②400×6+500×5+600×5=7900；
③400×4+500×10+600×2=7800．
答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】解：（1）等量关系为：甲车的数量×每一辆甲车的运载量+乙车的数量×每一辆乙车的运载量=120；甲车的数量×每一辆甲车的运费+乙车的数量×每一辆乙车的运费=8200；设未知数，列方程组求解即可。
（2）根据甲乙丙三种车的数量之和为16辆及三种车一共运120吨，设未知数，建立三元一次方程组，消元转化为 x= ，再根据 x，y是非负整数，且不大于16，可得到y=0，5，10，15， 然后分别求出对应的x、z的值，即可得到运送方案。
（3）分别求出三种方案的费用，再比较大小即可求解。
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