2.2 基本不等式（第一课时） 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.2.1 基本不等式
高中数学/人教A版/必修一
知识篇
素养篇
思维篇
2.2.1 基本不等式
在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类重要不等式： a2+b2≥2ab ①
不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立.
a2+b2≥2ab (a、b ∈R，当a=b时取等号) ①
a×a+b×b
a×b+b×a
≥
二次式
二次式
自乘的和
互乘的和
不小于
如果把两个数相乘看成一次合作“圈地”(如图)，那么公式 ①折射出生活的哲理：
自立自强比互相合作更重要！
重要不等式
1
a
a
b
b
特别地：
a2+b2≥2ab (a、b ∈R，当a=b时取等号) ①
重要不等式
1
当b=1时，有a2+1≥2a(a∈R) （降次功能）
当b=时，有a2+≥2(a≠0) （消元功能）
1.求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca (a、b、c ∈R)
练一练
提示：a2+b2≥2ab
b2+c2≥2bc
c2+a2≥2ca
基本不等式
2
如果a>0, b>0, 我们用，分别代替a,b,可得
≤ (当a=b时取等号) ②
其中，叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
通常称公式②为基本不等式.
基本不等式
2
≤ (a>0, b>0) 的证明：
∵ - = = ≥0
∴ (当a=b时取等号)
基本不等式
2
≤ (a>0, b>0) 的几何解释：
D
A
B
C
E
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,
则CD= , 半径为 .
思考：图中什么时候 = ？
基本不等式的简单变形
3
≥ (a>0, b>0)
≤()2 (a>0, b>0)
≤ (a>0, b>0)
和
积
基本不等式的功能：和积转化
练一练
2.设a>0，b>0，证明下列不等式：
(1) (a+)(b+)≥4
(2) (a+b)(+)≥4
3.已知x>0，求 x + 的最小值.
基本不等式的前提条件
4
在问题“已知x>0，求 x + 的最小值”的解决过程中不难发现：最小值是一个常数2，并且只能在x=1时取到. 换一句话说：如果x<0,或x>2等等，x + 的最小值就不是2或者不存在.
由此我们归纳，依a+b≥2 求两个数和或积的最值，
必须要满足条件：(1) ；
(2) ；
(3) .
练一练
4.试判断x(2-x)(0解答： x(2-x)≤()2=1 , 只有x=1时才取等号
知识篇
素养篇
思维篇
2.2.1 基本不等式
1.已知x，y都是正数，求证：
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２；
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数学建模
问
题
分
析
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当一侧为定值时，即为另一侧的一最值；当然，要满足取等的条件.
2.已知a，b都是正数，求证：
(１) ≤； (２)≤．
方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数学运算
问
题
分
析
提示：(1) ≥2
(2) )2=≤.
不等式证明过程中，可以先局部使用基本不等式放缩，再整体观察化归； 也可以先两边平方或开方，再用基本不等式.
3.某企业要建造一个容积为18cm3,深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得总造价最低？最低总造价为多少？
方
法
总结
核心素养 之 数学抽象 + 数学建模
问
题
分
析
设贮水池池底长和宽分别为xm,ym，水池总造价为z元，则由容积为18m3, 可得2xy=18, 因此xy=9,
z=200×9+150(2×2x+2×2y)=1800+600(x+y)
≥1800+600×2=5400 当x=y=3时，等号成立.
目标函数中出现两个正变量的和，则依据基本不等式可得其最小值，最后要确认取等条件成立.
知识篇
素养篇
思维篇
2.2.1 基本不等式
1.已知a，b，c都是正数，求证：
(１) (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc；
(２) (a+b+c)(++)≥9．
方
法
总结
数学思想 之 转化与化归
问
题
分
析
(１) 提示: (a+b)≥2； (b+c)≥2； (c+a)≥2
(２) (a+b+c)(++)=++
=3+()+()+()≥3+2+2+2=9．
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当一侧为定值时，即为另一侧的一个最值；当然，先要满足取等条件.
2. (1) 已知x>0，则y=的最小值为 ；
(2) 已知x>1，则y=x+的最小值为 ；
(3) 已知0方
法
总结
数学思想 之 转化与化归
问
题
解
析
(1) y=3+(x+) ≥3+4=7 (2)y=(x-1)+ +1 ≥3
(3) y=x(3-2x) =≤=
(1)变形后局部可用基本不等式；
(2)与 (3)根据和或积的结构特征，可先配凑，再用基本不等式.
3.已知a>0，b>0，若不等式+≥恒成立，求m的
最大值.
方
法
总结
数学思想 之 极端思想 + 转化与化归
问
题
分
析
由+≥恒成立得m≤()(a+4b)恒成立；
而()(a+4b)=8+(+)≥8+8=16(当a=4b时取等号)
所以, m的最大值为16.
先将恒成立问题转化为求最值问题，再根据目标式的结构特点，局部使用基本不等式求得最值.
4.已知a+b=2，b>0，求+的最小值.
方
法
总结
数学思想 之 分类讨论 + 逆向思维
问
题
分
析
1)当02)当a<02时, ==+()≥-+1=；
所以, m的最小值为.
1.目标式含有绝对值的，要分类讨论； 2. 根据结构的需要，对常数1可以作逆向代换，以迎合基本不等式一侧积为常数的需要.
课堂小结
一、本节课学习的新知识
重要不等式
基本不等式
二、本节课提升的核心素养
逻辑推理
数据分析
课堂小结
数学运算
数学建模
数学抽象
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
课堂小结
配凑思想
极端思想
01
基础作业： .
02
能力作业： .
03
拓展延伸：（选做）
作业