2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
高中数学/人教A版/必修一
知识篇
素养篇
思维篇
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
设这个矩形的一条边长为xm，则相邻一边长为(12-x)m．
由题意，得(12-x)x＞20(0＜x＜12)．整理得:
现实中的一元二次问题
园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．
若栅栏的总长是24m，围成的矩形区域的面积要
大于20m２，则这个矩形的长和宽各为多少米？
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.
x2－12x＋20＜0 (0＜x＜12) ①
思考 ：①式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式， 称为一元二次不等式.
一元二次不等式的一般表达式为：
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 ，
其中a，b，c均为常数，a≠0.
思考 ：如何求解一元二次不等式？
一元二次不等式
1
回顾：三个一次之间的关系
一次函数 y=x-12
图像为一条直线l
一元一次方程 x-12=0 方程的根是直线l与
x轴交点P的横坐标:
x=12
一元一次 不等式 x-12>0 对应图像为x轴上方部分;解集为:
｛x｜x>12｝
x-12<0 对应图像为x轴下方部分;解集为:
｛x｜x<12｝
三个二次之间的关系
二次函数 y=x2-12x+20
图像为一条抛物线
一元二次方程 x2-12x+20=0 方程的根是抛物线与
x轴交点的横坐标：
x1=2, x2=10
一元二次 不等式 x2-12x+20>0 解集为:
｛x｜x<2,或 x>10｝
x2-12x+20<0 解集为:
｛x｜2< x<10｝
2
无实根
的图象
有两个不等
实根
有两个相等实根
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
x
x
x
y
y
y
O
O
O
例1. 求不等式x2+5x+6 > 0 的解集 .
解：因为判别式△=52-4×1×6>0,
方程x2+5x+6 =0有两根x1=2，x2=3
所以,原不等式的解集为
{x｜x<2 ,或 x>3}
解一元二次不等式举例
3
方法总结：先确认已是一般形式，二次系数大于0，再由判
别式判断相应方程根的存在情况，最后根据图形写出解集.
例2. 求不等式9x2-6x+1 > 0 的解集 .
解：因为判别式△=36-4×9×1=0,
方程9x2-6x+1 =0有两相等实根
x1=x2=，所以,原不等式的解
集是｛x｜x≠｝
解一元二次不等式举例
3
方法总结：判别式为零，还要结合函数图像以及不等号的方向，再写出解集.
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为 .
解一元二次不等式举例
3
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
(1)2x2-3x>2;
(2)x2-4x+4≤0;
(3)-x2-3x+4<0.
求下列不等式的解集：
答案：(1){x｜x<-，或 x>} (2){x｜x =2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
1)(x-x1)(x-x2)>0(x12)(x-a)20)解集为 .
特别的，若一元二次不等式形式如下，则可直接写相
应解集：
{x｜xx2}
{x｜a-练一练
(1)(2－x)(x＋3)＞0 ;
(2)(x+1)2≥4.
求下列不等式的解集：
答案：(1){x｜-3知识篇
素养篇
思维篇
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
方
法
总结
核心素养 之 数据 分析 + 逻辑推理
1. （1）设集合M={x｜x2-3x-4<0}，
N={x｜0≤x≤5},则MN= ；
（2）不等式a(x-1)(x-3)<0(a<0)的解集为
.
问
题
（1）M={x｜-1MN={x｜0≤x<4}
（2）因为a<0，所以(x-1)(x-3)>0 ，所求解集为{x｜0≤x<4}
解一元二次不等式时，首先要检查不等号一侧是否清零，否则要移项清零；其次要看二次项系数是否为正；含参数的还要看二次项系数是否会等于0.
解
答
核心素养 之 数学运算 + 逻辑推理
令t=, 则有t2-3t+2≤0 ，解得1≤t≤2
从而1≤≤2 ，所以原不等式的解集为：
{x｜-2≤x≤-1,或1≤x≤2}
方
法总结
问
题
解
答
有些不等式的变量本身是复合结构，则可以通过换元简化不等式，先求出复合变量的范围，再求原变量的范围.
2. 求不等式:x2-3+2≤0 的解集.
核心素养 之 数学运算 + 逻辑推理
1)若a=2,则4x-1≥0,解集非空，不符合;
2)若a=-2,则-1≥0,矛盾！
3)当a2≠4时,要使得解集为空，必需
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
解得：-2≤a<
方
法总结
问
题
解
答
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，故需要分类讨论.
3. 已知关于x的不等式:(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0 的解
集是空集，求实数a的取值范围.
知识篇
素养篇
思维篇
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
方
法总结
数学思想 之 转化与化归 + 数形结合
问
题
因为x2+mx-n<0的解集为{x｜4从而由不等式nx2+mx-1<0 得 20x2+9x+1>0 , 其解集为
{x｜x< ，或 x> }
三个二次的信息可以相互转化，本题借助于方程根与系数的关系，确定目标不等式的系数.
解
答
1. 不等式x2+mx-n<0的解集为{x｜4于x的不等式nx2+mx-1<0的解集.
数学思想 之 分类讨论 + 方程思想
△=a2-4；
1)当△>0，即a<-2,或a>2时，方程x2-ax+1=0有两相异实
根，…
2)当△=0，即a=-2,或a=2时，方程x2-ax+1=0有两等实
根，…
3)当△<0，即-2方
法总结
问
题
提
示
系数含参数导致判别式正负不定时，要分类讨论，结合函数图像作出判断.
2. 解关于x的不等式:x2-ax+1>0 (a∈R).
数学思想 之 分类讨论 + 方程思想
原不等式可化为(ax+1)(x-1)<0
1)当a=0时，x<1;
2)当a>0时，-3)当a=-1时，x≠1;
4)当-1-
5)当a<-1时，x>1,或x<-
方
法总结
问
题
答
案
先进行因式分解，考虑是否为一元二次不等式，当此不等式为一元二次不等式时还需分类比较相应方程的两根大小.
3. 解关于x的不等式:ax2-(a-1)x-1<0 (a∈R)
课堂小结
一、本节课学习的新知识
一元二次不等式的概念
三个二次之间的关系
一元二次不等式的解法
二、本节课提升的核心素养
逻辑推理
数据分析
课堂小结
数学运算
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
转化与化归
方程思想
课堂小结
分类讨论
01
基础作业： .
02
能力作业： .
03
拓展延伸：（选做）
作业