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冀教版数学七年级下册6.4 简单的三元一次方程组
一、单选题
1．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．则被移动石头的重量为（ ）
A．5克 B．10克 C．15克 D．20克
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设左天平的一袋石头重x克,右天平的一袋石头重y克,被移动的石头重z克,由题意,得:
,
解得: .
答:被移动石头的重量为5克.
故答案为：A.
【分析】设左天平的一袋石头重x克,右天平的一袋石头重y克,被移动的石头重z克，即可得到三元一次方程组，解出z的值即可得到答案。
3．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时订这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么订房方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设订二人间x间，三人间y间，四人间z间根据题意得：
，
由(2)×4-(1)得：y+2x=8．
∵x，y，z都是正整数，（1）当x=1时，y=6，z=1；（2）当x=2时，y=4，z=2；（3）当x=3时，y=2，z=3；（4）当x=4时，y=0，z=4（不符合题意，舍去）．
∴订房方案有3种．
故答案为：B.
【分析】设订二人间x间，三人间y间，四人间z间即可得到三元一次方程组，分别根据x的值解出答案即可。
4．已知三元一次方程组 ，则x+y+z=（ ）
A．20 B．30 C．35 D．70
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：2（x+y+z）=70，
则x+y+z=35．
故答案为：C．
【分析】将方程组的三个式子求和，即可得到（x+y+z）的两倍的值，得到（x+y+z）的值即可。
5．解方程组 得x等于（ ）
A．18 B．11 C．10 D．9
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：
3x+3y+3z=90.
∴x+y+z=90 ④
②-①得：
y+z-2x=0 ⑤
④-⑤得：
3x=30
∴x=10
故答案选：C.
【分析】解三元一次方程组时，利用加减消元法消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再解出x的值即可。
6．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解。那么在解三元一次方程组 时，下列没有实现这一转化的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：解三元一次方程组的基本想法是：先消去一个未知数，将解三元一次方程组转化为二元一次方程组.但 中含有三个未知数，不是二元一次方程组，
故答案为：A.
【分析】根据题意可知解三元一次方程组的步骤，消去一个未知数，转化为二元一次方程组，进行判断即可。
7．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②得：5x-z=14，④
①+③得：4x+3z=15⑤，
④×3+⑤得：19x=57，
解得：x=3，
把x=3代入④得：z=1，
把x=3，z=1代入③得：y=8，
则原方程组的解是： ．
故答案为：D.
【分析】解三元一次方程组时，利用加减消元法消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再解出方程组的解即可。
8．将三元一次方程组 ，经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
①-③得：4x+3y=2，
③×4+②得：7x+5y=3，
则三元一次方程组
经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是 ；
故答案为：A．
【分析】根据题意，结合题目中消元的步骤，得到二元一次方程组即可。
9．（2019七下·番禺期末）方程组 消去字母c后，得到的方程一定不是（ ）
A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．4a+b＝10 D．7a+b＝19
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
②﹣①得：3a+3b＝3，即a+b＝1，
③﹣①得：24a+6b＝60，即4a+b＝10，
③﹣②得：21a+3b＝57，即7a+b＝19，
故答案为：B．
【分析】利用等式的性质②﹣①得a+b＝1，③﹣①得4a+b＝10，③﹣②7a+b＝19，据此逐一判断即可.
10．（2019七下·朝阳期末）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．50元 B．100元 C．150元 D．200元
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元.
根据题意，得
两方程相加，得
4x+4y+4z=600，
x+y+z=150.
则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元.
故答案为：C.
【分析】此题的关键已知条件为：购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，设未知数，建立三元一次方程组，将两方程相加再除以4就可求出结果。
11．已知 =1， =2， =3，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：已知 =1， =2， =3，则： =1，即 =1；（1）
，即 ；（2）
，即 ．（3）
（ 2 ）﹣（3）得到： （4）
（ 1 ）﹣（4）得到： = 解得：x= ．
故答案为：B．
【分析】根据等式的性质，分别求出各式的倒数，然后利用乘法分配律即可得出方程 =1；（1）， ；（2） ．（3），再用加减消元法，用（ 2 ）﹣（3）得出（4）方程，再（ 1 ）﹣（4）即可消去未知数求出x的值。
二、填空题
12．（2020七下·廊坊期中）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲2件、乙3件、丙4件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱．
【答案】120
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，由题意得
把这两个方程相加，得5x+5y+5z=600
即5(x+y+z)=600
∴x+y+z=120
∴购甲、乙、丙三种商品各一件共需120元．
故答案为120．
【分析】设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，建立方程组，整体求解即可．
13．（2020七下·奉化期中）已知 ，则 .
【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
方程②×2，得4x+10y+8z=30 ③，
方程③-①，得3x+3y-3z=21 ④，
方程④÷3，得，x+y-z=7.
故答案为：7.
【分析】将方程②×2-①，得3x+3y-3z=21，方程两边同时除以3即可求解.
三、计算题
14．（2019七下·东莞期末）解方程组：
【答案】解：
①+③×4，得
17a﹣2b＝40④，
②+④，得
20a＝41，
解得，a＝ ，
将a＝ 代入②，得
b＝ ，
将a＝ 代入③，得
c＝ ，
故原方程组的解是 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答此方程组．
15．（2019七下·马龙月考）解方程组
【答案】解：
①+②得：3x+3y=15④，
③-②得：x+3y=9⑤，
④-⑤得2x=6，解得x=3，
将x=3代入④得：y=2，
将x=3，y=2代入①得：z=1，
∴方程组的解为： .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：可知z的系数最简单（相等或互为相反数），因此由①+②和③-②消去z，建立关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，再将x、y的值代入方程1，可求出z的值，即可得出方程组的解。
16．（2019七下·武昌期中）解方程组 .
【答案】解： ，
①+②得：5x﹣y＝7④；
②×2+③得：8x+5y＝﹣2⑤，
④×5+⑤得：33x＝33，即x＝1，
把x＝1代入④得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入①得：z＝﹣4，
则方程组的解为 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.
四、解答题
17．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
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冀教版数学七年级下册6.4 简单的三元一次方程组
一、单选题
1．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．则被移动石头的重量为（ ）
A．5克 B．10克 C．15克 D．20克
3．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时订这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么订房方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
4．已知三元一次方程组 ，则x+y+z=（ ）
A．20 B．30 C．35 D．70
5．解方程组 得x等于（ ）
A．18 B．11 C．10 D．9
6．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解。那么在解三元一次方程组 时，下列没有实现这一转化的是（ ）
A． B．
C． D．
7．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
8．将三元一次方程组 ，经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019七下·番禺期末）方程组 消去字母c后，得到的方程一定不是（ ）
A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．4a+b＝10 D．7a+b＝19
10．（2019七下·朝阳期末）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．50元 B．100元 C．150元 D．200元
11．已知 =1， =2， =3，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
二、填空题
12．（2020七下·廊坊期中）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲2件、乙3件、丙4件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱．
13．（2020七下·奉化期中）已知 ，则 .
三、计算题
14．（2019七下·东莞期末）解方程组：
15．（2019七下·马龙月考）解方程组
16．（2019七下·武昌期中）解方程组 .
四、解答题
17．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设左天平的一袋石头重x克,右天平的一袋石头重y克,被移动的石头重z克,由题意,得:
,
解得: .
答:被移动石头的重量为5克.
故答案为：A.
【分析】设左天平的一袋石头重x克,右天平的一袋石头重y克,被移动的石头重z克，即可得到三元一次方程组，解出z的值即可得到答案。
3．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设订二人间x间，三人间y间，四人间z间根据题意得：
，
由(2)×4-(1)得：y+2x=8．
∵x，y，z都是正整数，（1）当x=1时，y=6，z=1；（2）当x=2时，y=4，z=2；（3）当x=3时，y=2，z=3；（4）当x=4时，y=0，z=4（不符合题意，舍去）．
∴订房方案有3种．
故答案为：B.
【分析】设订二人间x间，三人间y间，四人间z间即可得到三元一次方程组，分别根据x的值解出答案即可。
4．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：2（x+y+z）=70，
则x+y+z=35．
故答案为：C．
【分析】将方程组的三个式子求和，即可得到（x+y+z）的两倍的值，得到（x+y+z）的值即可。
5．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：
3x+3y+3z=90.
∴x+y+z=90 ④
②-①得：
y+z-2x=0 ⑤
④-⑤得：
3x=30
∴x=10
故答案选：C.
【分析】解三元一次方程组时，利用加减消元法消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再解出x的值即可。
6．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：解三元一次方程组的基本想法是：先消去一个未知数，将解三元一次方程组转化为二元一次方程组.但 中含有三个未知数，不是二元一次方程组，
故答案为：A.
【分析】根据题意可知解三元一次方程组的步骤，消去一个未知数，转化为二元一次方程组，进行判断即可。
7．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②得：5x-z=14，④
①+③得：4x+3z=15⑤，
④×3+⑤得：19x=57，
解得：x=3，
把x=3代入④得：z=1，
把x=3，z=1代入③得：y=8，
则原方程组的解是： ．
故答案为：D.
【分析】解三元一次方程组时，利用加减消元法消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再解出方程组的解即可。
8．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
①-③得：4x+3y=2，
③×4+②得：7x+5y=3，
则三元一次方程组
经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是 ；
故答案为：A．
【分析】根据题意，结合题目中消元的步骤，得到二元一次方程组即可。
9．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
②﹣①得：3a+3b＝3，即a+b＝1，
③﹣①得：24a+6b＝60，即4a+b＝10，
③﹣②得：21a+3b＝57，即7a+b＝19，
故答案为：B．
【分析】利用等式的性质②﹣①得a+b＝1，③﹣①得4a+b＝10，③﹣②7a+b＝19，据此逐一判断即可.
10．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元.
根据题意，得
两方程相加，得
4x+4y+4z=600，
x+y+z=150.
则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元.
故答案为：C.
【分析】此题的关键已知条件为：购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，设未知数，建立三元一次方程组，将两方程相加再除以4就可求出结果。
11．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：已知 =1， =2， =3，则： =1，即 =1；（1）
，即 ；（2）
，即 ．（3）
（ 2 ）﹣（3）得到： （4）
（ 1 ）﹣（4）得到： = 解得：x= ．
故答案为：B．
【分析】根据等式的性质，分别求出各式的倒数，然后利用乘法分配律即可得出方程 =1；（1）， ；（2） ．（3），再用加减消元法，用（ 2 ）﹣（3）得出（4）方程，再（ 1 ）﹣（4）即可消去未知数求出x的值。
12．【答案】120
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，由题意得
把这两个方程相加，得5x+5y+5z=600
即5(x+y+z)=600
∴x+y+z=120
∴购甲、乙、丙三种商品各一件共需120元．
故答案为120．
【分析】设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，建立方程组，整体求解即可．
13．【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
方程②×2，得4x+10y+8z=30 ③，
方程③-①，得3x+3y-3z=21 ④，
方程④÷3，得，x+y-z=7.
故答案为：7.
【分析】将方程②×2-①，得3x+3y-3z=21，方程两边同时除以3即可求解.
14．【答案】解：
①+③×4，得
17a﹣2b＝40④，
②+④，得
20a＝41，
解得，a＝ ，
将a＝ 代入②，得
b＝ ，
将a＝ 代入③，得
c＝ ，
故原方程组的解是 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答此方程组．
15．【答案】解：
①+②得：3x+3y=15④，
③-②得：x+3y=9⑤，
④-⑤得2x=6，解得x=3，
将x=3代入④得：y=2，
将x=3，y=2代入①得：z=1，
∴方程组的解为： .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：可知z的系数最简单（相等或互为相反数），因此由①+②和③-②消去z，建立关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，再将x、y的值代入方程1，可求出z的值，即可得出方程组的解。
16．【答案】解： ，
①+②得：5x﹣y＝7④；
②×2+③得：8x+5y＝﹣2⑤，
④×5+⑤得：33x＝33，即x＝1，
把x＝1代入④得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入①得：z＝﹣4，
则方程组的解为 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.
17．【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
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