高中数学人教A版（2019）必修二 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 课后测试
一、单选题
1．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2020高一上·钦州期末）已知向量 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
3．（2020高一上·南充期末）已知 是单位向量， ，若平面向量 满足 ， 且 ，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．（2018高三上·汕头月考）已知平面向量 ， ，则向量 的模是
A． B． C． D．5
5．（2020高三上·辽宁月考）已知 ， ， ，则 （ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
6．（2020高三上·咸阳月考）向量 ， 满足| |=1，| |=2， 与 的夹角为60°，则|2 |=（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
7．（2020高三上·邯郸期末）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．1或4 B．1或-4 C．-1或4 D．-1或-4
8．（2020高二上·尚义期中）已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角是（ ）
A．60° B．120° C．30° D．90°
二、多选题
9．（2020高三上·深圳月考）设向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
10．（2020·深圳模拟）已知向量 ， ， ，设 , 的夹角为 ，则（ ）.
A． B． C． D．
11．（2020高三上·沈阳期中）已知平面向量 ， ， 满足 .若 ，则 的值可能为（ ）
A． B．-2 C．0 D．
12．（2020高一上·苏州期末）已知向量 ， ，若向量 ，则可使 成立的 可能是 （ ）
A．(1,0) B．(0,1) C．( 1,0) D．(0, 1)
三、填空题
13．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，且 ，则 ．
14．（2020高三上·台州期末）已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为120°，则 的最大值是 .
15．（2020高二上·浦东期末）若 与 平行，则实数m= .
四、解答题
16．（2020高一上·钦州期末）已知向量 满足： ．
（1）求 与 的夹角；
（2）求 ．
17．（2020高三上·淮安期中）在平面直角坐标系 中，设向量 ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）设 ， ，且 ，求 的值．
18．（2020高二上·上海期中）已知向量 ，k t为正实数， .
（1）若 求k的最大值；
（2）是否存在k t使得 ？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.
19．（2020高三上·贵溪月考）如图所示， 、 分别是单位圆与 轴、 轴正半轴的交点，点 在单位圆上， ，点 坐标为 ，平行四边形 的面积为 .
（1）求 的最大值；
（2）若 ，求 .
20．（2020高二上·上海期中）在 中， ， ， ，点O为 所在平面上一点，满足 （ 且 ）．
（1）证明： ；
（2）若点O为 的重心，求m、n的值；
（3）若点O为 的外心，求m、n的值．
21．（2020高二上·莆田月考）如图，平行四边形ABCD中， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 为 上一点，且 ．
（1）以 ， 为基底表示向量 与 ；
（2）若 ， ， 与 的夹角为 ，求 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。
2．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】向量 ，
若 ，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】直接由可得解。
3．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ①，
因为 ，所以 ，即 ②，
两式相加可得： ，所以 ，
故答案为：A。
【分析】因为 ，所以 ，进而求出x,y的一个方程，因为 ，所以 ，进而求出x,y的另一个方程，再联立二者方程结合求和法，从而求出x+y的值。
4．【答案】C
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为向量 ， ， ， ，
故答案为：C.
【分析】通过向量的减法运算求出 的坐标，即可得到该向量的模.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由已知，得 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】利用向量的减法及 得到，再利用数量积的坐标运算即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由已知可知：
，
∴ ，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式结合数量积的运算法则，再利用数量积的定义，从而求出向量的模的值。
7．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意，向量 ，可得 ，
因为 ，则 ，解得 或 .
故答案为：B.
【分析】利用向量的坐标运算以及向量的垂直条件，转化求解即可得到答案。
8．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意得：
，
，
.
设 夹角为 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，再结合数量积求向量的模的公式，从而求出向量 的模，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出两向量 与 的夹角 。
9．【答案】C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，A不符合题意；
因为 ， ，
所以 ，又 ，
则 ，
所以 与 不平行，B不符合题意；
又 ，所以，C符合题意；
又 ，
又 与 的夹角范围是 ，
所以 与 的夹角为 ，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用已知向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示，从而求出两向量与的模的关系；利用向量减法的坐标运算结合向量共线的坐标表示，从而判断出两向量 与 不平行；利用向量减法的坐标运算结合两向量垂直数量积为0，再利用数量积的坐标表示，从而推出；再利用数量积求向量夹角公式，从而求出两向量 与 的夹角，从而找出正确选项。
10．【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据题意， ， ，
则对于A,
则不成立，A错误；
对于B，则则，B正确；
对于C， 不成立，C错误；
对于D，则则
故答案为：BD。
【分析】利用已知条件结合向量的加减法坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示、向量垂直数量积为0的等价关系，向量平行的坐标表示、向量的数量积求向量间的夹角的公式，从而找出正确的选项。
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
，
， ，则 ，
， ， ， ，
所以 的值可能为 ，
故答案为：BCD。
【分析】利用数量积的运算法则结合数量积的定义，再利用向量的夹角的余弦值的取值范围，从而求出数量积的取值范围，再利用元素与集合的关系，从而找出 可能的值。
12．【答案】A,C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】
若 ,则 ,解得 , ,满足题意;
若 ,则 ,解得 , ,不满足题意;
因为向量 与向量 共线,所以向量 也满足题意.
故答案为：AC
【分析】用 表示出向量 的坐标,利用平面向量基本定理求出 ,逐项判断 是否满足题意.
13．【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ，
所以 。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，从而结合数量积的坐标表示，进而求出m的值。
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设 ， ，
由题意可知，则由 与 夹角为 ，所以 ，①
且 ，②
，③
，④
因为 ，
联立①②③④， ，
令 ，
即 ，
，
整理得 ，
将其看作关于 的方程，若方程有解，则有 ，
整理得 ，解得 ，
因为 ，所以 的最大值是 ，
故答案为： .
【分析】结合已知条件设 ， ， 利用向量的数量积的定义与运算性质得到四个关系式，通过分析得到一个关系式，再令 化简整理，利用关于n的方程有解，求解即可得到答案．
15．【答案】4
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：4
【分析】利用向量平行的性质直接求解即可。
16．【答案】（1）解：设向量 与 的夹角 ，
，
解得 ，又 ，
（2）解：由向量的模的公式可得：
=
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律以及定义可得结果；
（2）根据 计算可得结果。
17．【答案】（1）解：因为 ， ， ，
所以 ，
且 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ．
（2）解：因为 ，所以 ．
依题意， ．
因为 ，所以 ．
化简得， ，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，即 ．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；
（2）通过向量平行的坐标表示，转化求解角的大小即可。
18．【答案】（1）解：因为向量 ，k t为正实数，
所以 .
因为
所以 ，
，当且仅当 ，即 取等号，
所以k的最大值 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
化简得： ，即 ，
因为 k t为正实数，
所以不存在k t，使得 .
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）由 化简得 ，再利用基本不等式求解. （2）根据 ，化简得： ，即 ，再根据 k t为正实数判断.
19．【答案】（1）解：由已知，得 、 、 ，
因为四边形 是平行四边形，所以 .
所以 .
又平行四边形 的面积为 ，
所以 .
又 ，则 ，
所以当 时， 的最大值为 ；
（2）解：由题意，知 ， ，
因为 ，得 ，
又 ，结合 得 ， ，
， ，
所以 .
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标公式求出 的表达式，利用辅助角将函数进行化简，即可求出函数的最大值；
（2）利用直线平行转化为向量平行，利用两角和差的正弦公式进行求解即可。
20．【答案】（1）证明：
即
所以
则
所以
（2）解：若点O为 的重心
则
因为
所以
则 ,
（3）解：由O是 的外心
得 , , ,
所以,
即 ,
解得
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）根据条件 ,结合向量的加法运算,化简即可证明.（2）根据重心的向量表示为 ,即可求得m、n的值.（3）根据点O为 的外心,求得 , , ,再根据已知分别求得 , ,结合平面向量基本定理即可求得m、n的值.
21．【答案】（1）解：∵平行四边形 中， ， ， ， 是 ， 的中点， ，
∴ ，
（2）解：∵ ， ， 与 的夹角为 ，∴ ，
∴
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)由题可得： ，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到； (2)先求出 ，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 课后测试
一、单选题
1．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。
2．（2020高一上·钦州期末）已知向量 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】向量 ，
若 ，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】直接由可得解。
3．（2020高一上·南充期末）已知 是单位向量， ，若平面向量 满足 ， 且 ，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ①，
因为 ，所以 ，即 ②，
两式相加可得： ，所以 ，
故答案为：A。
【分析】因为 ，所以 ，进而求出x,y的一个方程，因为 ，所以 ，进而求出x,y的另一个方程，再联立二者方程结合求和法，从而求出x+y的值。
4．（2018高三上·汕头月考）已知平面向量 ， ，则向量 的模是
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为向量 ， ， ， ，
故答案为：C.
【分析】通过向量的减法运算求出 的坐标，即可得到该向量的模.
5．（2020高三上·辽宁月考）已知 ， ， ，则 （ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由已知，得 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】利用向量的减法及 得到，再利用数量积的坐标运算即可得出答案。
6．（2020高三上·咸阳月考）向量 ， 满足| |=1，| |=2， 与 的夹角为60°，则|2 |=（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由已知可知：
，
∴ ，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式结合数量积的运算法则，再利用数量积的定义，从而求出向量的模的值。
7．（2020高三上·邯郸期末）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．1或4 B．1或-4 C．-1或4 D．-1或-4
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意，向量 ，可得 ，
因为 ，则 ，解得 或 .
故答案为：B.
【分析】利用向量的坐标运算以及向量的垂直条件，转化求解即可得到答案。
8．（2020高二上·尚义期中）已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角是（ ）
A．60° B．120° C．30° D．90°
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意得：
，
，
.
设 夹角为 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，再结合数量积求向量的模的公式，从而求出向量 的模，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出两向量 与 的夹角 。
二、多选题
9．（2020高三上·深圳月考）设向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
【答案】C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，A不符合题意；
因为 ， ，
所以 ，又 ，
则 ，
所以 与 不平行，B不符合题意；
又 ，所以，C符合题意；
又 ，
又 与 的夹角范围是 ，
所以 与 的夹角为 ，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用已知向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示，从而求出两向量与的模的关系；利用向量减法的坐标运算结合向量共线的坐标表示，从而判断出两向量 与 不平行；利用向量减法的坐标运算结合两向量垂直数量积为0，再利用数量积的坐标表示，从而推出；再利用数量积求向量夹角公式，从而求出两向量 与 的夹角，从而找出正确选项。
10．（2020·深圳模拟）已知向量 ， ， ，设 , 的夹角为 ，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据题意， ， ，
则对于A,
则不成立，A错误；
对于B，则则，B正确；
对于C， 不成立，C错误；
对于D，则则
故答案为：BD。
【分析】利用已知条件结合向量的加减法坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示、向量垂直数量积为0的等价关系，向量平行的坐标表示、向量的数量积求向量间的夹角的公式，从而找出正确的选项。
11．（2020高三上·沈阳期中）已知平面向量 ， ， 满足 .若 ，则 的值可能为（ ）
A． B．-2 C．0 D．
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
，
， ，则 ，
， ， ， ，
所以 的值可能为 ，
故答案为：BCD。
【分析】利用数量积的运算法则结合数量积的定义，再利用向量的夹角的余弦值的取值范围，从而求出数量积的取值范围，再利用元素与集合的关系，从而找出 可能的值。
12．（2020高一上·苏州期末）已知向量 ， ，若向量 ，则可使 成立的 可能是 （ ）
A．(1,0) B．(0,1) C．( 1,0) D．(0, 1)
【答案】A,C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】
若 ,则 ,解得 , ,满足题意;
若 ,则 ,解得 , ,不满足题意;
因为向量 与向量 共线,所以向量 也满足题意.
故答案为：AC
【分析】用 表示出向量 的坐标,利用平面向量基本定理求出 ,逐项判断 是否满足题意.
三、填空题
13．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，且 ，则 ．
【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ，
所以 。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，从而结合数量积的坐标表示，进而求出m的值。
14．（2020高三上·台州期末）已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为120°，则 的最大值是 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设 ， ，
由题意可知，则由 与 夹角为 ，所以 ，①
且 ，②
，③
，④
因为 ，
联立①②③④， ，
令 ，
即 ，
，
整理得 ，
将其看作关于 的方程，若方程有解，则有 ，
整理得 ，解得 ，
因为 ，所以 的最大值是 ，
故答案为： .
【分析】结合已知条件设 ， ， 利用向量的数量积的定义与运算性质得到四个关系式，通过分析得到一个关系式，再令 化简整理，利用关于n的方程有解，求解即可得到答案．
15．（2020高二上·浦东期末）若 与 平行，则实数m= .
【答案】4
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：4
【分析】利用向量平行的性质直接求解即可。
四、解答题
16．（2020高一上·钦州期末）已知向量 满足： ．
（1）求 与 的夹角；
（2）求 ．
【答案】（1）解：设向量 与 的夹角 ，
，
解得 ，又 ，
（2）解：由向量的模的公式可得：
=
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律以及定义可得结果；
（2）根据 计算可得结果。
17．（2020高三上·淮安期中）在平面直角坐标系 中，设向量 ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）设 ， ，且 ，求 的值．
【答案】（1）解：因为 ， ， ，
所以 ，
且 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ．
（2）解：因为 ，所以 ．
依题意， ．
因为 ，所以 ．
化简得， ，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，即 ．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；
（2）通过向量平行的坐标表示，转化求解角的大小即可。
18．（2020高二上·上海期中）已知向量 ，k t为正实数， .
（1）若 求k的最大值；
（2）是否存在k t使得 ？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为向量 ，k t为正实数，
所以 .
因为
所以 ，
，当且仅当 ，即 取等号，
所以k的最大值 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
化简得： ，即 ，
因为 k t为正实数，
所以不存在k t，使得 .
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）由 化简得 ，再利用基本不等式求解. （2）根据 ，化简得： ，即 ，再根据 k t为正实数判断.
19．（2020高三上·贵溪月考）如图所示， 、 分别是单位圆与 轴、 轴正半轴的交点，点 在单位圆上， ，点 坐标为 ，平行四边形 的面积为 .
（1）求 的最大值；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）解：由已知，得 、 、 ，
因为四边形 是平行四边形，所以 .
所以 .
又平行四边形 的面积为 ，
所以 .
又 ，则 ，
所以当 时， 的最大值为 ；
（2）解：由题意，知 ， ，
因为 ，得 ，
又 ，结合 得 ， ，
， ，
所以 .
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标公式求出 的表达式，利用辅助角将函数进行化简，即可求出函数的最大值；
（2）利用直线平行转化为向量平行，利用两角和差的正弦公式进行求解即可。
20．（2020高二上·上海期中）在 中， ， ， ，点O为 所在平面上一点，满足 （ 且 ）．
（1）证明： ；
（2）若点O为 的重心，求m、n的值；
（3）若点O为 的外心，求m、n的值．
【答案】（1）证明：
即
所以
则
所以
（2）解：若点O为 的重心
则
因为
所以
则 ,
（3）解：由O是 的外心
得 , , ,
所以,
即 ,
解得
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）根据条件 ,结合向量的加法运算,化简即可证明.（2）根据重心的向量表示为 ,即可求得m、n的值.（3）根据点O为 的外心,求得 , , ,再根据已知分别求得 , ,结合平面向量基本定理即可求得m、n的值.
21．（2020高二上·莆田月考）如图，平行四边形ABCD中， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 为 上一点，且 ．
（1）以 ， 为基底表示向量 与 ；
（2）若 ， ， 与 的夹角为 ，求 ．
【答案】（1）解：∵平行四边形 中， ， ， ， 是 ， 的中点， ，
∴ ，
（2）解：∵ ， ， 与 的夹角为 ，∴ ，
∴
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)由题可得： ，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到； (2)先求出 ，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.
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