高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2012·重庆理）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在
∵（0，1）在圆x2+y2=2内
∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心
故选C．
【分析】对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）若直线 与圆 没有公共点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由 得 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
又直线 与圆 没有公共点，
所以圆心到直线的距离大于半径，
即 ，解得 或 .
故答案为：B.
【分析】 此圆的圆心为（1，-2），因为直线和圆没有公共点，所以根据圆心到直线的距离大于半径即可求解．
3．（2019高一下·石河子月考）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（　　）
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为，圆心（0，0）到直线的距离为，所以，直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心，选B。
【分析】简单题，研究直线与圆的位置关系，常常应用“几何法”，即研究圆心到直线的距离。
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知圆 与直线 相切于点 ，则直线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】圆 可 ，
显然过点 的直线 不与圆相切，
又点 与圆心连线的直线斜率为 ，
所以直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
整理得 .
故答案为：A.
【分析】求出点P与圆心连线的直线斜率，可得直线 的斜率，进而可得答案。
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知直线 过点 ，且与圆 相切，则直线 的方程为（　　）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由 ，得点 在圆外，
当过点 的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即 ，
因为圆心到切线的距离等于半径，
∴ ，解得 .
故所求切线方程为 ；
当过点 的切线斜率不存在时，方程为 ，也满足条件.
故直线 的方程为 或 .
故答案为：A.
【分析】 切线的斜率存在时设过点P的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．切线斜率不存在时，直线方程验证即可．
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知直线 是圆 的对称轴，过点A 作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆 即 ，圆心为 ，半径为r=3，
由题意可知 过圆的圆心 ，
则 ，解得 ，点A的坐标为 ，
，切点为B则 ，
.
故答案为：C
【分析】 利用直线 是圆 的对称轴 ，求出a，再利用几何法求出|AB|．
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知直线 与圆 相切，则 （　　）
A．-3 B．1 C．-3或1 D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆心到切线的距离等于半径，得
∴∴b=1或b=-3
故答案为：C.
【分析】 由圆心到切线的距离等于圆的半径列式求解b 。
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）过点 总可以作两条直线与圆 相切，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】把圆的方程转化成标准方程得 .由 ，解得 .
又点 应在已知圆的外部，把点 的坐标代入圆的方程得 ，即 ，解得 或 ，则实数 的取值范围是 ，
故答案为：D.
【分析】 把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．
9．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）一辆宽 的卡车，要经过一个半径为 的半圆形隧道，则这辆卡车的高度不得超过（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】如图，建立平面直角坐标系，
，则 ，所以卡车的高度不得超过 .
故答案为：B．
【分析】求出半圆的宽为1.6m的内接矩形的高，即为所求，可建立直角坐标系求解。
10．（2020高二下·大庆月考）圆 上到直线 的距离为 的点共有（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆 可变为 ，
圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
圆上到直线的距离为 的点共有 个.
故选：C.
【分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.
二、填空题
11．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为　 　m.
【答案】
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】以圆拱拱顶为坐标原点，以水平与圆拱相切的直线为横轴，以过拱顶的竖线为纵轴，建立直角坐标系，如下图所示：
由题意可知：设圆的方程为： (其中 为圆的半径)，因为拱顶离水面2m，水面宽12m，所以设 ，代入圆的方程中得： ，所以圆的方程为：
，当水面下降1m后，设 代入圆的方程中得：
.
故答案为：
【分析】 先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降1米后可设 根据点在圆上，可求得的值，从而得到问题的结果．
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）过圆外一点 作圆 的两条切线 ， （ ， 为切点），若 ，则动点 的轨迹方程是　 　.
【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设点 的坐标为 ，则 ，
∵ ，∴四边形 为正方形，∴ ，
∴ ，即 .
故答案为： .
【分析】 先设点P的坐标为（x，y），则可得|PO|，根据∠MPN=90°，判断出，把|PO|代入整理后即可得到答案。
13．（2020高二上·天津月考）直线l： 与圆C： 有公共点，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】[-3,1]
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆 的圆心 ，半径为 ，
从而有 ，即 ，
故 .
故答案为：[-3,1].
【分析】根据直线与圆有公共点即为圆心到直线的距离小于等于圆的半径列不等式求解．
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）直线 与直线 是圆C的两条切线，则圆C的面积是　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】易知直线 与直线 平行，若两条直线是圆C的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径.直线 ，即 与直线 间的距离 ，则圆的半径 ，则圆C的面积 .
故答案为： ．
【分析】 根据题意，分析可得直线x-y+1=0与直线2x-2y-1=0平行，则两直线之间的距离为圆的直径，求出两直线之间的距离，即可得圆的半径，进而计算可得答案．
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）由点 向圆 作的切线方程为　 　．
【答案】x=1或3x+4y+9=0
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】当直线斜率不存在时，直线为 ，与圆相切，符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ．由于直线与圆相切，故圆心 到直线的距离等于半径 ，即 ，解得 ，
∴直线方程为 ，即3x+4y+9=0．
综上，切线的方程为x=1或3x+4y+9=0．
【分析】 根据题意，分析圆的圆心与半径，由直线与圆相切的性质可得圆心到直线的距离d，分直线的斜率是否存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案．
三、解答题
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知实数 ， 满足方程 .
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求 的最大值和最小值；
（3）求 的最大值和最小值.
【答案】（1）解：方程表示以点 为圆心， 为半径的圆，
设 ，即 ，
当直线 与圆相切时，斜率 取得最大值和最小值，
此时 ，解得 .
故 的最大值为 ，最小值为
（2）解：设 ，即 ，
当 与圆相切时，纵截距 取得最大值和最小值，
此时 ，即 .
故 的最大值为 ，最小值为
（3）解： 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故 ，
.
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 （1） 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， ，即 ，求出直线y=kx与圆相切时，k的值，即可确定斜率k取最大值或最小值；
（2） 可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值。
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知圆 ,直线 .
（1）求证：直线 过定点 ,且直线 与圆 相交；
（2）求直线 被圆 截得的弦长最短时的方程.
【答案】（1）证明：将点 代入直线 的方程，得左边 右边，所以直线 过定点 ；又 ，所以点 在圆 内，所以对任意的实数 ，直线 与圆 恒相交
（2）解：由平面几何的知识可得， 被圆 截得最短的弦是与直径 垂直的弦，因为 ,所以直线 的斜率为 ,所以直线 的方程为 , 即 为直线 被圆 截得的弦长最短时的方程
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 （1）将点A的坐标代入直线l的方程，得出方程成立即可证明l过定点A；再由|AC|（2）由平面几何的知识得l被圆C截得最短的弦是与直径AC垂直的弦，由此求出直线l的方程．
18．（2020高一上·黄陵期末）已知点 ，直线 及圆 .
（1）求过点M的圆C的切线方程；
（2）若直线 与圆C相切，求实数 的值；
（3）若直线 与圆C相交于A、B两点，且弦AB的长为 ，求 的值.
【答案】（1）解：由题意 ， ．
过点 且斜率不存在的直线为 与圆 相切，
过点 且斜率存在的直线，设其方程为 ，即 ，
∴ ，解得 ，切线方程为 ，即 ．
∴所求切线方程为 或
（2）解：由题意 ，解得 或
（3）解： ，
∴ ，解得
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，可得当直线的斜率不存在时方程为 ，符合题意；而直线的斜率存在时，利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算，得到切线方程为 ，即可得出答案；
（2）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到a的值。
19．（2018高二上·镇江期中）在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西a（a为锐角）角方向航行，速度为40km/h．已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响．
（1）若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值？
（2）若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续多少时间？
【答案】（1）解：根据题意画出图形，如图所示，
则圆的方程为 ，
设过点 的直线方程为 ， ；
即 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
化简得 ，
解得 ；
，
，
，
若轮船不被风暴影响，则角a的正切值的最大值为 ；
（2）解：若轮船航行方向为北偏西 ，则直线方程为 ，
则圆心 到该直线的距离为 ，
弦长为 ，
则轮船被风暴影响持续的时间为 .
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；平面内点到直线的距离公式；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将实际问题转化为几何问题，设出过点 的直线点斜式方程，再利用直线与圆相切的位置关系的判断方法求出k的值，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的正切值的关系式，从而求出轮船不被风暴影响时的角a的正切值的最大值。
（2）利用轮船航行方向为北偏西45°，结合几何图形得出直线的方程为 ，再利用点到直线的距离求出圆心 到该直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，从而求出实际问题中轮船被风暴影响持续的时间。
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知过点 的圆M的圆心为 ，且圆M与直线 相切．
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过点 且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若 的面积为 ，求直线l的方程．
【答案】（1）解：设圆M的标准方程为： ，
则圆心M到直线 的距离为 ，
由题意得 ，解得 或 舍去 ，所以 ，
所以圆M的方程为
（2）解：设直线l的方程为 ，则圆心M到直线l的距离为 ，
，
又点 到直线l的距离为 ，
，解得 ， ，
则直线的方程为 ．
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 （1）根据题意设圆M的标准方程为： ， 因为圆M 直线 相切，得 ，求出a，r进而得出圆的标准方程；
（2）求出|AB|，及点P到直线l的距离，表示出
，求出斜率k，进而得出直线方程．
21．（2018高一上·大连期末）已知两个定点 ，动点P满足 .设动点P的轨迹为曲线E，直线 .
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C，D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若 是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点.
【答案】（1）解：设点P坐标为
由 ，得：
整理得：曲线的E轨迹方程为 x 2 + y 2 = 4。
（2）解：依题意圆心到直线l的距离 ，
∴：k=±.
（3）解：由题意可知： 四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设 ，
其方程为 ，即：
又M，N在曲线 上，
，
即 ，由 得 ，
直线MN过定点 .
故答案为：直线MN过定点 ( ， 1 ).
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题先假设出点p的坐标，将已知条件代入即可求出轨迹方程。
（2）根据圆心到直线的距离可利用到未知数斜率k，进而求出k值。
（3）根据已知条件假设出以OQ为直径圆的方程，再假设出直线MN的方程式，进而代入即可求出直线MN是否过定点。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2012·重庆理）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）若直线 与圆 没有公共点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． 或
C． 或 D．
3．（2019高一下·石河子月考）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（　　）
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知圆 与直线 相切于点 ，则直线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知直线 过点 ，且与圆 相切，则直线 的方程为（　　）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知直线 是圆 的对称轴，过点A 作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知直线 与圆 相切，则 （　　）
A．-3 B．1 C．-3或1 D．
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）过点 总可以作两条直线与圆 相切，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）一辆宽 的卡车，要经过一个半径为 的半圆形隧道，则这辆卡车的高度不得超过（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高二下·大庆月考）圆 上到直线 的距离为 的点共有（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
11．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为　 　m.
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）过圆外一点 作圆 的两条切线 ， （ ， 为切点），若 ，则动点 的轨迹方程是　 　.
13．（2020高二上·天津月考）直线l： 与圆C： 有公共点，则实数 的取值范围是　 　.
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）直线 与直线 是圆C的两条切线，则圆C的面积是　 　.
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）由点 向圆 作的切线方程为　 　．
三、解答题
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知实数 ， 满足方程 .
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求 的最大值和最小值；
（3）求 的最大值和最小值.
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知圆 ,直线 .
（1）求证：直线 过定点 ,且直线 与圆 相交；
（2）求直线 被圆 截得的弦长最短时的方程.
18．（2020高一上·黄陵期末）已知点 ，直线 及圆 .
（1）求过点M的圆C的切线方程；
（2）若直线 与圆C相切，求实数 的值；
（3）若直线 与圆C相交于A、B两点，且弦AB的长为 ，求 的值.
19．（2018高二上·镇江期中）在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西a（a为锐角）角方向航行，速度为40km/h．已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响．
（1）若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值？
（2）若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续多少时间？
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系）已知过点 的圆M的圆心为 ，且圆M与直线 相切．
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过点 且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若 的面积为 ，求直线l的方程．
21．（2018高一上·大连期末）已知两个定点 ，动点P满足 .设动点P的轨迹为曲线E，直线 .
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C，D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若 是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在
∵（0，1）在圆x2+y2=2内
∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心
故选C．
【分析】对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．
2．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由 得 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
又直线 与圆 没有公共点，
所以圆心到直线的距离大于半径，
即 ，解得 或 .
故答案为：B.
【分析】 此圆的圆心为（1，-2），因为直线和圆没有公共点，所以根据圆心到直线的距离大于半径即可求解．
3．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为，圆心（0，0）到直线的距离为，所以，直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心，选B。
【分析】简单题，研究直线与圆的位置关系，常常应用“几何法”，即研究圆心到直线的距离。
4．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】圆 可 ，
显然过点 的直线 不与圆相切，
又点 与圆心连线的直线斜率为 ，
所以直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
整理得 .
故答案为：A.
【分析】求出点P与圆心连线的直线斜率，可得直线 的斜率，进而可得答案。
5．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由 ，得点 在圆外，
当过点 的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即 ，
因为圆心到切线的距离等于半径，
∴ ，解得 .
故所求切线方程为 ；
当过点 的切线斜率不存在时，方程为 ，也满足条件.
故直线 的方程为 或 .
故答案为：A.
【分析】 切线的斜率存在时设过点P的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．切线斜率不存在时，直线方程验证即可．
6．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆 即 ，圆心为 ，半径为r=3，
由题意可知 过圆的圆心 ，
则 ，解得 ，点A的坐标为 ，
，切点为B则 ，
.
故答案为：C
【分析】 利用直线 是圆 的对称轴 ，求出a，再利用几何法求出|AB|．
7．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆心到切线的距离等于半径，得
∴∴b=1或b=-3
故答案为：C.
【分析】 由圆心到切线的距离等于圆的半径列式求解b 。
8．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】把圆的方程转化成标准方程得 .由 ，解得 .
又点 应在已知圆的外部，把点 的坐标代入圆的方程得 ，即 ，解得 或 ，则实数 的取值范围是 ，
故答案为：D.
【分析】 把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．
9．【答案】B
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】如图，建立平面直角坐标系，
，则 ，所以卡车的高度不得超过 .
故答案为：B．
【分析】求出半圆的宽为1.6m的内接矩形的高，即为所求，可建立直角坐标系求解。
10．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆 可变为 ，
圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
圆上到直线的距离为 的点共有 个.
故选：C.
【分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.
11．【答案】
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】以圆拱拱顶为坐标原点，以水平与圆拱相切的直线为横轴，以过拱顶的竖线为纵轴，建立直角坐标系，如下图所示：
由题意可知：设圆的方程为： (其中 为圆的半径)，因为拱顶离水面2m，水面宽12m，所以设 ，代入圆的方程中得： ，所以圆的方程为：
，当水面下降1m后，设 代入圆的方程中得：
.
故答案为：
【分析】 先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降1米后可设 根据点在圆上，可求得的值，从而得到问题的结果．
12．【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设点 的坐标为 ，则 ，
∵ ，∴四边形 为正方形，∴ ，
∴ ，即 .
故答案为： .
【分析】 先设点P的坐标为（x，y），则可得|PO|，根据∠MPN=90°，判断出，把|PO|代入整理后即可得到答案。
13．【答案】[-3,1]
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆 的圆心 ，半径为 ，
从而有 ，即 ，
故 .
故答案为：[-3,1].
【分析】根据直线与圆有公共点即为圆心到直线的距离小于等于圆的半径列不等式求解．
14．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】易知直线 与直线 平行，若两条直线是圆C的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径.直线 ，即 与直线 间的距离 ，则圆的半径 ，则圆C的面积 .
故答案为： ．
【分析】 根据题意，分析可得直线x-y+1=0与直线2x-2y-1=0平行，则两直线之间的距离为圆的直径，求出两直线之间的距离，即可得圆的半径，进而计算可得答案．
15．【答案】x=1或3x+4y+9=0
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】当直线斜率不存在时，直线为 ，与圆相切，符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ．由于直线与圆相切，故圆心 到直线的距离等于半径 ，即 ，解得 ，
∴直线方程为 ，即3x+4y+9=0．
综上，切线的方程为x=1或3x+4y+9=0．
【分析】 根据题意，分析圆的圆心与半径，由直线与圆相切的性质可得圆心到直线的距离d，分直线的斜率是否存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案．
16．【答案】（1）解：方程表示以点 为圆心， 为半径的圆，
设 ，即 ，
当直线 与圆相切时，斜率 取得最大值和最小值，
此时 ，解得 .
故 的最大值为 ，最小值为
（2）解：设 ，即 ，
当 与圆相切时，纵截距 取得最大值和最小值，
此时 ，即 .
故 的最大值为 ，最小值为
（3）解： 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故 ，
.
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 （1） 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， ，即 ，求出直线y=kx与圆相切时，k的值，即可确定斜率k取最大值或最小值；
（2） 可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值。
17．【答案】（1）证明：将点 代入直线 的方程，得左边 右边，所以直线 过定点 ；又 ，所以点 在圆 内，所以对任意的实数 ，直线 与圆 恒相交
（2）解：由平面几何的知识可得， 被圆 截得最短的弦是与直径 垂直的弦，因为 ,所以直线 的斜率为 ,所以直线 的方程为 , 即 为直线 被圆 截得的弦长最短时的方程
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 （1）将点A的坐标代入直线l的方程，得出方程成立即可证明l过定点A；再由|AC|（2）由平面几何的知识得l被圆C截得最短的弦是与直径AC垂直的弦，由此求出直线l的方程．
18．【答案】（1）解：由题意 ， ．
过点 且斜率不存在的直线为 与圆 相切，
过点 且斜率存在的直线，设其方程为 ，即 ，
∴ ，解得 ，切线方程为 ，即 ．
∴所求切线方程为 或
（2）解：由题意 ，解得 或
（3）解： ，
∴ ，解得
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，可得当直线的斜率不存在时方程为 ，符合题意；而直线的斜率存在时，利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算，得到切线方程为 ，即可得出答案；
（2）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到a的值。
19．【答案】（1）解：根据题意画出图形，如图所示，
则圆的方程为 ，
设过点 的直线方程为 ， ；
即 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
化简得 ，
解得 ；
，
，
，
若轮船不被风暴影响，则角a的正切值的最大值为 ；
（2）解：若轮船航行方向为北偏西 ，则直线方程为 ，
则圆心 到该直线的距离为 ，
弦长为 ，
则轮船被风暴影响持续的时间为 .
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；平面内点到直线的距离公式；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将实际问题转化为几何问题，设出过点 的直线点斜式方程，再利用直线与圆相切的位置关系的判断方法求出k的值，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的正切值的关系式，从而求出轮船不被风暴影响时的角a的正切值的最大值。
（2）利用轮船航行方向为北偏西45°，结合几何图形得出直线的方程为 ，再利用点到直线的距离求出圆心 到该直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，从而求出实际问题中轮船被风暴影响持续的时间。
20．【答案】（1）解：设圆M的标准方程为： ，
则圆心M到直线 的距离为 ，
由题意得 ，解得 或 舍去 ，所以 ，
所以圆M的方程为
（2）解：设直线l的方程为 ，则圆心M到直线l的距离为 ，
，
又点 到直线l的距离为 ，
，解得 ， ，
则直线的方程为 ．
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 （1）根据题意设圆M的标准方程为： ， 因为圆M 直线 相切，得 ，求出a，r进而得出圆的标准方程；
（2）求出|AB|，及点P到直线l的距离，表示出
，求出斜率k，进而得出直线方程．
21．【答案】（1）解：设点P坐标为
由 ，得：
整理得：曲线的E轨迹方程为 x 2 + y 2 = 4。
（2）解：依题意圆心到直线l的距离 ，
∴：k=±.
（3）解：由题意可知： 四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设 ，
其方程为 ，即：
又M，N在曲线 上，
，
即 ，由 得 ，
直线MN过定点 .
故答案为：直线MN过定点 ( ， 1 ).
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题先假设出点p的坐标，将已知条件代入即可求出轨迹方程。
（2）根据圆心到直线的距离可利用到未知数斜率k，进而求出k值。
（3）根据已知条件假设出以OQ为直径圆的方程，再假设出直线MN的方程式，进而代入即可求出直线MN是否过定点。
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