北师版数学八年级上册 7.2 定义与命题（1）课件 27张PPT

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7.2 定义与命题
第七章 平行线的证明
学习目标
了解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论，了解判断命题真假的方法，通过实例感受证明的过程与格式.
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初步感受公理化思想，并了解本套教科书所采用的基本事实.
证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
1、什么是定义？
知识导入
你能举出哪些定义的例子？
例如，①“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义；
②“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；
③“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义；
④“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”是“等腰三角形”的定义.
2、命题的有关知识精讲
（1）看下面对“角”和“有理数”进行判断的语句：
①如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
②同角的余角相等.
③两个锐角之和是钝角.
④两个负数，绝对值大的反而小.
⑤负数与负数的和是负数.
如同上面这些语句，判断一件事情的句子，叫做命题.
下面两个语句是命题吗？为什么？
①你喜欢数学吗？
②作线段AB=CD.
不是.理由如下：
如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
①如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
已知事项
条件
结论
由已知推出的事项
看下面两个命题，你能指出他们的条件与结论吗？
（2）命题由什么组成？
命题
条件：已知事项
结论：由已知事项推断出的事项
看下面两个命题，你能指出他们的条件与结论吗？
（2）命题由什么组成？
命题
条件：已知事项
结论：由已知事项推断出的事项
②两个负数，绝对值大的反而小.
已知事项
条件
结论
由已知推出的事项
（3）命题的一般形式是怎样的？
如果两个角都是直角，那么这两个角相等.


条件
结论
你能举出这种形式的命题吗？
两个负数，绝对值大的反而小.
如果两个数是负数，那么绝对值大的反而小.


（4）命题的分类：
两个锐角之和是钝角

同角的余角相等
负数与负数的和是负数
正确的命题
真命题
正确的命题
真命题
错误的命题
假命题

锐角
条件成立，结论一定成立的命题叫做真命题.
条件成立，结论不一定成立的命题叫做假命题.

说明一个命题是假命题的方法：举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.
如，说明“两个锐角之和是钝角”是假命题.




故“两个锐角之和是钝角”是假命题.
3.举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢
古希腊数学家欧几里得在编写《原本》这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理.
除了真命题，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.
5、定理
如“内错角相等，两条直线平行”, 是平行线的判定定理.
经过证明的真命题称为定理.
4、证明
演绎推理的过程称为证明.
注意：每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
那么证实一个命题是真命题过程就是证明的过程.
本书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：
（1）两点确定一条直线;
（2）两点之间，线段最短；
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条两直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行);
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
（8）三边分别相等的两个三角形全等；
此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如，如果a=b，b=c，那么a=c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，这一性质同样可以作为证明的依据.
从这些基本事实出发，可证明一些结论，例如可证明定理：
定理: 同角(等角)的补角相等.
定理: 同角(等角)的余角相等.
定理: 三角形的任意两边之和大于第三边.
定理 对顶角相等.
已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O. ∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD.
证明：
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）.
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）.
∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）.
【例题1】下列四个句子中是命题的是_______（填序号）
①延长线段AB.
②对顶角相等.
③同旁内角不互补，两条直线就不平行.
④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
分析：
②③④
①不是判断句，所以不是命题.
②③④都是判断句，所以都是命题.
例题精析

两条直线平行于同一条直线
两条直线互相平行
如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行

分析：
①是真命题.
②是真命题.
③是假命题.
如图中∠1=∠2，但∠1，∠2不是对顶角.
④是假命题.

⑤是真命题.
①②⑤
【例题4】完成定理“同角（等角）的余角相等”的证明.
证明：
∵ ∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角,（已知）
∴∠2+∠1=90°，∠3+∠1=90°. （余角的定义）
∴∠2=∠3（等量代换），
∴∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1 . （等式的性质）
已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角.
求证：∠2 =∠3.
随堂练习
1.“对顶角相等”是____ 命题(真、假)，写成“如果…，
那么…”的形式______________________________________．
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
2.下列语句中，是命题的是（ ）
A. 直线AB和CD垂直吗
B. 过线段AB的中点C画AB的垂线
C. 同旁内角不互补，两直线不平行
D. 连接A，B两点
真
C
3.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举一个反例并画出图形，说明其是假命题.
如图，∠1＞90°，∠2＜90°， ∠2是∠1的补角，而∠2＜∠1.
解：
所以，“任何一个角的补角都不小于这个角“是假命题.
4.完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明．
证明：
∵ AC是以点A、点C为端点的线段，
∴ AB+BC＞AC (两点之间线段最短)．
同理BC+CA＞AB，CA+AB＞BC．
已知：如图，△ABC.
求证：AB+BC＞AC，BC+CA＞AB，
CA+AB＞BC.
A
B
C
1.判断一件事情的语句，叫做命题.
命题由条件和结论组成.

3.经过证明的真命题称为定理.
4.判断一个真命题正确性的推理过程叫做证明.
5.说明一个命题是假命题只要举出一个反例，这个反例符合命题的条件，但不能满足结论.
课堂小结
再见