第21章《一元二次方程》单元检测卷(含解析)

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第21章《一元二次方程》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x2+2x）＝3x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．（x+2）2＝4x+1 D．
2．将关于x的一元二次方程（2x﹣1）2＝（x+1）（3x+4）化为一般形式，它的二次项系数、一次项系数、常数项可能为（　　）
A．1，﹣11，﹣3 B．7，3，5 C．﹣1，11，﹣3 D．无法确定
3．一元二次方程x2﹣9＝0的根为（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝9
4．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
5．方程x2+3x﹣5＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
6．我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣2b，已知（2x﹣1）★3x＝﹣5，则x的值为（　　）
A．x＝2或x＝3 B．x＝3或
C．x＝﹣1或 D．x＝1或
7．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
8．地理生物中考在即，有一个团队有x人，每两人都互相送对方寄语卡片一张，为彼此加油打气，全团共赠送了56张，根据题意列出的方程是（　　）
A． B．
C．x（x﹣1）＝56 D．x（x+1）＝56
9．若（a2+b2）（a2+b2+4）＝12，则a2+b2的值为（　　）
A．2或﹣6 B．﹣2或6 C．6 D．2
10．三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程x2﹣25＝2（x﹣5）2的一个实数根，则该三角形的周长是（　　）
A．23 B．23或33 C．24 D．24或30
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．关于x的方程﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则a＝　 　．
12．一元二次方程3x（x﹣2）＝﹣4的一般形式是 　 　．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有一个根的值是2，则k的值是 　 　．
14．用公式法解方程2x2﹣1＝0，其中b2﹣4ac＝　 　．
15．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m+2023的值为 　 　．
16．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
17．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 　 　．
18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的两个实数根，且++x1x2＝6，则k的值为 　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）按要求解方程：
（1）x2+12x+27＝0（配方法）； （2）3x2﹣4x+1＝0（公式法）．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）x（x﹣4）＝3（x﹣4）．
21．（8分）观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；
（2）请写出第n个方程和它的根．
22．（8分）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．如：2*1＝22﹣2×1＝2．根据这个法则，
（1）计算：3*2＝　 　；
（2）判断（t+2）*（2t+1）＝0是否为一元二次方程，并求解；
（3）判断方程（x+2）*1＝3的根是否为x1＝，x2＝，并说明理由．
23．（8分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．
（1）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，求k的值；
（2）若关于x的一元二次方程nx2﹣（3n+3m）x+8m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求该方程的根．
24．（8分）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，以维护老百姓的利益．某种药品原价600元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖384元/瓶．求该种药品平均每次降价的百分率．
25．（9分）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 　 　件，每件商品盈利 　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
26．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
第21章《一元二次方程》单元检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A．该方程化简后为6x＝﹣1，是一元一次方程，不符合题意；
B．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意；
C．该方程化简后为x2+3＝0，是一元二次方程，符合题意；
D．该方程是分式方程，不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：去括号得4x2﹣4x+1＝3x2+7x+4，
移项得4x2﹣4x+1﹣3x2﹣7x﹣4＝0，
合并得x2﹣11x﹣3＝0，
所以二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，﹣11，﹣3．
所以此方程二次项系数、一次项系数、常数项的比为1：（﹣11）：（﹣3）．
故选：A．
3．【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
故选：C．
4．【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，
故选：A．
5．【解答】解：a＝1，b＝3，c＝5，
∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣5）＝29＞0，
∴方程x2﹣3x+2＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．【解答】解：∵a★b＝a2﹣2b，
∴（2x﹣1）★3x＝﹣5可变形为：
（2x﹣1）2﹣2×3x＝﹣5，
整理为2x2﹣5x+3＝0，
解得x＝1或．
故选：D．
7．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
故选：A．
8．【解答】解：由题意得，
每个人所送出去的寄语卡数为（x﹣1）张，则有：
x（x﹣1）＝56．
故选：C．
9．【解答】解：设t＝a2+b2，则原方程可化为：t2+4t﹣12＝0，
分解因式得：（t+6）（t﹣2）＝0，
解得：t1＝﹣6，t2＝2．
∵a2+b2是非负数，
∴a2+b2＝2．
故选：D．
10．【解答】解：（x+5）（x﹣5）﹣2（x﹣5）2＝0，
（x﹣5）[（x+5）﹣2（x﹣5）]＝0，
（x﹣5）（﹣x+15）＝0，
x1＝5，x2＝15，
∵三角形两边的长分别是7和11，
∴11﹣7＜第三边＜7+11，
∴4＜第三边＜18，
∴7，11，5和7，11，15能组成三角形，
∴该三角形的周长是7+11+5＝23或7+11+15＝33，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【解答】解：∵关于x的方程﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，
∴a2﹣7＝2，
解得a＝±3，
∴a的值为±3．
故答案为：±3．
12．【解答】解：3x（x﹣2）＝﹣4，
去括号，得3x2﹣6x＝﹣4，
移项得3x2﹣6x+4＝0，
原方程的一般形式是3x2﹣6x+4＝0．
故答案为：3x2﹣6x+4＝0．
13．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有一个根的值是2，
∴22﹣4×2+k＝0，
解得k＝4，
故答案为：4．
14．【解答】解：∵a＝2，b＝0，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×（﹣1）＝8．
故答案为：8．
15．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴m2﹣m+2023＝2+2023＝2025．
故答案为：2025．
16．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣3，c＝m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，
解得m＜，
故答案为：m＜．
17．【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：1+x+x2＝43，
整理得：x2+x﹣42＝0，
解得：x1＝﹣7（不合题意，舍去），x2＝6．
故答案为：6．
18．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝k，x1x2＝﹣4，
∵，
∴（x1+x2）2﹣x1x2＝6，
k2﹣（﹣4）＝6，
k2＝2，
k＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．【解答】解：（1）移项得：x2+12x＝﹣27，
配方得：x2+12x+36＝﹣27+36，
（x+6）2＝9，
开方得：x+6＝±3，
x1＝﹣3，x2＝﹣9．
（2）∵a＝3，b＝﹣4，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1，x2＝．
20．【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣3，x2＝1．
（2）x（x﹣4）＝3（x﹣4），
x（x﹣4）﹣3（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣3）＝0，
x﹣4＝0或x﹣3＝0，
x1＝4，x2＝3．
21．【解答】解：（1）由题意可得：k＝﹣15，
则原方程为：x2﹣15x+56＝0，
则（x﹣7）（x﹣8）＝0，
解得：x1＝7，x2＝8；
（2）第n个方程为：x2﹣（2n﹣1）x+n（n﹣1）＝0，
（x﹣n）（x﹣n+1）＝0，
解得：x1＝n﹣1，x2＝n．
22．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：3*2＝32﹣3×2＝9﹣6＝3，
故答案为：3；
（2）已知等式变形得：（t+2）2﹣（t+2）（2t+1）＝0，整理得t2+t﹣2＝0，是一元二次方程；
解方程得t2+t﹣2＝0，得（t+2）（t﹣1）＝0，即t+2＝0或t﹣1＝0，解得t1＝﹣2，t2＝1；
（3）方程变形得：（x+2）2﹣（x+2）＝3，
整理得：x2+4x+4﹣x﹣2﹣3＝0，即x2+3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
故方程（x+2）*1＝3的根不是x1＝，x2＝．
23．【解答】解：（1）设这个方程的两个根分别为a和2a，
则，
解得a＝2，
即这个方程的一个根为2，
将x＝2代入方程x2﹣6x+k＝0得：4﹣12+k＝0，
解得k＝8．
（2）设这个方程的两个根分别为β和2β，
由题意得：，
整理得：（m﹣n）2＝0，
∴m＝n，
将m＝n代入①得：，
解得β＝2，
∴2β＝2×2＝4，
所以该方程的根为x＝2或x＝4．
24．【解答】解：设该种药品平均每次降价的百分率为x，
由题意得：600（1﹣x）2＝384，
解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去），
∴x＝0.2＝20%，
答：该种药品平均每次降价的百分率为20%．
25．【解答】解：（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件，每件商品盈利（40﹣x）元．
故答案为：2x，（40﹣x）；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵需要让利于顾客，
∴x＝20．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1800，
整理得：y2﹣30y+500＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1800元．
26．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．