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分课时教学设计
第六课时《11.3.2多边形的内角和》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 多边形内角和是人教版八年级第11章三角形的内容,在深入研究了三角形有关的线段、内外角后,对多边形进行类似的分析,是11.3多边形内角和的第二课时.第一课时已经将多边形的概念、对角线、正多边形等相关内容进行掌握.本节内容主要是结合前面所学习的三角形外角和探索多边形的内角和公式,并运用多边形的内角和公式以及多边形的外角和为360°.
学习者分析 学生正处于初二年级,已经掌握了探索证明图形性质的不同手段和方法,具备几何定理的分析、探索和证明能力.在这个课程以前,学生已经学习了三角形的内角外角等相关知识,掌握了推导三角形内角和的过程和数学思想，因而学生在探索多边形内角和时，便会很容易想到“拼”和“量”和把多边形转化成三角形等方法。
教学目标 1.了解并掌握多边形内角和与外角和公式. 2.理解多边形内角和与外角和公式的推导过程. 3.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.
教学重点 多边形的内角和以及外角和.
教学难点 如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 思考：我们学过的三角形、正方形、长方形的内角和是多少呢？ 任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你可以推理证明吗？学生活动1： 学生思考，回答问题 活动意图说明：回顾旧知为学习新知做好准备.环节二：新知探究教师活动2： 任意四边形的内角和等于多少度？ 你是怎样得到的？ 还有其他的方法吗？ 类比上面的方法(从一个顶点出发画对角线)，完成下列表格. 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2). 【尝试验证】用把一个多边形分成几个三角形的其他分法来验证是否能得出多边形的内角和公式？学生活动2： 学生思考，得出答案，可以将四边形分成三角形 学生思考，老师展示其他方法 学生试着填表，并总结 活动意图说明：通过从特殊到一般的探索过程，让学生体会数与形之间的联系，感受其中的推理过程和思考方法．环节三：典例精析教师活动3： 例1.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. 例2.如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？ 学生活动3： 学生分小组讨论并完成作答，教师鼓励学生采用不同方法进行解答并给予肯定． 活动意图说明：典型例题进一步巩固新知，提高学生对公式的应用能力． 环节四：新知讲解教师活动4： 在 n 边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做 n 边形的外角和. 思考：n 边形的外角和又是多少呢？ n 边形外角和= n 个平角和－ n 边形的内角和 = n×180°- (n－2)×180° =360° 归纳：n 边形的外角和等于 360°. 正n 边形的每一个外角都等于 外角和始终为定值，与边数无关 如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°. 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是学生活动4： 有思路的同学独立解答，没有思路的同学小组讨论。并请一位同学汇报结果。 学生回忆正多边形的性质，解答活动意图说明：让学生运用所学知识解决问题，提高解决问题的能力，鼓励学生畅所欲言总结对本节课的收获和体会，有利于培养归纳、总结的习惯和能力，让学生自主建构知识体系 .
板书设计 多边形的内角和 n边形的内角和： n边形内角和＝（n-2）×180° n边形的外角和： 多边形的外角和等于360°
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.一个多边形截去一个角(不过顶点)后,形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是( ) A.13 B.14 C.15 D.13或15 2.一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.不能作为正多边形的内角的度数的是( ) A.120 B.130 C.135° D.144 4.一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，那么这个多边形是____边形; 5.小华从A点出发向前直走50m后,向左转18°，继续向前走50m，再左转18°,他以同样走法回到A点时，共走_______m; 6.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880°，那么它的内角为_______. 选做题： 7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数. 8.一个正多边形的一个外角比一个内角小90°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 【综合拓展类作业】 9.如图，在五边形 ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.一个多边形的内角和不可能是（ ） A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° 2.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° 选做题： 3.一个多边形截去一个角，形成一个新多边形，新多边形的内角和为2520°.原多边形的边数是多少？ 【综合拓展类作业】 4.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得的内角和为1 125°，当发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角．这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
教学反思 本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新. 要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决.
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11.3.2多边形的内角和
人教版八年级上册
教材分析
多边形内角和是人教版八年级第11章三角形的内容,在深入研究了三角形有关的线段、内外角后,对多边形进行类似的分析,是11.3多边形内角和的第二课时.第一课时已经将多边形的概念、对角线、正多边形等相关内容进行掌握.本节内容主要是结合前面所学习的三角形外角和探索多边形的内角和公式,并运用多边形的内角和公式以及多边形的外角和为360°.
教学目标
1.了解并掌握多边形内角和与外角和公式.
2.理解多边形内角和与外角和公式的推导过程.
3.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.
新知导入
180°
360°
360°
思考：我们学过的三角形、正方形、长方形的内角和是多少呢？
任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你可以推理证明吗？
新知讲解
任意四边形的内角和等于多少度？
你是怎样得到的？
A
B
C
D
新知讲解
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
2×180
=360
4×180 －360
=360
3×180 －180
=360
四边形的内角和是360
多边形 的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的
内角和
3
4
5
6
…… …… …… …… ……
n
新知讲解
类比上面的方法(从一个顶点出发画对角线)，完成下列表格.
(n－2)×180
4× 180
2× 180
3× 180
1× 180
0
1
1
2
2
3
3
4
n－3
n－2
新知讲解
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？
典例精析
例1.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360 °，
∴∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）
=360°－180°
=180°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
新知讲解
A
B
C
D
E
F
1
2
3
5
4
6
例2：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？
思考：
(1)一个外角＋相邻的内角 .
(2)6个外角＋它们相邻的内角 .
(3)六边形的外角和 - .
180°
6 180°
六个平角的和
六边形的内角和
典例精析
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6 180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
6 180° (6 2) 180° 360°
那n边形的外角和是多少呢？
新知讲解
n 边形外角和
－(n－2)×180°
= 360°.
= n 个平角和－ n 边形的内角和
= n×180°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
n 边形的外角和又是多少呢？
在 n 边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做 n 边形的外角和．
思考：
归纳总结
n 边形的外角和等于 360°.
正n 边形的每一个外角都等于
外角和始终为定值，与边数无关
新知讲解
如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．
由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．
多边形的外角和等于360°
新知讲解
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.一个多边形截去一个角(不过顶点)后,形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是( )
A.13 B.14 C.15 D.13或15
2.一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.不能作为正多边形的内角的度数的是( )
A.120 B.130 C.135° D.144
C
D
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，那么这个多边形是____边形;
5.小华从A点出发向前直走50m后,向左转18°，继续向前走50m，再左转18°,他以同样走法回到A点时，共走_______m;
6.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880°，那么它的内角为_______.
十
1000
160°
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.
解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7
＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7
＝五边形的内角和
＝540°.
8
9
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8.一个正多边形的一个外角比一个内角小90°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的每个内角是 x°，相邻外角是 y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是 360°，
则该正多边形的边数为 360÷45 = 8.
故这个多边形的每个内角的度数是 135°，边数是八条．
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.如图，在五边形 ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数．
解：∵∠EAB +∠ABC +∠C +∠D +∠E = 540°，
∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，
∴∠EAB +∠ABC = 540° - 100° - 75° - 135° = 230°.
∵AP 平分∠EAB，∴∠PAB ＝∠EAB.
同理可得∠ABP ＝∠ABC.
∵∠P +∠PAB +∠PBA = 180°，
∴∠P = 180°-∠PAB-∠PBA
= 180° (∠EAB+∠ABC) = 180° ×230° = 65°．
课堂总结
多边形的内角和
内角和计算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
正多
边形
内角= ，外角=
板书设计
多边形的内角和
n边形的内角和：
n边形内角和＝（n-2）×180°
n边形的外角和：
多边形的外角和等于360°
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °
D
2.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °
B
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.一个多边形截去一个角，形成一个新多边形，新多边形的
内角和为2520°.原多边形的边数是多少？
解：2520°÷180°＋2＝16，
所以新多边形为十六边形．
故原多边形的边数为15，16或17.
作业布置
【综合拓展类作业】
4.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得的内角和为1 125°，
当发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角．这个内角是
多少度？他求的是几边形的内角和？
解：设此多边形的内角和为x°，则有：
1125因为x°为多边形的内角和，
所以它应为180°的整数倍．
所以x＝180×7＝1260.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此这个内角是135°，他求的是九边形的内角和．
谢谢
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十一章
课标要求 1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念；了解三角形的稳定性.2.探索并证明“三角形任意两边之和大于第三边”，了解三角形重心的概念.3.探索并证明三角形内角和定理，掌握它的推论.4.三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和.5.了解多边形、凹、凸多边形、正多边形、多边形的内角、外角、对角线等基本概念.6.经历探索多边形内角和与外角和公式的过程,体会数学与现实生活的联系.7.掌握多边形内角和公式的推导，并能运用公式解决些实际问题.8.难点掌握多边形内角和公式,并能运用多边形内角和公式和外角和结论解决问题.
内容分析 首先结合引言中的实际例子抽象得出三角形的概念.进而通过由表及里的寻找特征，研究三角形的分类.对于三角形的边，证明了三角形两边的和大于第三边，接下来，给出了三角形的高、中线与角平分线的概念，结合三角形的中线介绍了三角形的重心的概念，最后结合实际例子介绍三角形的稳定性.对于三角形的内角，通过动手操作、观察实验推理论证得出三角形内角和定理.然后由这个定理推出直角三角形的性质；直角三角形的两个锐角互余，最后给出三角形的外角的概念，并由三角形内角和定理推出，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.以三角形的有关概念和性质为基础，类比得出多边形的有关概念与多边形的内角和，外角和公式，三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形介绍多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来.三角形是最简单的多边形.因而常常将多边形分为几个三角形，利用三角形的性质研究多边形，多边形的内角和公式就是利用上述方法得到的，将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排.可以加强它们之间的联系，便于学生学习.
学情分析 "三角形”是《课程标准》”几何与图形”的重要内容.在第四章《几何图形初步》、第五章《相交线与平行线》中,学生已经学习了直线、线段、射线、角等基本的平面图形,研究了两条直线的位置关系:平行与相交.本章知识是在此基础上,全面研究三角形的有关线段、有关的角,以及多角形的有关线段、有关的角.既是已学知识的深入,同时也是今后学习“全等三角形”、"特殊三角形” 、"四边形” 等内容的重要基础。
单元目标 （一）教学目标1.知道三角形的有关概念以及三角形的分类, 初步体会分类思想；掌握三角形的任意两边之和大于第三边”的性质2.通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高(所在直线)的交点情况.3.通过对三角形的内角和的探究,经历操作、归纳、猜测和说理证实的过程,感知数学探索和科学发现的方法；掌握三角形内角和的性质，了解直观经验与理性思考的联系和区别.4.理解三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和.5.在参与知识形成和运用所学知识解决问题的活动中,增强推理意识,丰富几何语言,体会几何演绎思想和逻辑推理方法，了解逻辑推理的叙述方式和表达要求.（二）教学重点、难点教学重点：三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式.教学难点：三角形内角和等于180°的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及与简单的平面镶嵌设计.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1与三角形有关的线段311.2与三角形有关的角211.3多边形及其内角和2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务11.1.1三角形的边1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类.2.掌握三角形的三边关系. 3.运用三角形三边关系解决有关的问题.学生能够认识三角形并了解三角形的分类能掌握三角形三边关系并运用三边关系解决问题任务1.引言得出三角形有关概念任务2.探究三角形三边关系任务3.出示例题任务4.归纳总结11.1.2三角形的高，中线与角平分线1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.学生会画三角形的高，中线，角平分线；并且能根据概念解决问题任务1：由实际问题引出三角形的高任务2：探究三角形中线的概念以及中线的相关知识任务3：三角形角平分线的概念以及画法与运用 11.1.3三角形稳定性1.了解三角形的稳定性. 2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性在实际生活中的应用.了解三角形的稳定性任务1：由实例引出三角形的稳定性任务2：举例任务3：例题11.2.1三角形内角和1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.2.会运用三角形内角和定理进行计算. 学生会证明三角形的内角和定理，会运用内角和进行计算任务1：思考三角形内角和任务2：探究三角形内角和定理任务3：通过例题掌握三角形内角和定理。11.2.2三角形外角1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角.2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和． 3.会利用三角形的外角性质解决有关问题.学生掌握三角形外角的概念，以及掌握三角形外角的性质，利用三角形外角性质和外角和解决实际问题任务1：引出三角形外角的概念任务2：探究三角形外角的性质任务3：由实例得出三角形外角和任务4：例题 11.3.1多边形1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形。2.掌握正多边形的概念。3.会求多边形的对角线的条数。学生掌握多边形的概念以及正多边形的概念；会求多边形对角线的条数任务1.多边形的概念任务2.探究多边形对角线任务3.认识正多边形11.3.2多边形内角和1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.学生能够熟练掌握多边形内角和公式的探究，并能利用多边形内角和和外角和解决问题任务1：探究多边形的内角和公式任务2：例题解析任务3：认识多边形外角和
《第十一章 三角形》单元教学设计
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