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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十一章
课标要求 1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念；了解三角形的稳定性.2.探索并证明“三角形任意两边之和大于第三边”，了解三角形重心的概念.3.探索并证明三角形内角和定理，掌握它的推论.4.三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和.5.了解多边形、凹、凸多边形、正多边形、多边形的内角、外角、对角线等基本概念.6.经历探索多边形内角和与外角和公式的过程,体会数学与现实生活的联系.7.掌握多边形内角和公式的推导，并能运用公式解决些实际问题.8.难点掌握多边形内角和公式,并能运用多边形内角和公式和外角和结论解决问题.
内容分析 首先结合引言中的实际例子抽象得出三角形的概念.进而通过由表及里的寻找特征，研究三角形的分类.对于三角形的边，证明了三角形两边的和大于第三边，接下来，给出了三角形的高、中线与角平分线的概念，结合三角形的中线介绍了三角形的重心的概念，最后结合实际例子介绍三角形的稳定性.对于三角形的内角，通过动手操作、观察实验推理论证得出三角形内角和定理.然后由这个定理推出直角三角形的性质；直角三角形的两个锐角互余，最后给出三角形的外角的概念，并由三角形内角和定理推出，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.以三角形的有关概念和性质为基础，类比得出多边形的有关概念与多边形的内角和，外角和公式，三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形介绍多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来.三角形是最简单的多边形.因而常常将多边形分为几个三角形，利用三角形的性质研究多边形，多边形的内角和公式就是利用上述方法得到的，将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排.可以加强它们之间的联系，便于学生学习.
学情分析 "三角形”是《课程标准》”几何与图形”的重要内容.在第四章《几何图形初步》、第五章《相交线与平行线》中,学生已经学习了直线、线段、射线、角等基本的平面图形,研究了两条直线的位置关系:平行与相交.本章知识是在此基础上,全面研究三角形的有关线段、有关的角,以及多角形的有关线段、有关的角.既是已学知识的深入,同时也是今后学习“全等三角形”、"特殊三角形” 、"四边形” 等内容的重要基础。
单元目标 （一）教学目标1.知道三角形的有关概念以及三角形的分类, 初步体会分类思想；掌握三角形的任意两边之和大于第三边”的性质2.通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高(所在直线)的交点情况.3.通过对三角形的内角和的探究,经历操作、归纳、猜测和说理证实的过程,感知数学探索和科学发现的方法；掌握三角形内角和的性质，了解直观经验与理性思考的联系和区别.4.理解三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和.5.在参与知识形成和运用所学知识解决问题的活动中,增强推理意识,丰富几何语言,体会几何演绎思想和逻辑推理方法，了解逻辑推理的叙述方式和表达要求.（二）教学重点、难点教学重点：三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式.教学难点：三角形内角和等于180°的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及与简单的平面镶嵌设计.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1与三角形有关的线段311.2与三角形有关的角211.3多边形及其内角和2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务11.1.1三角形的边1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类.2.掌握三角形的三边关系. 3.运用三角形三边关系解决有关的问题.学生能够认识三角形并了解三角形的分类能掌握三角形三边关系并运用三边关系解决问题任务1.引言得出三角形有关概念任务2.探究三角形三边关系任务3.出示例题任务4.归纳总结11.1.2三角形的高，中线与角平分线1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.学生会画三角形的高，中线，角平分线；并且能根据概念解决问题任务1：由实际问题引出三角形的高任务2：探究三角形中线的概念以及中线的相关知识任务3：三角形角平分线的概念以及画法与运用 11.1.3三角形稳定性1.了解三角形的稳定性. 2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性在实际生活中的应用.了解三角形的稳定性任务1：由实例引出三角形的稳定性任务2：举例任务3：例题11.2.1三角形内角和1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.2.会运用三角形内角和定理进行计算. 学生会证明三角形的内角和定理，会运用内角和进行计算任务1：思考三角形内角和任务2：探究三角形内角和定理任务3：通过例题掌握三角形内角和定理。11.2.2三角形外角1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角.2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和． 3.会利用三角形的外角性质解决有关问题.学生掌握三角形外角的概念，以及掌握三角形外角的性质，利用三角形外角性质和外角和解决实际问题任务1：引出三角形外角的概念任务2：探究三角形外角的性质任务3：由实例得出三角形外角和任务4：例题 11.3.1多边形1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形。2.掌握正多边形的概念。3.会求多边形的对角线的条数。学生掌握多边形的概念以及正多边形的概念；会求多边形对角线的条数任务1.多边形的概念任务2.探究多边形对角线任务3.认识正多边形11.3.2多边形内角和1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.学生能够熟练掌握多边形内角和公式的探究，并能利用多边形内角和和外角和解决问题任务1：探究多边形的内角和公式任务2：例题解析任务3：认识多边形外角和
《第十一章 三角形》单元教学设计
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分课时教学设计
第六课时《11.3.1多边形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课作为第三节，起着承上启下的作用.在内容上，从三角形的内角和到多边形的内角和，再将内角和公式应用于平面镶嵌，环环相扣，层层递进，这样编排易于激发学生的学习兴趣，很适合学生的认知特点.通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法.
学习者分析 本节课是以三角形的内角和知识为基础，通过组织学生观察、类比、推理等数学活动，引导学生探索多边形的性质.通过多种转化方法的探究让学生深刻体验化归思想，以及分类、数形结合的思想，从特殊到一般的认识问题的方法，发展学生合情推理能力和语言表达能力.
教学目标 1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角. 2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和． 3.会利用三角形的外角性质解决有关问题
教学重点 了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形的形状的辨别。
教学难点 理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 观察图中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以由一些线段 围成的图形的形象，你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？ 学生活动1： 学生思考，回答问题 活动意图说明：以生活中学生十分熟悉的画面引入，然后教师引导学生从原有的对多边形的认知体验出发，通过对比学习新知识，并通过让学生列举生活中的多边形实例，使学生体会到生活中处处有数学．环节二：新知探究教师活动2： 提问：什么是三角形？ 三角形的概念： 在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 多边形的概念： 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 提出问题1:回想三角形的表示方法，多边形应如何表示 问题2：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的顶点、边、内角、外角和对角线。 问题3:三角形有对角线吗 为什么 学生活动2： 学生回答三角形的概念, 引导学生说出什么是多边形。 同桌之间互相说出多边形的相关概念；同桌之间画一个任意的多边形并指出它的顶点、边、内角、外角、对角线。 活动意图说明：让学生进一步强化对对角线的概念中“连接不相邻的两个顶点的线段”的理解，为研究n边形从一个顶点出发的对角线条数和n边形的对角线总数作铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 提出问题1：画出三角形、四边形、五边形、六边形、多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数；它们把这个多边形分成了几个三角形？ 从四边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将四边形分成 个三角形 从五边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将五边形分成 个三角形. 从六边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将六边形分成 个三角形. 从n边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将n边形分成 个三角形. 问题2：写出它们对角线的总条数？如果不行，请画出所有对角线。并猜想n边形从一个顶点出发能画几条对角线？能把这个n边形分成几个三角形？说说想法。 学生活动3： 独立完成表格，小组讨论“如何才能又对又快地画出多边形的所有对角线”，最早完成的小组代表在黑板上展示。 活动意图说明：引导学生分别从“数”和“形”的角度，探究多边形的边数、从一个顶点出发的对角线条数、分成的三角形的个数、总的对角线条数之间的关系，并从中体会具体到抽象的研究问题的方法，感悟化归思想的作用，也为下一节课探究n边形内角和公式作铺垫。环节四：典例精析教师活动4： 例、过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21,求这个多边形的边数. 学生活动4： 有思路的同学独立解答，没有思路的同学小组讨论。并请一位同学汇报结果。 解：设这个多边形为n边形,则有(n-3)条对角线,所分得的三角形个数为n-2. ∴n-3+n-2=21， 解得n=13． 答：该多边形的边数有13条． 活动意图说明：进一步巩固所学新知，加强学生对多边形相关概念的理解．环节五：新知讲解教师活动5： 下列两个多边形有何异同呢？ 凸多边形的判断方法： 画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.反之，则是凹多边形.本节只讨论凸多边形. 学生活动5： 学生观察图，回答问题活动意图说明：让学生了解凸多边形的概念。环节六：新知讲解教师活动6： 提出问题1:观察下列图形,它们的边、角有什么特点 请用自己的语言说明什么是正多边形 问题2：判断一个n边形是正n边形的条件。 各个角都相等，每条边也都相等的多边形叫做正多边形.学生活动6： 探究正多边形的概念及基本性质 活动意图说明：让学生类比正方形学习正多边形的定义，类比正三角形学习正多边形的条件，提高学生的学习能力。
板书设计 一、多边形的组成元素： 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线是组成多边形的关键元素. 二、重要结论： 1.从n边形的一个顶点出发，能引出(n﹣3)条对角线； 2.经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n﹣2)个三角形； 3. n边形一共有条对角线.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则它是（ ） A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形 2．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 3.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 边形. 4.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形. 选做题： 5.如图所示，是一个正方形的纸片，如果纸片剪下一个角后，问纸片还剩几个角 剩下的纸片是几边形 它共有几条对角线 6.已知从n边形的一个顶点出发共有2条对角线，该n边形的周长为45，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长． 【综合拓展类作业】 7.已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求 的值．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它是（ ） A.十五边形 B.十四边形 C.十三边形 D.十二边形 2.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 选做题： 3.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC ______S△ABD（填“＞”“＜”“＝”）. 【综合拓展类作业】 4.(1)如图①，O为四边形ABCD内一点，连接OA，OB，OC，OD，可以得到几个三角形？得到的三角形个数与边数有何关系？ (2)如图②，点O在五边形ABCDE的AB边上，连接OC，OD，OE，可以得到几个三角形？得到的三角形个数与边数有何关系？ (3)如图③，过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？得到的三角形个数与边数有何关系？
教学反思 整节课的教学是由情境引入、概念类比、探究、新知应用构成，学生在探究的过程中完成了新知的生成，在新知应用和课堂检测环节完成了新知的巩固。本节课学生还获得了类比的学习体验，积累了丰富的数形结合的数学经验，学生的思维始终处于积极的思考中，同时也获得了交流和合作的乐趣。
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11.3.1多边形
人教版八年级上册
教材分析
本节课作为第三节，起着承上启下的作用.在内容上，从三角形的内角和到多边形的内角和，再将内角和公式应用于平面镶嵌，环环相扣，层层递进，这样编排易于激发学生的学习兴趣，很适合学生的认知特点.通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法.
教学目标
1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角.
2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和．
3.会利用三角形的外角性质解决有关问题
新知导入
观察图中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以
由一些线段围成的图形的形象，你能从图中想象出几个由一些
线段围成的图形吗？
新知讲解
三角形的概念：
在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
多边形的概念：
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
新知讲解
多边形用图形名称以及它的各个顶点的大写字母表示，字母按照顶点的顺序书写，可以顺时针也可以逆时针.
例如：五边形ABCDE.
A
C
B
E
D
多边形表示方法：
新知讲解
顶点
内角
边
可表示为：
五边形ABCDE或五边形DCBAE
A
C
D
E
外角
：多边形相邻两边组成的角
内角的邻补角
组成多边形的各条线段
相邻两条边的公共端点
新知讲解
思考：
多边形怎么分类？
多边形按边数可分为：三角形，四边形，五边形等，其中三角形是最简单的多边形.
n 边形有 n 个顶点，n 条边，n 个内角，2n 个外角．
三角形有3个顶点，3条边，3个内角、6个外角；
四边形有4个顶点，4条边，4个内角、8个外角...
新知讲解
★多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 图中，AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段.
思考：五边形ABCDE共有几条对角线？请画出它的其他对角线.
多边形的对角线通常用虚线表示.
新知讲解
思考：
从四边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,
它将四边形分成 个三角形
从五边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将五边形分成 个三角形.
从六边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将六边形分成 个三角形.
1
2
2
3
3
4
从n边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将n边形分成 个三角形.
n-3
n-2
新知讲解
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形（n≥3）
从同一顶点引出的对角线条数 0 1 2 3 5 n-3
分割出的三角形个数 1 2 3 4 6 n-2
共有几条对角线 0 2 5 9 20 n（n-3）/2
归纳总结
从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.
n(n≥3)边形共有对角线条.
典例精析
例、过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21,求这个多边形的边数.
解：设这个多边形为n边形,则有(n-3)条对角线,所分得的三角形个数为n-2.
∴n-3+n-2=21，
解得n=13．
答：该多边形的边数有13条．
新知讲解
下列两个多边形有何异同呢？
凸多边形的判断方法：
画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 反之，则是凹多边形. 本节只讨论凸多边形.
新知讲解
等边三角形
正方形
等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等.
像这样各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做什么呢？
正五边形
正六边形
正多边形的定义：
各个角都相等，每条边也都相等的多边形叫做正多边形.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则它是（ ）
A．十边形 B．十一边形
C．十二边形 D．十三边形
2．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
C
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 边形.
4.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形.
十三
六
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图所示，是一个正方形的纸片，如果纸片剪下一个角后，问纸片还剩几个角 剩下的纸片是几边形 它共有几条对角线
解:剪下一个角后，剩余的纸片有三种情形:
(1)有5个角，是五边形，共有5条对角线;
(2)有3个角，是三角形,没有对角线;
(3)有4个角，是四边形，共有2条对角线.
【点睛】一个n边形截去一个角后，n边形的边数可能为n条、(n-1)条、 (n+1)条.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.已知从n边形的一个顶点出发共有2条对角线，该n边形的周长为45，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．
解：由n-3=2得n=5，
设边长为x-2，x-1，x，x+1，x+2，
则5x=45，
解得x=9．
答：各边之长为7，8，9，10，11.
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求 的值．
解：依题意有n=4+3=7，
m=6+2=8，
t=63÷7=9，
则(n﹣m)t=(7﹣8)9=﹣1．
课堂总结
多边形
定义
前提条件是在一个平面内
对角线
它是多边形的一条重要线段，在今后通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题
正多
边形
定义既是判定也是性质
板书设计
多边形
★多边形的组成元素：
多边形的顶点、边、内角、外角、对角线是组成多边形的关键元素.
※重要结论：
1.从n边形的一个顶点出发，能引出(n﹣3)条对角线；
2.经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n﹣2)个三角形；
3. n边形一共有条对角线.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它是（ ）
A.十五边形 B.十四边形
C.十三边形 D.十二边形
A
2.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC ______S△ABD（填“＞”“＜”“＝”）
＝
作业布置
【综合拓展类作业】
4.(1)如图①，O为四边形ABCD内一点，连接OA，OB，OC，OD，可以得到几个三角形？得到的三角形个数与边数有何关系？
解：可以得到4个三角形，得到的三角
形个数与边数相等．
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)如图②，点O在五边形ABCDE的AB边上，连接OC，OD，OE，可以得到几个三角形？得到的三角形个数与边数有何关系？
可以得到4个三角形，得到的三角形个数为边数减1.
(3)如图③，过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？得到的三角形个数与边数有何关系？
可以得到4个三角形，得到的三角形个数为边数减2.
谢谢
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