课件20张PPT。数系的扩充与复数的概念 时间:2007/10/31中学高二数学备课组数系的扩充创设情景，探究问题
因度量的需要C古老的问题:“正方形的对角线是个‘奇怪’的数” 则可用反证法证明 在有理数集
中无解我们知道一元二次方程 x2 +1=0在实数集范围内无解．引入一个新数：合情推理，类比扩充
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i2??1；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。 引入新数，完善数系 ②复数Z=a+bi (a∈R， b∈R )把实数a，b叫做
复数的实部和虚部。1、定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复数,其中i叫虚数单位。③全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。注意:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi （a∈R，b∈R)可记作:z =a+bi （a∈R，b∈R），把这一表示形式叫做复数的代数形式。
复数有关概念其中 称为虚数单位。观察复数的代数形式当a= 0 且b= 0 时，则z=0当b= 0 时，则z为实数
当b ≠0 时，则z为虚数
当a= 0 且b ≠0时，则z为纯虚数
2、复数a+bi3.复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？ 思 考？复数集虚数集实数集纯虚数集 复数的分类1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。5 +802、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则z= a 一定不是虚数即时训练，巩固新知 典例讲解，变式拓展 变式1:复数 当实数m= 时
z为纯虚数；当实数m= 时z为零。 变式练习: 实数m取什么值时，复数 z=mi2+1-mi
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？解:（1）当-m =0 ，即m=0 时，复数z 是实数．（2）当 –m≠0 ，即m≠0 时，复数z 是虚数．复数相等的定义 根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和 c+di 相等规定为a+bi = c+di 如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相 等或不相等。
例2 已知 ，其中 求x与y?1、若x，y为实数，且
求x，y变式：解题思考：复数相等的问题转化求方程组的解的问题一种重要的数学思想：转化思想变式2、已知两个复数x2-1+(y+1)i大于2x+3+(y2-1)i试求实数x,y的取值范围变式3、已知实数x与纯虚数y满足2x-1
+2i=y,求x,y。
1.虚数单位i的引入；课堂小结作业布置作业本B本上:1、3、5、6、8、9、10再 见关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
数系的扩充创设情景，探究问题因计数的需要因不够减的需要，引入负数
因测量、分配中的等分问题引入分数
(分数集?有理数集?循环小数集)
实数集?小数集?
因度量的需要 提出问题：根据前面数系扩充的资料你能设想一种方法，使方程x2 + 1 =0有解吗?提示:每一次数的扩充都是在遇到了用原有的数系不能表示所要解决的问题时，引入新数来表示新的问题的。
合情推理，类比扩充课件8张PPT。复数加法的几何意义 在物理学中，我们知道两个力的合成－－两个向量的和满足平行四边形法则。既然复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性？问题提出：问题剖析：X思路分析:思路一:考察OZ是否对应z1+z2?
思路二:考察z1+z2是否对应OZ ?
教科书采用的是思路一,我们这里采用思路二.
我们设z1=a+bi z2=c+di
则z1+z2=(a+c)+(b+d)I
Z1Z2XYOZ如何作出与z1+z2对应的向量?
先作出(a+c)+bi
再作出(a+c)+(b+d)I
证明的关键: 如何证明OZ2与Z1Z平行?
法一:用平面几何的知识延长ZZ1法二:用解析几何的斜率上述结论的意义:
一、我们可以用复数的加法来解决向量的加法
二、可以用向量的加法来表示复数的加法
三、虚数越来越实在了。意义作业：Ｐ189.2课件24张PPT。1复数的加减法高二 数学2复数的加法与减法3一、复数加法与减法的运算法则复数的加法与减法(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i 很明显，两个复数的和仍然是一个复数 1、复数加法的运算法则4(a+bi )－(c+di) = x+yi ，2、复数减法的运算法则复数减法规定是加法的逆运算(c+di )+(x+yi) = a+bi ， ∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i一、复数加法与减法的运算法则5例1、计算(2－3i )+(-8－3i) － (3－4i)= -9－2i .一、复数加法与减法的运算法则6一、复数加法与减法的运算法则思考：设Z =a+bi (a,b∈R ) 7一、复数加法与减法的运算法则8二、复数加法与减法运算的几何意义1、复数加法的运算的几何意义9二、复数加法与减法运算的几何意义 =OP+OQ=a+c ∴ 点Z (a+c, b+d) ,10二、复数加法与减法运算的几何意义11二、复数加法与减法运算的几何意义2、复数减法的运算的几何意义12二、复数加法与减法运算的几何意义13二、复数加法与减法运算的几何意义14二、复数加法与减法运算的几何意义15所以第三顶点C对应的复数是2+3i, -8-i , 8+i .二、复数加法与减法运算的几何意义16二、复数加法与减法运算的几何意义3、复平面内两点间距离=d17二、复数加法与减法运算的几何意义例4、用复数表示圆心在点P，半径为r的圆的方程。18二、复数加法与减法运算的几何意义直线OC的方程是y=-x，圆C的方程是19二、复数加法与减法运算的几何意义20二、复数加法与减法运算的几何意义思考题1、已知复Z 满足|Z|=1，求|Z+1-2i|的最大值与最小值。分析：∵ |Z+1-2i|=|Z -(-1-2i)|21二、复数加法与减法运算的几何意义22二、复数加法与减法运算的几何意义23作业基础题
习题二十七
1、2、3、4、5
提高题
习题二十七
6、7、8、924复数的加法与减法谢 谢课件5张PPT。复数的向量表示 一、概念
二、例题一、概念1、向量——既有绝对值大小又有方向的量
2、向量的模——有向线段的长度就是这个向量的绝对值
3、相等向量——模相等且方向相同的向量（不管它们的起点在哪里）
4、零向量——模相等、方向任意5、 复数z=a+bi
一一对应 一一对应
点Z(a,b) 向量OZ
一一对应6、向量OZ的模r——有向线段OZ的长度叫复数的模（或绝对值）。
记作|z|或|a+bi|
特例：b=0时,|z|=| a|.
计算公式：
|z|=|a+bi|=r= √a2+b2yxoZab二、例题
例1、求复数z1=3+4i及z2= 的模，并且比较它们的模的大小。
例2、设z∈C，求满足下列条件的点的集合是什么图形？
（1）|z|=4
（2）2<|z|<4课件17张PPT。 引言：在人和社会的发展过程中，常常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。符合客观发展规律的要发扬和完善，不符合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复数集发展的过程中，我们应该如何发扬和完善，否定和抛弃呢？(1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？(2)从复数的特点出发，寻找复数集新
的(实数集所不具有)性质和特点？如何探索复数集的性质和特点？探索途径：实数集的一些性质和特点：(1) 实数可以判定相等或不相等；(2) 不相等的实数可以比较大小；(3) 实数可以用数轴上的点表示；(4) 实数可以进行四则运算；(5) 负实数不能进行开偶次方根运算；……复数的有关概念问题一问题二问题三问题四课堂小结问题一：你认为满足什么条件时，可以说这两个复数相等？对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈ R)， a=c,并且b=d，即实部与虚部分别相等时，叫这两个复数相等。记作a+bi=c+di。复数相等的内涵：复数a+bi可用有序实数对(a,b)表示。例1 设x，y∈R，并且
(2x–1)+xi=y–(3–y)i，求x，y。解题思考：复数相等的问题转化求方程组的解的问题一种重要的数学思想：转化思想问题二： 任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。xo1问题三： 你能否找到用来表示复数的几何模型呢？实数可以用数轴上的点来表示。一一对应 规定了正方向，直线数轴原点，单位长度实数 数轴上的点 (形)(数)(几何模型)复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面 (简称复平面)一一对应z=a+bi概念辨析例题问题四：实数绝对值的几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa| a | = | OA | 实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。xOz=a+biy| z | = |OZ|复数的绝对值 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。(复数的模)的几何意义:Z (a,b) 例3 求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i(3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？思考：(2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？(4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)(1)复数的模能否比较大小？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 图示课堂小结：一. 数学知识：二. 数学思想：三. 数的发展和完善过程给我们的启示：(1)复数相等(2)复平面(3)复数的模(3)类比思想(2)数形结合思想(1)转化思想课题：复数的有关概念作业：数学练习册：
第16页 3，4，5，6，7(A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。辨析：1．下列命题中的假命题是（ ）D 2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件C例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。解题思考：表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想xyO设z=x+yi(x,y∈R) 满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–5
