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专题12.2.1 全等三角形的判定（SSS、SAS、AAS、ASA、HL）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、判定方法1：边边边（SSS）
1．如图，在和中，，，要利用“”证明，需增加的一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
因此还需增加，
A：，无法证明，不符合题意；
B：，无法证明，不符合题意；
C：，可证得，符合题意；
D：，无法证明，不符合题意；
故选C．
2．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由“”可以判定两个三角形全等，
，，
，
故选C．
3．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解析】设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A，B两点；
画一条射线b，端点为M；
以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线b于C点；以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；
作射线MD．
则∠COD就是所求的角．
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS．
故选D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
又∵AB=AC，AD为公共边
∴△ABD≌△ACD（SSS），故①正确，
∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
5．如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】A
【解析】如图，连接EC、DC．
根据作图的过程知，OE=OD，CE=CD，
在△EOC与△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SSS）．
故选A．
6．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝ °．
【答案】130
【解析】证明：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠D＝∠B，
∵∠B＝130°，
∴∠D＝130°，
故答案为：130．
7．如图，在正方形方格纸中，∠α与∠β的度数和为 ．
【答案】90°
【解析】在△ABC和DEF中，
，
∴△DAE≌△CAB（SSS），
∴∠1＝∠α，
∵∠2+∠α＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
8．如图，△ABC中，∠A＝23°，∠B＝57°，以点A为圆心，BC长为半径作弧；以点B为圆心，AC长为半径作弧，两弧相交于点D，则∠DBC的度数为 ．
【答案】34°
【解析】由作图可知，BC＝AD，AC＝BD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS），
∴∠ABD＝∠BAC＝23°，
∵∠ABC＝57°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝57°﹣23°＝34°，
故答案为：34°．
9．如图，在与中，与相交于点，若，，，，，则的度数为______．
【答案】50°
【解析】在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A=∠B，∠ACD=∠BCE，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠ACD+∠BCE=∠BCD+∠ACE=155°+55°=210°，
∴∠BCE=∠ACD=105°，
∴∠ACB=∠BCE-∠ACE=105°-55°=50°，
∵∠A=∠B，∠1=∠2，
∴∠APB=∠ACB=50°，
故答案为50°．
10．如图，已知，，为上任意一点，过点作一条直线分别交，的延长线于点，．求证：．
【解析】证明：∵
，
，
，
．
11．如图，点A、F、C、D在一条直线上，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解析】证明：（1）∵点A、F、C、D在一条直线上，，
∴．
在与中
∴，
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠BCA＝∠EFD，
∴，
∴．
12．如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF.
(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【解析】（1）∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SSS）.
（2）成立.理由如下：
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SSS）.
（3）AD与CB不一定平行，理由如下：
∵只给了两组对应相等的边，
∴不能判定△ADE≌△CBF，
∴不能判定∠A与∠C的大小关系，
∴AD与CB不一定平行.
13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C，作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．
（1）试证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有与全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间和G点的移动距离．
【解析】（1）证明：在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB(SSS)
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）由已知得：DE=t，F从C→B移动时BF=8-3t；F从B→C移动时，BF=3t-8；
i）当△DEG≌△BFG时，DE=BF，DG=BG;
即：t=8-3t 或t=3t-8 解得t=2或t=4
BG=DG=BD=×12=6；
ii）当△DEG≌△BGF时，DE=BG，DG=BF，
∴t+(3t-8)=12或t+(8-3t)=12 解得t=5或t=-2(不合题意，舍去）
t=5时BG=t=5.
综上可得，出现3次全等，t=2，BG=6或t=4，BG=6或t=5，BG=5
14．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．
（1）求证：平分；
（2）继续测量得，求得度数．
【解析】（1）证明：在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC平分∠AOB；
（2）∵△OMC≌△ONC，∠MCN=30°，
∴∠MCO=∠NCO=15°，
∵∠AMC=∠MCO+∠MOC=50°，
∴∠MOC=50°-15°=35°，
∴∠AOB=2∠MOC=70°．
二、判定方法2：边角边（SAS）
1．如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，由此可得下列哪组三角形全等（ ）
A．△ABC≌△BAD B．△AOC≌△AOB
C．△BOD≌△AOB D．没有三角形全等
【答案】A
【解析】∵在△DAB和△CBA中
，
∴△DAB≌△CBA（SAS），故选A．
2．如图△ABC，AB＝7，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围为（ ）
A．4＜AD＜10 B．2＜AD＜5 C．1＜AD D．无法确定
【答案】B
【解析】如图，延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝7，AC＝3，
∴7﹣3＜AE＜7+3，即4＜AE＜10，2＜AD＜5．
故选B．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝112°，E，F，D分别是AB，AC，BC上的点，且BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF的度数为（ ）
A．30° B．34° C．40° D．56°
【答案】B
【解析】∵AB＝AC，∠A＝112°，
∴∠B＝∠C＝34°，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BED＝∠CDF，∠BDE＝∠CFD，
∴∠BED+∠BDE＝∠CDF+∠CFD，
∵∠BED+∠B＝∠CDE＝∠EDF+∠CDF，
∴∠B＝∠EDF＝34°，
故选B．
4．已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D．下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠C＝∠EFA，
∴∠EAB＝∠FAC，∠AFC＝∠C，
∴∠EFA＝∠AFC，
即FA平分∠EFC．
又∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，
∴∠BFE＝∠FAC．
故①②③④正确．
故选D．
5．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠2＝25°，则∠3＝ ．
【答案】45°
【解析】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+20°＝45°．
故答案为：45°．
6．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为 ．
【答案】82°
【解析】∵AC平分∠DCB，
∴∠BCA＝∠DCA，
又∵CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠D，
∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD，
∵∠CAE＝∠D+∠ACD＝49°，
∴∠B+∠ACB＝49°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CAE＝82°，
故答案为：82°．
7．如图，已知∠ACB＝∠DBC，要用“SAS”判断△ABC≌△DCB，需添加的一个条件： ．
【答案】AC＝BD
【解析】添加的条件是：AC＝BD，
理由是：∵在△ABC和△DCB中
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故答案为：AC＝BD．
8．如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝60°，∠BDE＝75°，则∠AFE的度数等于 ．
【答案】150°
【解析】∵∠DBE＝60°，∠BDE＝75°，
∴∠E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝60°，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠A＝∠E＝45°，
∵∠BDE＝∠A+∠AFD＝75°，
∴∠AFD＝30°，
∴∠AFE＝150°，
故答案为：150°．
9．如图，在2×2的方格中，∠1+∠2＝ °．
【答案】90．
【解析】如图，
由题意得：AB＝DE＝2，∠ADE＝∠CBA＝90°，AD＝CB＝1，
∴△ADE≌△CBA（SAS），
∴∠2＝∠BAC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠1＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是 ．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．
【答案】③⑤⑥
【解析】延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，
∴∠D＝∠ABG＝90°，
在△ADF和△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝70°，∠DAB＝140°，
∴∠DAF+∠EAB＝∠DAB﹣∠FAE＝140°﹣70°＝70°，
∴∠EAG＝∠EAB+∠BAG＝∠EAB+∠FAD＝70°，
∴∠FAE＝∠EAG＝70°，
在△FAE和△GAE中
，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，
∴EF＝EB+DF，∠FAE≠∠EAB，故⑤正确，④错误；
∴∠G＝∠EFA＝∠DFA，即AF平分∠DFE，故③正确；
∵CF+CE＞EF，EF＝DF+BE，
∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正确；
根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故①错误，②错误；
故答案为：③⑤⑥．
11．看图填空：已知：如图，BC∥EF，AD＝BE，BC＝EF，试说明△ABC≌△DEF．
解：∵AD＝BE
∴ ＝BE+DB；即： ＝DE
∵BC∥EF
∴∠ ＝∠ （ ）
在△ABC和△DEF中
BC＝EF（已知）
（ ）
（ ）
∴△ABC≌△DEF（ ）
【解析】∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
即：AB＝DE，
∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠E（两直线平行，同位角相等），
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AD+DB，AB，ABC，E，两直线平行，同位角相等，∠ABC＝∠E，已证，AB＝DE，已证，SAS．
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．
（1）求证：DE＝EF．
（2）当∠A＝36°时，求∠DEF的度数．
【解析】（1）证明：∵AD+EC＝AB，AD+BD＝AB
∴BD＝EC，
在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF；
（2）解：∵△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝∠C（180°﹣36°）＝72°，
由（1）知：△BDE≌△CEF
∴∠BDE＝∠CEF，
又∵∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，
∴∠DEF＝∠B＝72°．
13．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
【解析】（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝40°，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE＝40°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝40°；
（2）AD平分∠BDE，
理由是：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
∴∠B＝∠ADE，
∵∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
即AD平分∠BDE．
14．如图，在△ABC中AB＝AC，△AED中AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，AC与BD交于点O．
（1）试确定∠ADC与∠AEB间的数量关系，并说明理由；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
【解析】（1）∠ADC＝∠AEB，理由如下：
∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠ADC＝∠AEB
（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC
∵∠ABD＝∠ACD
∴∠BAC＝∠BDC
∵∠ACB＝65°，AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB＝65°
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°
∴∠BDC＝∠BAC＝50°
15．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．
（1）如图1，求证：△ABE≌△CDF．
（2）如图2，连接AD、BC、BF、DE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有全等的三角形（除△ABE全等于△CDF外）．
【解析】（1）证明：∵AF＝CE，
∴AF+EF＝CE+EF，
即AE＝CF，
∵BE∥DF，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）图2中的全等三角形有△ABC≌△CDA，△AFB≌△CED，△ADE≌△CBF，△ADF≌△CBE，
理由是：∵△ABE≌△CDF，
∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，
在△ABCHE△CDA中
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，
在△AFB和△CED中
，
∴△AFB≌△CED（SAS），
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
16．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F．
（1）如图1，直接写出AB与CE的位置关系；
（2）如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK．
【解析】（1）AB与CE的位置关系是垂直，AB⊥CE
（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△CED
∴AC＝CD，BC＝ED，∠E＝∠B
又∵∠ACB＝90°
∴∠ADC＝45°
又∵∠CDE＝90°
∴∠EDG＝∠HDG＝45°
∵CH＝DB
∴CH+CD＝DB+CH
即HD＝CB
∴HD＝ED
在△HGD和△EGD中
∴△HGD≌△EGD（SAS）
∴∠H＝∠E
又∵∠E＝∠B
∴∠H＝∠B
∴HK＝BK.
17．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
【解析】（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BCE＝90°，
即BC⊥CE；
（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠CDE＝90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（SAS）．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ADB＝90°，
∴∠ADB+∠DCE＝90°．
BD⊥CE．
三、判定方法3：角边角（ASA）、角角边（AAS）
1．如图，已知△ABD≌△ACE，下列说法错误的是（ ）
A．∠B＝∠C B．EB＝DC C．AD＝DC D．△EFB≌△DFC
【答案】C
【解析】∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C，AB＝AC，AE＝AD，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
∴BE＝CD，
在△EFB和△DFC中
∴△EFB≌△DFC（AAS），
无法证得AD＝DC，
∴正确的说法是A、B、D，错误的说法是C．
故选C．
2．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若BD＝1，CF＝3，则AB的长是（ ）
A．6 B． C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵FC∥AB，
∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，
又∵DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴CF＝AD＝3，
∴AB＝AD+BD＝4，
故选D．
3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
【答案】D
【解析】由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，这两个三角形完全一样的依据是ASA．
故选D．
4．如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6cm，OC＝4cm，则OB的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】A
【解析】∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠A＝∠C，CD＝AB，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA＝OC＝4cm，OB＝OD，
∵AD＝6cm，
∴OD＝AB﹣OA＝2cm，
∴OB＝OD＝2cm．
故选A．
5．如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有（ ）组．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∴若①②③为条件，不能证明△AFD≌△CEB，
若①②④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），
若①③④为条件，不能证明△AFD≌△CEB，
若②③④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），
故选C．
6．如图，D，E分别是AB，AC上的点，BE与CD交于点F，给出下列三个条件：①∠DBF＝∠ECF；②∠BDF＝∠CEF；③BD＝CE．两两组合在一起，共有三种组合：
（1）①②（2）①③（3）②③
问能判定AB＝AC的组合的是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
【答案】C
【解析】能判定AB＝AC的组合的是（2）（3），理由如下：
（1）①∠DBF＝∠ECF；②∠BDF＝∠CEF，
不能证明△ABE≌△ACD，没有相等的边；
∴不能判定AB＝AC；
（2）①∠DBF＝∠ECF；③BD＝CE，
在△BDF和△CEF中，，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BE＝CD，
在△ABE和△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（3）②∠BDF＝∠CEF；③BD＝CE，
同（2）得：△BDF≌△CEF（AAS），
∴∠DBF＝∠ECF，BF＝CF，DF＝EF，
∴BE＝CD，
在△ABE和△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
故选C．
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴BD＝CD，故②正确，
∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，故③正确，
在△CDE与△DBF中，，
∴△CDE≌△DBF（ASA），
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确，
∵AE＝2BF，
∴AE＝2CE，
∴AC＝AE+CE＝3CE＝3BF，故④正确；
故选D．
8．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有（ ）
①∠1＝∠2；
②BE＝CF；
③△ACN≌△ABM；
④CD＝DN；
⑤△AFN≌△AEM．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF，AF＝AE，故②正确，
∠BAE＝∠CAF，
∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，
∴∠1＝∠2，故①正确，
∵△ABE≌△ACF，
∴AB＝AC，
又∠BAC＝∠CAB，∠B＝∠C
△ACN≌△ABM（ASA），故③正确，
CD＝DN不能证明成立，故④错误
∵∠1＝∠2，∠F＝∠E，AF＝AE，
∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确，
故选C．
9．如图，∠A＝∠D，∠1＝∠2，要得到△ABC≌△DEF，添加一个条件可以是 ．
【答案】DF＝AC或CD＝AF
【解析】∵∠1＝∠2，∠D＝∠A，
∴要得到△ABC≌△DEF，必须添加条件DF＝AC或CD＝AF．
故答案为：DF＝AC或CD＝AF．
10．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【答案】AB＝ED
【解析】添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在△ABC和△EDF中
，
∴△ABC≌△EDF（ASA），
故答案为：AB＝ED．
11． 如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF＝6，AD＝4，则BD＝ ．
【答案】2
【解析】∵AB∥CF，
∴∠A＝∠FCE，
∠B＝∠F，
∵点E为BF中点，
∴BE＝FE，
在△ABE与△CFE中，
，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB＝CF＝6，
∵AD＝4，
∴BD＝2，
故答案为：2．
12．如图，已知△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，DE，∠C+∠AED＝180°，请你添加一个条件，使△BDE≌△BDC，你所添加的条件是 （只填一个条件即可）．
【答案】∠CBD＝∠EBD
【解析】添加的条件是：∠CBD＝∠EBD，
理由是：∵∠C+∠AED＝180°，∠DEB+∠AED＝180°，
∴∠C＝∠DEB，
在△BDE和△BDC中
，
∴△BDE≌△BDC（AAS），
故答案为：∠CBD＝∠EBD．
13．如图，在△ABC中，D为AB上一点，F为AC上一点，CE∥AB交DF的延长线于点E，若DF＝FE，求证：AD＝CE．
【解析】证明：∵CE∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADF＝∠E，
又∵DF＝FE，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴AD＝CE．
14．如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证：△AFB≌△DFE；
（2）若AB＝6，DC＝4CE，求CD的长．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠DEF，∠BAF＝∠D，
∵F为AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AFB和△DFE中，
，
∴△AFB≌△DFE（AAS），
（2）∵△AFB≌△DFE，
∴AB＝DE＝6，
∵DC＝4CE，
∴CE+6＝4CE，
∴CE＝2．
∴CD＝CE+DE＝2+6＝8．
15．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．作CG⊥DE于G，BF⊥DE，交DE的延长线于F．
（1）求证：EF＝EG．
（2）求证：AB＝CD．
【解析】证明：（1）∵CG⊥DE，BF⊥DE，
∴∠CGE＝∠BFE＝90°．
在△CGE和△BFE中，
∵∠CGE＝∠BFE，∠CEG＝∠BEF，BE＝CE，
∴△CGE≌△BFE（AAS），
∴EF＝EG．
（2）∵△CGE≌△BFE（AAS），
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，
∵∠BAF＝∠CDG，∠BFA＝∠CGD＝90°，BF＝CG，
∴△ABF≌△DCG（AAS），
∴AB＝CD．
16．（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．
（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．
【解析】（1）∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∵∠ABD+∠BAE＝90°，∠CAE+∠BAE＝90°
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝DE+CE；
（2）BD＝DE﹣CE；
∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝∠DAB+∠CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴AD+AE＝BD+CE，
∵DE＝BD+CE，
∴BD＝DE﹣CE．
四、判定方法4：直角三角形全等的判定（斜边、直角边——HL）
1．如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．EC＝FA B．DC＝BA C．∠D＝∠B D．∠DCE＝∠BAF
【答案】B
【解析】∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°，
∵DE＝BF，
∴当添加条件DC＝BA时，可利用“HL”证明△DEC≌△BFA．
故选B．
2．下列条件中，不一定能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．一对锐角和斜边对应相等
D．一对锐角相等，一组边相等
【答案】D
【解析】A、斜边和一直角边对应相等，运用的是HL判定全等，故本选项错误；
B、两条直角边对应相等，运用的是全等三角形判定定理中的SAS，可以证明两个三角形全等，故本选项错误；
C、一对锐角和斜边对应相等，运用的是全等三角形判定定理中的AAS，可以证明两个三角形全等，故本选项错误；
D、一对锐角相等，一组边相等，若是直角边与斜边，不一定全等，故本选项正确；
故选D．
3．如图，点C，E分别在BD，AC上，AC⊥BD，且AB＝DE，AC＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠A＝∠D C．∠EBC＝45° D．AB⊥DE
【答案】A
【解析】如图，延长DE交AB于点H，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠A＝∠D，BC＝CE，
∴∠EBC＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠D+∠ABC＝90°，
∴AB⊥DE，
故选A．
4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角中∠ABC＝32°，则∠DFE的度数是（ ）
A．32° B．62° C．58° D．68°
【答案】C
【解析】∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF＝32°，
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣32°＝58．
故选C．
5．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”．
【答案】HL
【解析】∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝∠BEC＝90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD＝EC，BC＝CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL．
6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
【答案】AB＝AC
【解析】还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
7．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
【答案】55°
【解析】如图，∵∠DFC+∠AFD＝180°，∠AFD＝145°，
∴∠CFD＝35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠CDF＝90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE＝∠CFD＝35°，
∴∠EDF+∠BDE＝∠EDF+∠CFD＝90°，
∴∠EDF＝55°．
故答案是：55°．
8．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝ 时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
【答案】10或20
【解析】∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝10时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝20时，
在△ABC和△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：10或20．
9．如图，AD⊥BC于D，AD＝BD，AC＝BE．
（1）请说明∠1＝∠C；
（2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系．
【解析】（1）∵AD⊥BC于D，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°．
∵AD＝BD，AC＝BE，
∴△BDE≌△ADC（HL）．
∴∠1＝∠C．
（2）由（1）知△BDE≌△ADC．
∴DE＝DC．
10．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．
求证：BC＝BE．
【解析】证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD＝EF．
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD＝BF．
∴BD﹣CD＝BF﹣EF．
即BC＝BE．
11．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
【解析】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
五、几种判定方法的综合
1．如图，已知AC＝AD，再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．∠C＝∠D＝90° B．∠BAC＝∠BAD C．BC＝BD D．∠ABC＝∠ABD
【答案】D
【解析】A、根据HL可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
B、根据SAS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
C、根据SSS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
D、根据SSA不能判定△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；
故选D．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
B．有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
C．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【解析】A、有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等，是“ASA”，说法正确；
B、两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，是“AAS”，说法正确；
C、有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等，是“SAS”，说法正确；
D、有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，说法错误；
故选D．
3．根据下列条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝1，BC＝2，CA＝3 B．AB＝5，BC＝6，∠A＝40°
C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70° D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°
【答案】D
【解析】A、AB＝1，BC＝2，CA＝3；
不满足三角形三边关系，本选项不符合题意；
B、AB＝5，BC＝6，∠A＝40°；
边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意；
C、∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°；
角角角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意；
D、AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°；
两边夹角三角形唯一确定．本选项符合题意；
故选D．
4．如图，已知∠DOB＝∠COA，补充下列条件后仍不能判定△ABO≌△CDO的是（ ）
A．∠D＝∠B，OB＝OD B．∠C＝∠A，OA＝OC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，OB＝OD
【答案】D
【解析】∵∠DOB＝∠COA，
∴∠DOB﹣∠BOC＝∠COA﹣∠BOC，
即∠DOC＝∠BOA，
A、根据∠D＝∠B、OB＝OD和∠DOC＝∠BOA能推出△ABO≌△CDO（ASA），故本选项不符合题意；
B、根据∠A＝∠C、OA＝OC和∠DOC＝∠BOA能推出△ABO≌△CDO（ASA），故本选项不符合题意；
C、根据OA＝OC、∠DOC＝∠BOA和OB＝OD能推出△ABO≌△CDO（SAS），故本选项不符合题意；
D、根据CD＝AB、OB＝OD和∠DOC＝∠BOA不能推出△ABO≌△CDO，故本选项符合题意；
故选D．
5．如图，已知线段AB与CD相交于点E，AC＝AD，CE＝ED，则图中全等三角形有 对．
【答案】3
【解析】在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SSS），
∴∠CAE＝∠DAE，
在△CAB和△DAB中，
∴△CAB≌△DAB（SAS），
∴BC＝BD，
在△BCE和△BDE中，
∴△BCE≌△BDE（SSS）．
∴图中全等三角形有3对．
故答案为：3．
6．如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
【答案】AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）
【解析】∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
7．如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，下面几个答案：①AE＝DF，②AE∥DF；③AB∥DC，④∠A＝∠D．其中正确的是 ．
【答案】①③
【解析】∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，
即BE＝CF，
①在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SSS），故①正确；
②∵AE∥DF，
∴∠AEB＝∠DFC，
根据AB＝CD，BE＝CF和∠AEB＝∠DFC不能推出△ABE≌△DCF，故②错误；
③∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），故③正确；
④根据AB＝CD，BE＝CF和∠A＝∠D不能推出△ABE≌△DCF，故④错误．
故答案为：①③．
8．如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N、M，OM＝ON，BM与AN交于点P．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
【答案】PM＝PN，∠PON＝∠POM（答案不唯一）
【解析】如PM＝PN，∠PON＝∠POM，∠OPN＝∠OPM，BN＝AM，OA＝OB．
从中选择边和角不同的结论即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM与Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠PON＝∠POM，PN＝PM，∠OPN＝∠OPM，
在△APM与△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（ASA），
∴BN＝AM，
∵OA＝AM+OM，OB＝BN+ON，
∴OA＝OB．
故答案为：PM＝PN，∠PON＝∠POM（答案不唯一）．
9．证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线且 ．
求证： ．
请补全已知和求证部分，并写出证明过程．
【解析】AD＝A'D'；Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（写成△ABC≌△A'B'C'也对）；
证明：∵∠C＝∠C'＝90°，AD＝A'D'，AC＝A'C'，
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'（HL），
∴CD＝C'D'．
∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，
∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点，
∴BC＝2CD，B'C'＝2C'D'，
∴BC＝B'C'，
在△ABC和△A'B'C'中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）．
10．如图，已知AB＝AD，AM＝AN，BM＝DN．
（1）△ABM与△ADN全等吗？请说明理由；
（2）请说明AC＝AE．
【解析】（1）解：△ABM≌△ADN．
理由如下：
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SSS）；
（2）证明：∵△ABM≌△ADN，
∴∠B＝∠D，∠BAM＝∠DAN，
∴∠BAM+∠EAC＝∠DAN+∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC＝AE．
11．如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：点O为BF的中点．
【解析】证明：（1）∵AB∥DF，
∴∠B＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DFE，
∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，
在△ACO和△DEO中，
，
∴△ACO≌△DEO（AAS），
∴EO＝CO，
∴点O为BF的中点．
12．如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上截取BF＝AC，延长CE至点G使CG＝AB，连接AF，AG．
（1）如图1，求证：AG＝AF；
（2）如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．
【解析】证明：（1）∵BD、CE分别是AC、AB两条边上的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACG，
在△AGC与△FAB中，，
∴△AGC≌△FAB（SAS），
∴AG＝AF；
（2）图中全等三角形有△AGC≌△FAB，由得出△CGH≌△BAD，
由得出Rt△AGH≌Rt△FAD，△ABD≌△CBD；△CBD≌△GCH．
13．如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．
（1）求出的度数；
（2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．）
（3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由．
【解析】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°
（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．
理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG
由（1）∠AFC＝120°得，
∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC＝AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，
同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
14．已知：等腰和等腰中，，，．
(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
(2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：；
(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 ．
【解析】(1)解：，
，即，
，
，
故答案为：；
(2)证明：如图2，延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
(3)解：如图3，延长至，使，连接、、，设交于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，，
在与中，
，
，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：16．
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专题12.2.1 全等三角形的判定（SSS、SAS、AAS、ASA、HL）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、判定方法1：边边边（SSS）
1．如图，在和中，，，要利用“”证明，需增加的一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
6．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝ °．
7．如图，在正方形方格纸中，∠α与∠β的度数和为 ．
8．如图，△ABC中，∠A＝23°，∠B＝57°，以点A为圆心，BC长为半径作弧；以点B为圆心，AC长为半径作弧，两弧相交于点D，则∠DBC的度数为 ．
9．如图，在与中，与相交于点，若，，，，，则的度数为______．
10．如图，已知，，为上任意一点，过点作一条直线分别交，的延长线于点，．求证：．
11．如图，点A、F、C、D在一条直线上，．
（1）求证：；
（2）求证：．
12．如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF.
(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C，作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．
（1）试证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有与全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间和G点的移动距离．
14．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．
（1）求证：平分；
（2）继续测量得，求得度数．
二、判定方法2：边角边（SAS）
1．如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，由此可得下列哪组三角形全等（ ）
A．△ABC≌△BAD B．△AOC≌△AOB
C．△BOD≌△AOB D．没有三角形全等
2．如图△ABC，AB＝7，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围为（ ）
A．4＜AD＜10 B．2＜AD＜5 C．1＜AD D．无法确定
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝112°，E，F，D分别是AB，AC，BC上的点，且BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF的度数为（ ）
A．30° B．34° C．40° D．56°
4．已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D．下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠2＝25°，则∠3＝ ．
6．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为 ．
7．如图，已知∠ACB＝∠DBC，要用“SAS”判断△ABC≌△DCB，需添加的一个条件： ．
8．如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝60°，∠BDE＝75°，则∠AFE的度数等于 ．
9．如图，在2×2的方格中，∠1+∠2＝ °．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是 ．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．
11．看图填空：已知：如图，BC∥EF，AD＝BE，BC＝EF，试说明△ABC≌△DEF．
解：∵AD＝BE
∴ ＝BE+DB；即： ＝DE
∵BC∥EF
∴∠ ＝∠ （ ）
在△ABC和△DEF中
BC＝EF（已知）
（ ）
（ ）
∴△ABC≌△DEF（ ）
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．
（1）求证：DE＝EF．
（2）当∠A＝36°时，求∠DEF的度数．
13．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
14．如图，在△ABC中AB＝AC，△AED中AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，AC与BD交于点O．
（1）试确定∠ADC与∠AEB间的数量关系，并说明理由；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
15．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．
（1）如图1，求证：△ABE≌△CDF．
（2）如图2，连接AD、BC、BF、DE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有全等的三角形（除△ABE全等于△CDF外）．
16．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F．
（1）如图1，直接写出AB与CE的位置关系；
（2）如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK．
17．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
三、判定方法3：角边角（ASA）、角角边（AAS）
1．如图，已知△ABD≌△ACE，下列说法错误的是（ ）
A．∠B＝∠C B．EB＝DC C．AD＝DC D．△EFB≌△DFC
2．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若BD＝1，CF＝3，则AB的长是（ ）
A．6 B． C．3 D．4
3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
4．如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6cm，OC＝4cm，则OB的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
5．如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有（ ）组．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，D，E分别是AB，AC上的点，BE与CD交于点F，给出下列三个条件：①∠DBF＝∠ECF；②∠BDF＝∠CEF；③BD＝CE．两两组合在一起，共有三种组合：
（1）①②（2）①③（3）②③
问能判定AB＝AC的组合的是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有（ ）
①∠1＝∠2；
②BE＝CF；
③△ACN≌△ABM；
④CD＝DN；
⑤△AFN≌△AEM．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，∠A＝∠D，∠1＝∠2，要得到△ABC≌△DEF，添加一个条件可以是 ．
10．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
11． 如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF＝6，AD＝4，则BD＝ ．
12．如图，已知△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，DE，∠C+∠AED＝180°，请你添加一个条件，使△BDE≌△BDC，你所添加的条件是 （只填一个条件即可）．
13．如图，在△ABC中，D为AB上一点，F为AC上一点，CE∥AB交DF的延长线于点E，若DF＝FE，求证：AD＝CE．
14．如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证：△AFB≌△DFE；
（2）若AB＝6，DC＝4CE，求CD的长．
15．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．作CG⊥DE于G，BF⊥DE，交DE的延长线于F．
（1）求证：EF＝EG．
（2）求证：AB＝CD．
16．（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．
（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．
四、判定方法4：直角三角形全等的判定（斜边、直角边——HL）
1．如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．EC＝FA B．DC＝BA C．∠D＝∠B D．∠DCE＝∠BAF
2．下列条件中，不一定能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．一对锐角和斜边对应相等
D．一对锐角相等，一组边相等
3．如图，点C，E分别在BD，AC上，AC⊥BD，且AB＝DE，AC＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠A＝∠D C．∠EBC＝45° D．AB⊥DE
4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角中∠ABC＝32°，则∠DFE的度数是（ ）
A．32° B．62° C．58° D．68°
5．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”．
6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
7．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
8．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝ 时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
9．如图，AD⊥BC于D，AD＝BD，AC＝BE．
（1）请说明∠1＝∠C；
（2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系．
10．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．
求证：BC＝BE．
11．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
五、几种判定方法的综合
1．如图，已知AC＝AD，再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．∠C＝∠D＝90° B．∠BAC＝∠BAD C．BC＝BD D．∠ABC＝∠ABD
2．下列说法中错误的是（ ）
A．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
B．有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
C．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等
3．根据下列条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝1，BC＝2，CA＝3 B．AB＝5，BC＝6，∠A＝40°
C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70° D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°
4．如图，已知∠DOB＝∠COA，补充下列条件后仍不能判定△ABO≌△CDO的是（ ）
A．∠D＝∠B，OB＝OD B．∠C＝∠A，OA＝OC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，OB＝OD
5．如图，已知线段AB与CD相交于点E，AC＝AD，CE＝ED，则图中全等三角形有 对．
6．如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
7．如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，下面几个答案：①AE＝DF，②AE∥DF；③AB∥DC，④∠A＝∠D．其中正确的是 ．
8．如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N、M，OM＝ON，BM与AN交于点P．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
9．证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线且 ．
求证： ．
请补全已知和求证部分，并写出证明过程．
10．如图，已知AB＝AD，AM＝AN，BM＝DN．
（1）△ABM与△ADN全等吗？请说明理由；
（2）请说明AC＝AE．
11．如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：点O为BF的中点．
12．如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上截取BF＝AC，延长CE至点G使CG＝AB，连接AF，AG．
（1）如图1，求证：AG＝AF；
（2）如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．
13．如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．
（1）求出的度数；
（2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．）
（3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由．
14．已知：等腰和等腰中，，，．
(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
(2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：；
(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 ．
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