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初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.2 二次函数的图像与性质
一、单选题
1．（2020九上·秦淮期末）二次函数y＝3(x－2)2－1的图像顶点坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（－2，－1）
C．（2，1） D．（2，－1）
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），
∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．
故答案为：D．
【分析】由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．
2．（2020九上·沈河期末）如果将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位，那么所得的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝x2+2
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴把抛物线向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（1，1），
∵平移不改变抛物线的二次项系数，
∴平移后的抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2+1．
故答案为：B．
【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．
3．（2020九上·大丰期末）二次函数 在下列（ ）范围内，y随着x的增大而增大．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】 ，
∵图像的对称轴为x=1，a=-1 ，
∴当x 时，y随着x的增大而增大，
故答案为：C.
【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.
4．（2020九上·莘县期末）已知二次函数y=-2(x-a)2-b的图象如图所示，则反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数图象可知，
-b＜0，a＞0
即b＞0，a＞0
∴在反比例函数中，ab＞0.图象在一三象限；
一次函数中，a＞0，b＞0，函数经过一、二、三象限
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象，即可得到a和b的大小，根据反比例函数和一次函数的性质判断图象即可得到答案。
5．（2020九上·兰陵期末）对于抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣2
C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大 D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵y＝﹣（x+2）2﹣1，
∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小， C的说法不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的性质依次判断各个选项后即可解答．
6．（2020九上·醴陵期末）已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的范围是（ ）
A．m＜－1 B．m＜1 C．m＞－1 D．m＞－2
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，
∴m+1＜0，
即m＜-1．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数得性质判断即可
7．（2020九上·北仑期末）已知二次函数y=ax2+bx+3自变量x的部分取值和对应函数值y如表：
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -5 0 3 4 3 0 …
则在实数范围内能使得y+5>0成立的x取值范围是（ ）
A．x>-2 B．x<-2 C．-2-2或x<4
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＋5＞0
∴y＞ 5
观察表中数据可得该二次函数的对称轴为x＝1
∵1 （ 2）＝3，1＋3＝4
∴当x＝ 2时的函数值与当x＝4时的函数值相等
∵x＝ 2时，y＝ 5
∴x＝4时，y＝ 5
观察表中数据，可知函数为开口向下的二次函数
∴当 2＜x＜4时，y＞ 5，即y＋5＞0.
故答案为：C.
【分析】y＋5＞0则y＞ 5；观察数据可得二次函数的对称轴及开口方向，利用二次函数的对称性可得答案．
8．（2020九上·北仑期末）将抛物线y=x2-2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=(x-3)2 B．y=(x+3)2 C．y=(x+2)2+1 D．y=(x-2)2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝x2 2向右平移3个单位长度，得到平移后解析式为：y＝（x 3）2 2，
∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝（x 3）2 2＋2，即y＝（x 3）2.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得出答案.
二、填空题
9．（2020九上·大丰期末）二次函数 的图象与y轴的交点坐标是 ．
【答案】（0，3）
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】当x=0时，y=3，∴图象与y轴的交点坐标是（0，3）
故答案为：（0，3）.
【分析】令x=0即可得到图像与y轴的交点坐标.
10．（2020九上·石城期末）函数y=(1-m)xm2-2+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为 。
【答案】-2
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵函数为二次函数
∴1-m≠0且m2-2=2
解得，m=±2
∵二次函数的开口向上
∴1-m＞0
∴m=-2
【分析】根据二次函数的含义和性质进行作答即可得到答案。
11．（2020九上·德城期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与 轴的交点坐标为 .此二次函数的解析式可以是
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知a 0，c=3，
故二次函数解析式可以是
【分析】根据二次函数图象和性质得a 0，c=3，即可设出解析式.
12．（2020九上·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为 。
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】 y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍 故根据题意，2a2-1=2a且a>0,然后求解a=
【分析】抛物线的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.
13．（2020九上·温州期末）已知二次函数y=x2-4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为-1，则a的取值范围是 。
【答案】-3≤a≤2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴当x=2时，y有最小值为-1，
∴a≤2,
∵a≤x≤a+5，
∴a+5≥2
解之：a≥-3
∴a的取值范围为：-3≤a≤2
故答案为：-3≤a≤2.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得到当x=2时，y有最小值为-1，再根据a≤x≤a+5，可得到不等式a+5≥2，解不等式，从而可求出a的取值范围。
三、解答题
14．（2019九上·下陆月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，求实数m的值.
【答案】解：该抛物线的对称轴为：x＝m；
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜m时，y随x的增大而增大；当x＞m时，y随x的增大而减小；
当m≥1时，
∵﹣2≤x≤1，当x＝1时，y取得最大值，即
﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝2.
当﹣2≤m≤1时，x＝m时，y取得最大值，即
m2+1＝4，解得：m＝﹣ 或 （不合题意，舍去）；
当m≤﹣2时，x＝﹣2时，y取得最大值，即
﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝﹣ （不合题意，舍去）.
综上所述，实数m的值为2或-
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】根据抛物线的对称轴直线公式得出该抛物线的对称轴直线为x=m，由二次项系数 a＝﹣1＜0，可知抛物线开口向下，故 当x＜m时，y随x的增大而增大；当x＞m时，y随x的增大而减小； 然后分 当m≥1时， 当﹣2≤m≤1时 ， 当m≤﹣2时 三种情况的最值情况列出方程，求解并检验即可得出答案.
15．（2019九上·河西期中）已知：抛物线y=-x2-6x+21．求：
（1）直接写出抛物线y=-x2-6x+21的顶点坐标；
（2）当x＞2时，求y的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线y=-x2-6x+21=-（x+3）2+30，
∴该抛物线的顶点坐标是（-3，30）
（2）解：∵抛物线y=-x2-6x+21=-（x+3）2+30，
∴当x＞-3时，y随x的增大而减小，
∴当x＞2时，y的取值范围是y＜-（2+3）2+30=5，
即当x＞2时，y的取值范围是y＜5。
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)用配方法或公式法求出抛物线的顶点坐标。
(2)先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质确定出函数值y随自变量x的变化情况即可。
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初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.2 二次函数的图像与性质
一、单选题
1．（2020九上·秦淮期末）二次函数y＝3(x－2)2－1的图像顶点坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（－2，－1）
C．（2，1） D．（2，－1）
2．（2020九上·沈河期末）如果将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位，那么所得的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝x2+2
3．（2020九上·大丰期末）二次函数 在下列（ ）范围内，y随着x的增大而增大．
A． B． C． D．
4．（2020九上·莘县期末）已知二次函数y=-2(x-a)2-b的图象如图所示，则反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020九上·兰陵期末）对于抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣2
C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大 D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1
6．（2020九上·醴陵期末）已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的范围是（ ）
A．m＜－1 B．m＜1 C．m＞－1 D．m＞－2
7．（2020九上·北仑期末）已知二次函数y=ax2+bx+3自变量x的部分取值和对应函数值y如表：
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -5 0 3 4 3 0 …
则在实数范围内能使得y+5>0成立的x取值范围是（ ）
A．x>-2 B．x<-2 C．-2-2或x<4
8．（2020九上·北仑期末）将抛物线y=x2-2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=(x-3)2 B．y=(x+3)2 C．y=(x+2)2+1 D．y=(x-2)2
二、填空题
9．（2020九上·大丰期末）二次函数 的图象与y轴的交点坐标是 ．
10．（2020九上·石城期末）函数y=(1-m)xm2-2+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为 。
11．（2020九上·德城期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与 轴的交点坐标为 .此二次函数的解析式可以是
12．（2020九上·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为 。
13．（2020九上·温州期末）已知二次函数y=x2-4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为-1，则a的取值范围是 。
三、解答题
14．（2019九上·下陆月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，求实数m的值.
15．（2019九上·河西期中）已知：抛物线y=-x2-6x+21．求：
（1）直接写出抛物线y=-x2-6x+21的顶点坐标；
（2）当x＞2时，求y的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），
∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．
故答案为：D．
【分析】由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴把抛物线向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（1，1），
∵平移不改变抛物线的二次项系数，
∴平移后的抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2+1．
故答案为：B．
【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】 ，
∵图像的对称轴为x=1，a=-1 ，
∴当x 时，y随着x的增大而增大，
故答案为：C.
【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数图象可知，
-b＜0，a＞0
即b＞0，a＞0
∴在反比例函数中，ab＞0.图象在一三象限；
一次函数中，a＞0，b＞0，函数经过一、二、三象限
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象，即可得到a和b的大小，根据反比例函数和一次函数的性质判断图象即可得到答案。
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵y＝﹣（x+2）2﹣1，
∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小， C的说法不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的性质依次判断各个选项后即可解答．
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，
∴m+1＜0，
即m＜-1．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数得性质判断即可
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＋5＞0
∴y＞ 5
观察表中数据可得该二次函数的对称轴为x＝1
∵1 （ 2）＝3，1＋3＝4
∴当x＝ 2时的函数值与当x＝4时的函数值相等
∵x＝ 2时，y＝ 5
∴x＝4时，y＝ 5
观察表中数据，可知函数为开口向下的二次函数
∴当 2＜x＜4时，y＞ 5，即y＋5＞0.
故答案为：C.
【分析】y＋5＞0则y＞ 5；观察数据可得二次函数的对称轴及开口方向，利用二次函数的对称性可得答案．
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝x2 2向右平移3个单位长度，得到平移后解析式为：y＝（x 3）2 2，
∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝（x 3）2 2＋2，即y＝（x 3）2.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得出答案.
9．【答案】（0，3）
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】当x=0时，y=3，∴图象与y轴的交点坐标是（0，3）
故答案为：（0，3）.
【分析】令x=0即可得到图像与y轴的交点坐标.
10．【答案】-2
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵函数为二次函数
∴1-m≠0且m2-2=2
解得，m=±2
∵二次函数的开口向上
∴1-m＞0
∴m=-2
【分析】根据二次函数的含义和性质进行作答即可得到答案。
11．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知a 0，c=3，
故二次函数解析式可以是
【分析】根据二次函数图象和性质得a 0，c=3，即可设出解析式.
12．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】 y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍 故根据题意，2a2-1=2a且a>0,然后求解a=
【分析】抛物线的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.
13．【答案】-3≤a≤2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴当x=2时，y有最小值为-1，
∴a≤2,
∵a≤x≤a+5，
∴a+5≥2
解之：a≥-3
∴a的取值范围为：-3≤a≤2
故答案为：-3≤a≤2.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得到当x=2时，y有最小值为-1，再根据a≤x≤a+5，可得到不等式a+5≥2，解不等式，从而可求出a的取值范围。
14．【答案】解：该抛物线的对称轴为：x＝m；
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜m时，y随x的增大而增大；当x＞m时，y随x的增大而减小；
当m≥1时，
∵﹣2≤x≤1，当x＝1时，y取得最大值，即
﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝2.
当﹣2≤m≤1时，x＝m时，y取得最大值，即
m2+1＝4，解得：m＝﹣ 或 （不合题意，舍去）；
当m≤﹣2时，x＝﹣2时，y取得最大值，即
﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝﹣ （不合题意，舍去）.
综上所述，实数m的值为2或-
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】根据抛物线的对称轴直线公式得出该抛物线的对称轴直线为x=m，由二次项系数 a＝﹣1＜0，可知抛物线开口向下，故 当x＜m时，y随x的增大而增大；当x＞m时，y随x的增大而减小； 然后分 当m≥1时， 当﹣2≤m≤1时 ， 当m≤﹣2时 三种情况的最值情况列出方程，求解并检验即可得出答案.
15．【答案】（1）解：∵抛物线y=-x2-6x+21=-（x+3）2+30，
∴该抛物线的顶点坐标是（-3，30）
（2）解：∵抛物线y=-x2-6x+21=-（x+3）2+30，
∴当x＞-3时，y随x的增大而减小，
∴当x＞2时，y的取值范围是y＜-（2+3）2+30=5，
即当x＞2时，y的取值范围是y＜5。
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)用配方法或公式法求出抛物线的顶点坐标。
(2)先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质确定出函数值y随自变量x的变化情况即可。
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