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初中数学苏科版七年级下册12.3 互逆命题 同步练习
一、选择题（每题3分，共18分）
1．下列命题是真命题的是（ ）.
A．如果 =1，那么a =1 B．同位角互补，两直线平行
C．π不是无理数 D．六边形的内角和等于 720°
2．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）.
A．对顶角相等
B．等边三角形是锐角三角形
C．如果两个数同号，那么它们的积是正数
D．如果两个数都是负数，那么它们的和为负数
3．命题“锐角小于90°的逆命题是（ ）.
A．如果这个角是锐角，那么这个角小于90°
B．不是锐角的角不小于90°
C．不小于90 ° 的角不是锐角
D．小于90° 的角是锐角
4．（2019八上·绍兴月考）已知命题A：任何偶数都是8的整数倍.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（ ）
A．2k B．15 C．24 D．42
5．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是( ）.
A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40°
6．下列命题中，①同旁内角互补，两直线平行；②若a>1且b>1，则a+b>2；③直角都相等；④直角三角形的两锐角互余.它们的逆命题是真命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．命题“不是对顶角的两个角不相等”的逆命题是 .
8．命题“周长相等的三角形面积相等”的逆命题是 .
9．命题“如果两个角的和为180° ，那么这两个角互补”的逆命题是 .
10．命题“等角的余角相等”的逆命题是 命题.
11．命题“若两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等”是 命题；它的逆命题是 ,是 命题.
12．用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例可以是 .
13．用来说明命题“n<1，则n2 -1 <0”是假命题的反例可以是 .
14．已知下列命题：①若a>b，则a2>b2；②若a>1，则(a-1) 0 =1；③若a>b，则c-a三、解答题（共58分）
15．下列各组命题是否是互逆命题：
（1）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；
（2）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；
（3）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．
16．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假．
（1）如果a>0，那么a 2 > 0 ；
（2）锐角与钝角之和等于平角；
（3）平行于同一条直线的两直线平行；
（4）两直线平行，同位角的角平分线也互相平行．
17．已知命题：若a > b ，则a 2 > b 2 ．
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；
（2）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？
（3）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？
18．已知：如图，射线OA 与OB 被直线CD 和 EF 所截，∠1+ ∠2 = 180° ， 求证： ∠3 = ∠4 .
19．
（1）如图，AB//CD，AB、DE相交于点G，∠B=∠D．
在下列括号内填写推理的依据：
∵AB // CD(已知)，
∴ ∠EGA = ∠D( )，
又∵∠B = ∠D (已知)，
∴ ∠EGA = ∠B( )，
∴DE // BF ( )．
（2）上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？
20．判断下面命题的真假，若是假命题，请举出反例说明:
①一个三角形的3个内角中至少有1个钝角；
②若三条线段a，b，c满足a+b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形；
③个位数字是5的整数，能被5整除；
④对于所有的自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数；
四、能力挑战：
21．下列选项中，可以用来证明命题“若a2-4a=0，则a=0”是假命题的反例是（ ）.
A．a = -2 B．a = -1 C．a = 4 D．a = 2
22．下面给出的四个命题中，假命题是（ ）.
A．如果a=3，那么|a|=3
B．如果x2=4，那么x=±2
C．如果(a-1)(a+2)=0，那么a=1或a=-2
D．如果(a-1)2+(b+2)2=0，那么a=1或b=-2
23．给出下列两个命题：①若m=n+1，则1-m2+2mn-n2=0；②若a、b（a≠b）为2、3、4、5这四个数中的任意两个，则满足2a-b>4的有序数组(a,b)共有5组．其中真命题是 （填序号）.
24．能说明命题“周长相等的两个三角形能够完全重合”是假命题的反例可以是 .
25．如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A=∠C．
①把△ABC纸片按(如图1)所示折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE是折痕．说明BC//DF；
②把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时(如图2)，探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；
③当点A落在四边形BCED外时(如图3)，∠C与∠1、∠2的关系是 ．(直接写出结论)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： A：如果 =1，那么a =±1，A错误，是假命题；
B：如果同位角相等，那么两直线平行 ，B错误，是假命题；
C：由于p可能是无理数 ，也可能是有理数，故C错误，是假命题；
D：由于六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，故D正确，是真命题.
故答案为：D.
【分析】判断一件事情的语句就是命题，命题一般包括题设和结论两部分，其中题设成立推出结论也成立的语句就是真命题，反之就是假命题，从而根据绝对值的意义、平行线的判定方法、无理数的定义、正六边形的性质即可一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、逆命题是：相等的角是对顶角，为假命题，故本选项错误；
B、逆命题是：锐角三角形是等边三角形，为假命题，故本选项错误；
C、逆命题是：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数同号的，是真命题，故本选项正确；
D、逆命题是：若果两个数的和为负数，那么这两个数都是负数，是假命题，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
3．【答案】D
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解： 因为命题“锐角小于90的题设是锐角，结论是小于90°，所以该命题的的逆命题是 ： 小于90的角是锐角.
故答案为：D.
【分析】一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论即可.
4．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：42是偶数，但42不是8的倍数.
故答案为：D.
【分析】根据题意对各选项数据进行验证即可求解.
5．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、满足条件∠1＋∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件∠1＋∠2＝90°，也不满足结论∠1≠∠2，故B选项错误；
C、满足条件∠1＋∠2＝90°，但不满足结论∠1≠∠2，故C选项正确；
D、不满足条件∠1＋∠2＝90°，也不满足结论∠1≠∠2，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，从而即可一一判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解： ①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故①正确； ②若a>1且b>1，则a+b>2的逆命题是：若a+b>2，则a>1且b>1是假命题，故②错误；③ 直角都相等的逆命题是：相等的角是直角，是假命题，故③错误； ④直角三角形的两锐角互余的逆命题是：若果一个三角形的两锐角互余，则这个三角形是直角三角形，是真命题，故④正确.
故答案为：B.
【分析】判断一件事情的句子就是命题，命题一般包括题设和结论两部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，逆命题的题设成立，推出结论也成立，就是真命题，反之就是假命题，从而根据平行线的性质、有理数的加法、直角的定义及直角三角形的判定方法即可一一判断得出答案.
7．【答案】不相等的两个角不是对顶角
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解： 命题“不是对顶角的两个角不相等”的题设是“若果两个角不是对顶角，结论是那么它们不相等”，其逆逆命题是“若果两个角不相等，那么它们不是对顶角”，即 不相等的两个角不是对顶角.
故答案为： 不相等的两个角不是对顶角.
【分析】一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论即可.
8．【答案】面积相等的三角形周长相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：因为 命题“周长相等的三角形面积相等”的题设是：若果两个三角形的周长相等，结论是：那么这两个三角形的面积相等，所以该命题的逆命题是：若果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等，即 面积相等的三角形周长相等 .
故答案为： 面积相等的三角形周长相等 .
【分析】 一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论即可.
9．【答案】如果两个角互补，那么这两个角的和为180°
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解： 命题“如果两个角的和为180 ，那么这两个角互补”的 的题设是：如果两个角的和为180 ，结论是：那么这两个角互补.其逆命题是： 如果两个角互补，那么这两个角的和为180 °.
故答案为： 如果两个角互补，那么这两个角的和为180 °.
【分析】一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论即可.
10．【答案】真
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解： 命题“等角的余角相等”的题设是：如果两个角相等，结论是：那么这两个角的余角也相等；其逆命题是：若果两个角的余角相等，那么这两个角的也相等,该命题是真命题.
故答案为：真.
【分析】一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论得出原命题的逆命题，进而根据余角的定义即可判断出该命题的真假.
11．【答案】假；如果两个角相等，那么这两个角的两边互相垂直；假
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“若两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等”的题设是“两个角的两边互相垂直”，结论是“这两个角相等”，
故其逆命题是两个角相等时，这两个角的两边互相垂直．
原命题和逆命题都是假命题．
举例证明：如图1，
∠1与∠2的两边互相垂直，但是∠1≠∠2，
所以原命题是假命题；
如图2，OC平分∠AOB，∠AOC＝∠BOC，但是∠AOC与∠BOC的两边不是互相垂直，
所以原命题的逆命题也是假命题．
故答案为：假； 如果两个角相等，那么这两个角的两边互相垂直；假.
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而用再举反例判断它的真假即可．
12．【答案】30°和80°
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：例如∠1=30°，∠2=80°，则∠1+∠2＞90°.
故答案为：30°，80°.
【分析】开放性的命题，答案不唯一，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，从而即可得出答案.
13．【答案】n=-2
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵当n=-2的时，n2-1=3＞0，∴当 n<1，则n2 -1 <0是假命题.
故答案为：n=-2.
【分析】开放性的命题，答案不唯一，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，从而即可得出答案.
14．【答案】③
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①当a＝0，b＝ 1时，a2＜b2，所以命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题，其逆命题为若a2＞b2，则a＞b“，此逆命题也是假命题，如a＝ 2，b＝ 1时，a2＞b2，但a＜b；
②若a＞1，则（a 1）0＝1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a 1）0＝1，则a＞1，此逆命题为假命题，因为（a 1）0＝1，则a≠1；
③ 根据不等式的性质，若a>b，则c-ab，此逆命题是真命题；
④ 根据全等三角形的判定及性质可知：能够完全重合的两个三角形的面积相等 ，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的两个三角形能完全重合，此逆命题为假命题；
⑤ 根据多边形的外角和定理可知：每一个外角都等于60°的的话，该多边形的边数为360°÷60°=6， 每一个外角都等于60°的多边形是六边形 ，这个命题为真命题，它的逆命题为六边形的每一个外角都等于60°，因为只有正六边形的每一个外角才都是60°，所以此逆命题是假命题.
故答案为：③.
【分析】交换原命题的题设和结论得到五个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、不等式的性质、全等三角形的判定与性质和六边形的外角性质判断各命题的真假．
15．【答案】（1）解：“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”； 是同一个命题，不是互逆命题；
（2）解：“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， 是互逆命题；
（3）解：“同位角相等，两直线平行” 的互逆命题是两直线平行，同位角相等，所以 “同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行” 不是互逆命题.
【知识点】逆命题
【解析】【分析】在两个命题中，若果一个命题的题设和结论刚好是另一个命题的结论与题设，我们则称这两个命题是互逆命题，根据定义即可一一判断得出答案.
16．【答案】（1）解：根据一个正数的任何次幂是一个正数可知：如果 a>0，那么a2 > 0 ，
故此命题正确，是真命题；其逆命题是：如果a2 > 0 ，那么 a>0. 此逆命题是假命题，反例：取a=-1，则a2 > 0，但是a＜0；
（2）解：锐角与钝角之和等于平角，此原命题是假命题，反例：取∠1=50°，∠2=110°，则∠1是锐角，∠2是钝角，但是它们的和不是平角；此项原命题的逆命题是：如果两角之和是平角，那么这两角中一个是锐角，另一个是钝角，此逆命题是假命题，反例：取∠1=∠2=90°，则它们的和为平角，但是∠1与∠2种没有锐角和钝角；
（3）解：根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两直线平行，是正确的，故此原命题是真命题；其逆命题是：如果两直线平行，那么这两条直线分别平行于第三条直线. 此逆命题正确，故其也是真命题；
（4）解：根据平行线的性质和判定定理可知 ：两直线平行，同位角的角平分线也互相平行 是正确的，故原命题是真命题；其逆命题为： 如果同位角的角平分线互相平行，那么这两条直线平行 ，也是正确的，故逆命题也是真命题.
【知识点】逆命题
【解析】【分析】将一个原命题的题设和结论互换位置即可得出原命题的逆命题，进而再根据乘方的性质、平角的定义、锐角的定义、钝角的定义、平行线的性质定理及判定定理即可一一判断得出答案.
17．【答案】（1）解：假命题，a=1，b=-2
（2）解： 若结论保持不变，那么将条件变为a＞b＞0 ，命题才能正确.
（3）解：结论为：a+1>b+1
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据偶数次幂的非负性可判断该命题是假命题，举出的反例只要满足命题的题设，但又不满足命题的结论即可；
（2） 若结论保持不变 ，又想命题是真命题的话，只需要将条件改为a＞b＞0 即可；
（3）开放性的命题，可以根据不等式的性质将原不等式变形即可.
18．【答案】证明：因为： ∠1+ ∠2 = 180° ，∠2=∠5，
所以 ∠1+ ∠5 = 180° ，
所以CD∥EF，
所以∠3=∠4.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据同旁内角互补得到CD//EF,再根据两直线平行得到同位角相等.
19．【答案】（1）两直线平行；同位角相等等量代换同位角相等；两直线平行
（2）解：互逆命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”.
【知识点】平行线的判定与性质；逆命题
【解析】【解答】解：（1）
∵AB // CD(已知)，
∴ ∠EGA = ∠D(二直线平行，同位角相等)，
又∵∠B = ∠D (已知)，
∴ ∠EGA = ∠B(等量代换)，
∴DE // BF (同位角相等，两直线平行)．
故答案为： 两直线平行 ， 同位角相等 ；等量代换；同位角相等，二直线平行；
【分析】（1）根据平行线的性质及判定方法即可一一判断填出答案；
（2）在两个命题中，若果一个命题的题设和结论刚好是另一个命题的结论与题设，我们则称这两个命题是互逆命题，根据定义即可一一判断得出答案.
20．【答案】解：①假命题，锐角三角形；
②假命题，a=2，b=5，c=3；
③真命题；
④假命题，n=11
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据三角形按角分类可以分为：锐角三角形，直角三角形、钝角三角形进而再根据三类三角形的定义即可判断；
（2）根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边即可判断该命题是假命题，反例是： a=2，b=5，c=3 ，满足 a+b>c ，但不能围成三角形；
（3）根据能被5整除的数的特点即可判断；
（4）约数只有1和它本身的数就是质数，根据定义判断该命题的真假，举出的反例只要能满足命题的题设，同时又不满足命题的结论即可.
21．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：因为当a=4，a2-4a=0，所以 若a2-4a=0，则a=0是假命题.
故答案为：C.
【分析】举出的反例只要满足命题的题设，但又不满足命题的结论即可，从而一一判断得出答案.
22．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、若a＝3，则|a|＝3，所以A选项为真命题；
B、若x2＝4，则x＝±2，所以B选项为真命题；
C、若（a 1）（a＋2）＝0，则a 1＝0或a＋2＝0，所以C选项为真命题；
D、若（a 1）2＋（b＋2）2＝0，那么a＝1且b＝ 2，所以D选项为假命题．
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的意义可对A进行判断；根据平方根的定义可对B进行判断；根据两个数的积等于0，则每个因数至少有一个等于0对C进行判断；根据几个非负数的和为零，则这几个数都为零即可对D进行判断．
23．【答案】①②
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵m＝n＋1，
∴m n＝1，
∴1 m2＋2mn n2＝0，故①命题是真命题；
②若a、b（a≠b）为2、3、4、5这四个数中的任意两个，则满足2a b＞4的有序数组（a，b）共有（5,3）、（5,4）、（4,3）、（4，2）、（5,2）5组，故②命题是真命题．
故答案为：①②.
【分析】利用完全平方公式及不等式的解分别判断后即可判断得出答案.
24．【答案】边长为3,4,5的三角形与边长为4,4,4的等边三角形
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：因为当一个三角形的三边是 3,4,5；另一个三角形的三边是4,4,4时这两个三角形的周长相等，但不全等，故不可能完全重合，所以此命题是假命题.
故答案为： 边长为3,4,5的三角形与边长为4,4,4的等边三角形.
【分析】开放性的命题答案不唯一：根据三角形周长的计算方法及全等的判定方法，举出的反例只要满足命题的题设，但又不满足命题的结论即可.
25．【答案】解：根据折叠的性质得：∠DFE＝∠A，∵∠A＝∠C，∴∠DFE＝∠C，∴BC∥DF；；解：2∠C＝∠1＋∠2，理由如下：∵四边形的内角和等于360°，∴∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠AEA′＝360°．又∵∠1＋∠ADA′＋∠2＋∠AEA′＝360°，∴∠A＋∠A′＝∠1＋∠2．又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1＋∠2，∵∠A＝∠C，∴2∠C＝∠1＋∠2；；2∠C＝∠2 ∠1
【知识点】平行线的判定；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）∠2 ∠1＝2∠C，理由如下：
由题意得：∠A′ED＝∠AED（设为α），∠A′DE＝∠ADE（设为β）；
∵∠2＋2α＝180°，∠1＝β ∠BDE＝β （∠A＋α），
∴∠2 ∠1＝180° （α＋β）＋∠A；
∵∠A＝180° （α＋β），
∴∠2 ∠1＝2∠A，
∵∠A＝∠C，
∴2∠C＝∠2 ∠1．
故答案为：2∠C＝∠2 ∠1．
【分析】（1）根据折叠的性质得∠DFE＝∠A，由已知得∠A＝∠C，故∠DFE＝∠C，根据同位角相等，二直线平行即可得到结论；
（2）先根据四边形的内角和等于360°得出∠A＋∠A′＝∠1＋∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结论；
（3）∠A′ED＝∠AED（设为α），∠A′DE＝∠ADE（设为β），于是得到∠2＋2α＝180°，∠1＝β ∠BDE＝β （∠A＋α），推出∠2 ∠1＝180° （α＋β）＋∠A，根据三角形的内角和得到∠A＝180° （α＋β），即∠2 ∠1＝2∠A，于是得到结论．
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初中数学苏科版七年级下册12.3 互逆命题 同步练习
一、选择题（每题3分，共18分）
1．下列命题是真命题的是（ ）.
A．如果 =1，那么a =1 B．同位角互补，两直线平行
C．π不是无理数 D．六边形的内角和等于 720°
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： A：如果 =1，那么a =±1，A错误，是假命题；
B：如果同位角相等，那么两直线平行 ，B错误，是假命题；
C：由于p可能是无理数 ，也可能是有理数，故C错误，是假命题；
D：由于六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，故D正确，是真命题.
故答案为：D.
【分析】判断一件事情的语句就是命题，命题一般包括题设和结论两部分，其中题设成立推出结论也成立的语句就是真命题，反之就是假命题，从而根据绝对值的意义、平行线的判定方法、无理数的定义、正六边形的性质即可一一判断得出答案.
2．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）.
A．对顶角相等
B．等边三角形是锐角三角形
C．如果两个数同号，那么它们的积是正数
D．如果两个数都是负数，那么它们的和为负数
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、逆命题是：相等的角是对顶角，为假命题，故本选项错误；
B、逆命题是：锐角三角形是等边三角形，为假命题，故本选项错误；
C、逆命题是：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数同号的，是真命题，故本选项正确；
D、逆命题是：若果两个数的和为负数，那么这两个数都是负数，是假命题，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
3．命题“锐角小于90°的逆命题是（ ）.
A．如果这个角是锐角，那么这个角小于90°
B．不是锐角的角不小于90°
C．不小于90 ° 的角不是锐角
D．小于90° 的角是锐角
【答案】D
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解： 因为命题“锐角小于90的题设是锐角，结论是小于90°，所以该命题的的逆命题是 ： 小于90的角是锐角.
故答案为：D.
【分析】一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论即可.
4．（2019八上·绍兴月考）已知命题A：任何偶数都是8的整数倍.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（ ）
A．2k B．15 C．24 D．42
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：42是偶数，但42不是8的倍数.
故答案为：D.
【分析】根据题意对各选项数据进行验证即可求解.
5．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是( ）.
A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40°
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、满足条件∠1＋∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件∠1＋∠2＝90°，也不满足结论∠1≠∠2，故B选项错误；
C、满足条件∠1＋∠2＝90°，但不满足结论∠1≠∠2，故C选项正确；
D、不满足条件∠1＋∠2＝90°，也不满足结论∠1≠∠2，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，从而即可一一判断得出答案.
6．下列命题中，①同旁内角互补，两直线平行；②若a>1且b>1，则a+b>2；③直角都相等；④直角三角形的两锐角互余.它们的逆命题是真命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解： ①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故①正确； ②若a>1且b>1，则a+b>2的逆命题是：若a+b>2，则a>1且b>1是假命题，故②错误；③ 直角都相等的逆命题是：相等的角是直角，是假命题，故③错误； ④直角三角形的两锐角互余的逆命题是：若果一个三角形的两锐角互余，则这个三角形是直角三角形，是真命题，故④正确.
故答案为：B.
【分析】判断一件事情的句子就是命题，命题一般包括题设和结论两部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，逆命题的题设成立，推出结论也成立，就是真命题，反之就是假命题，从而根据平行线的性质、有理数的加法、直角的定义及直角三角形的判定方法即可一一判断得出答案.
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．命题“不是对顶角的两个角不相等”的逆命题是 .
【答案】不相等的两个角不是对顶角
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解： 命题“不是对顶角的两个角不相等”的题设是“若果两个角不是对顶角，结论是那么它们不相等”，其逆逆命题是“若果两个角不相等，那么它们不是对顶角”，即 不相等的两个角不是对顶角.
故答案为： 不相等的两个角不是对顶角.
【分析】一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论即可.
8．命题“周长相等的三角形面积相等”的逆命题是 .
【答案】面积相等的三角形周长相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：因为 命题“周长相等的三角形面积相等”的题设是：若果两个三角形的周长相等，结论是：那么这两个三角形的面积相等，所以该命题的逆命题是：若果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等，即 面积相等的三角形周长相等 .
故答案为： 面积相等的三角形周长相等 .
【分析】 一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论即可.
9．命题“如果两个角的和为180° ，那么这两个角互补”的逆命题是 .
【答案】如果两个角互补，那么这两个角的和为180°
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解： 命题“如果两个角的和为180 ，那么这两个角互补”的 的题设是：如果两个角的和为180 ，结论是：那么这两个角互补.其逆命题是： 如果两个角互补，那么这两个角的和为180 °.
故答案为： 如果两个角互补，那么这两个角的和为180 °.
【分析】一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论即可.
10．命题“等角的余角相等”的逆命题是 命题.
【答案】真
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解： 命题“等角的余角相等”的题设是：如果两个角相等，结论是：那么这两个角的余角也相等；其逆命题是：若果两个角的余角相等，那么这两个角的也相等,该命题是真命题.
故答案为：真.
【分析】一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论得出原命题的逆命题，进而根据余角的定义即可判断出该命题的真假.
11．命题“若两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等”是 命题；它的逆命题是 ,是 命题.
【答案】假；如果两个角相等，那么这两个角的两边互相垂直；假
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“若两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等”的题设是“两个角的两边互相垂直”，结论是“这两个角相等”，
故其逆命题是两个角相等时，这两个角的两边互相垂直．
原命题和逆命题都是假命题．
举例证明：如图1，
∠1与∠2的两边互相垂直，但是∠1≠∠2，
所以原命题是假命题；
如图2，OC平分∠AOB，∠AOC＝∠BOC，但是∠AOC与∠BOC的两边不是互相垂直，
所以原命题的逆命题也是假命题．
故答案为：假； 如果两个角相等，那么这两个角的两边互相垂直；假.
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而用再举反例判断它的真假即可．
12．用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例可以是 .
【答案】30°和80°
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：例如∠1=30°，∠2=80°，则∠1+∠2＞90°.
故答案为：30°，80°.
【分析】开放性的命题，答案不唯一，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，从而即可得出答案.
13．用来说明命题“n<1，则n2 -1 <0”是假命题的反例可以是 .
【答案】n=-2
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵当n=-2的时，n2-1=3＞0，∴当 n<1，则n2 -1 <0是假命题.
故答案为：n=-2.
【分析】开放性的命题，答案不唯一，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，从而即可得出答案.
14．已知下列命题：①若a>b，则a2>b2；②若a>1，则(a-1) 0 =1；③若a>b，则c-a【答案】③
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①当a＝0，b＝ 1时，a2＜b2，所以命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题，其逆命题为若a2＞b2，则a＞b“，此逆命题也是假命题，如a＝ 2，b＝ 1时，a2＞b2，但a＜b；
②若a＞1，则（a 1）0＝1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a 1）0＝1，则a＞1，此逆命题为假命题，因为（a 1）0＝1，则a≠1；
③ 根据不等式的性质，若a>b，则c-ab，此逆命题是真命题；
④ 根据全等三角形的判定及性质可知：能够完全重合的两个三角形的面积相等 ，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的两个三角形能完全重合，此逆命题为假命题；
⑤ 根据多边形的外角和定理可知：每一个外角都等于60°的的话，该多边形的边数为360°÷60°=6， 每一个外角都等于60°的多边形是六边形 ，这个命题为真命题，它的逆命题为六边形的每一个外角都等于60°，因为只有正六边形的每一个外角才都是60°，所以此逆命题是假命题.
故答案为：③.
【分析】交换原命题的题设和结论得到五个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、不等式的性质、全等三角形的判定与性质和六边形的外角性质判断各命题的真假．
三、解答题（共58分）
15．下列各组命题是否是互逆命题：
（1）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；
（2）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；
（3）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．
【答案】（1）解：“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”； 是同一个命题，不是互逆命题；
（2）解：“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， 是互逆命题；
（3）解：“同位角相等，两直线平行” 的互逆命题是两直线平行，同位角相等，所以 “同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行” 不是互逆命题.
【知识点】逆命题
【解析】【分析】在两个命题中，若果一个命题的题设和结论刚好是另一个命题的结论与题设，我们则称这两个命题是互逆命题，根据定义即可一一判断得出答案.
16．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假．
（1）如果a>0，那么a 2 > 0 ；
（2）锐角与钝角之和等于平角；
（3）平行于同一条直线的两直线平行；
（4）两直线平行，同位角的角平分线也互相平行．
【答案】（1）解：根据一个正数的任何次幂是一个正数可知：如果 a>0，那么a2 > 0 ，
故此命题正确，是真命题；其逆命题是：如果a2 > 0 ，那么 a>0. 此逆命题是假命题，反例：取a=-1，则a2 > 0，但是a＜0；
（2）解：锐角与钝角之和等于平角，此原命题是假命题，反例：取∠1=50°，∠2=110°，则∠1是锐角，∠2是钝角，但是它们的和不是平角；此项原命题的逆命题是：如果两角之和是平角，那么这两角中一个是锐角，另一个是钝角，此逆命题是假命题，反例：取∠1=∠2=90°，则它们的和为平角，但是∠1与∠2种没有锐角和钝角；
（3）解：根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两直线平行，是正确的，故此原命题是真命题；其逆命题是：如果两直线平行，那么这两条直线分别平行于第三条直线. 此逆命题正确，故其也是真命题；
（4）解：根据平行线的性质和判定定理可知 ：两直线平行，同位角的角平分线也互相平行 是正确的，故原命题是真命题；其逆命题为： 如果同位角的角平分线互相平行，那么这两条直线平行 ，也是正确的，故逆命题也是真命题.
【知识点】逆命题
【解析】【分析】将一个原命题的题设和结论互换位置即可得出原命题的逆命题，进而再根据乘方的性质、平角的定义、锐角的定义、钝角的定义、平行线的性质定理及判定定理即可一一判断得出答案.
17．已知命题：若a > b ，则a 2 > b 2 ．
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；
（2）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？
（3）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？
【答案】（1）解：假命题，a=1，b=-2
（2）解： 若结论保持不变，那么将条件变为a＞b＞0 ，命题才能正确.
（3）解：结论为：a+1>b+1
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据偶数次幂的非负性可判断该命题是假命题，举出的反例只要满足命题的题设，但又不满足命题的结论即可；
（2） 若结论保持不变 ，又想命题是真命题的话，只需要将条件改为a＞b＞0 即可；
（3）开放性的命题，可以根据不等式的性质将原不等式变形即可.
18．已知：如图，射线OA 与OB 被直线CD 和 EF 所截，∠1+ ∠2 = 180° ， 求证： ∠3 = ∠4 .
【答案】证明：因为： ∠1+ ∠2 = 180° ，∠2=∠5，
所以 ∠1+ ∠5 = 180° ，
所以CD∥EF，
所以∠3=∠4.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据同旁内角互补得到CD//EF,再根据两直线平行得到同位角相等.
19．
（1）如图，AB//CD，AB、DE相交于点G，∠B=∠D．
在下列括号内填写推理的依据：
∵AB // CD(已知)，
∴ ∠EGA = ∠D( )，
又∵∠B = ∠D (已知)，
∴ ∠EGA = ∠B( )，
∴DE // BF ( )．
（2）上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？
【答案】（1）两直线平行；同位角相等等量代换同位角相等；两直线平行
（2）解：互逆命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”.
【知识点】平行线的判定与性质；逆命题
【解析】【解答】解：（1）
∵AB // CD(已知)，
∴ ∠EGA = ∠D(二直线平行，同位角相等)，
又∵∠B = ∠D (已知)，
∴ ∠EGA = ∠B(等量代换)，
∴DE // BF (同位角相等，两直线平行)．
故答案为： 两直线平行 ， 同位角相等 ；等量代换；同位角相等，二直线平行；
【分析】（1）根据平行线的性质及判定方法即可一一判断填出答案；
（2）在两个命题中，若果一个命题的题设和结论刚好是另一个命题的结论与题设，我们则称这两个命题是互逆命题，根据定义即可一一判断得出答案.
20．判断下面命题的真假，若是假命题，请举出反例说明:
①一个三角形的3个内角中至少有1个钝角；
②若三条线段a，b，c满足a+b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形；
③个位数字是5的整数，能被5整除；
④对于所有的自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数；
【答案】解：①假命题，锐角三角形；
②假命题，a=2，b=5，c=3；
③真命题；
④假命题，n=11
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据三角形按角分类可以分为：锐角三角形，直角三角形、钝角三角形进而再根据三类三角形的定义即可判断；
（2）根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边即可判断该命题是假命题，反例是： a=2，b=5，c=3 ，满足 a+b>c ，但不能围成三角形；
（3）根据能被5整除的数的特点即可判断；
（4）约数只有1和它本身的数就是质数，根据定义判断该命题的真假，举出的反例只要能满足命题的题设，同时又不满足命题的结论即可.
四、能力挑战：
21．下列选项中，可以用来证明命题“若a2-4a=0，则a=0”是假命题的反例是（ ）.
A．a = -2 B．a = -1 C．a = 4 D．a = 2
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：因为当a=4，a2-4a=0，所以 若a2-4a=0，则a=0是假命题.
故答案为：C.
【分析】举出的反例只要满足命题的题设，但又不满足命题的结论即可，从而一一判断得出答案.
22．下面给出的四个命题中，假命题是（ ）.
A．如果a=3，那么|a|=3
B．如果x2=4，那么x=±2
C．如果(a-1)(a+2)=0，那么a=1或a=-2
D．如果(a-1)2+(b+2)2=0，那么a=1或b=-2
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、若a＝3，则|a|＝3，所以A选项为真命题；
B、若x2＝4，则x＝±2，所以B选项为真命题；
C、若（a 1）（a＋2）＝0，则a 1＝0或a＋2＝0，所以C选项为真命题；
D、若（a 1）2＋（b＋2）2＝0，那么a＝1且b＝ 2，所以D选项为假命题．
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的意义可对A进行判断；根据平方根的定义可对B进行判断；根据两个数的积等于0，则每个因数至少有一个等于0对C进行判断；根据几个非负数的和为零，则这几个数都为零即可对D进行判断．
23．给出下列两个命题：①若m=n+1，则1-m2+2mn-n2=0；②若a、b（a≠b）为2、3、4、5这四个数中的任意两个，则满足2a-b>4的有序数组(a,b)共有5组．其中真命题是 （填序号）.
【答案】①②
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵m＝n＋1，
∴m n＝1，
∴1 m2＋2mn n2＝0，故①命题是真命题；
②若a、b（a≠b）为2、3、4、5这四个数中的任意两个，则满足2a b＞4的有序数组（a，b）共有（5,3）、（5,4）、（4,3）、（4，2）、（5,2）5组，故②命题是真命题．
故答案为：①②.
【分析】利用完全平方公式及不等式的解分别判断后即可判断得出答案.
24．能说明命题“周长相等的两个三角形能够完全重合”是假命题的反例可以是 .
【答案】边长为3,4,5的三角形与边长为4,4,4的等边三角形
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：因为当一个三角形的三边是 3,4,5；另一个三角形的三边是4,4,4时这两个三角形的周长相等，但不全等，故不可能完全重合，所以此命题是假命题.
故答案为： 边长为3,4,5的三角形与边长为4,4,4的等边三角形.
【分析】开放性的命题答案不唯一：根据三角形周长的计算方法及全等的判定方法，举出的反例只要满足命题的题设，但又不满足命题的结论即可.
25．如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A=∠C．
①把△ABC纸片按(如图1)所示折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE是折痕．说明BC//DF；
②把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时(如图2)，探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；
③当点A落在四边形BCED外时(如图3)，∠C与∠1、∠2的关系是 ．(直接写出结论)
【答案】解：根据折叠的性质得：∠DFE＝∠A，∵∠A＝∠C，∴∠DFE＝∠C，∴BC∥DF；；解：2∠C＝∠1＋∠2，理由如下：∵四边形的内角和等于360°，∴∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠AEA′＝360°．又∵∠1＋∠ADA′＋∠2＋∠AEA′＝360°，∴∠A＋∠A′＝∠1＋∠2．又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1＋∠2，∵∠A＝∠C，∴2∠C＝∠1＋∠2；；2∠C＝∠2 ∠1
【知识点】平行线的判定；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）∠2 ∠1＝2∠C，理由如下：
由题意得：∠A′ED＝∠AED（设为α），∠A′DE＝∠ADE（设为β）；
∵∠2＋2α＝180°，∠1＝β ∠BDE＝β （∠A＋α），
∴∠2 ∠1＝180° （α＋β）＋∠A；
∵∠A＝180° （α＋β），
∴∠2 ∠1＝2∠A，
∵∠A＝∠C，
∴2∠C＝∠2 ∠1．
故答案为：2∠C＝∠2 ∠1．
【分析】（1）根据折叠的性质得∠DFE＝∠A，由已知得∠A＝∠C，故∠DFE＝∠C，根据同位角相等，二直线平行即可得到结论；
（2）先根据四边形的内角和等于360°得出∠A＋∠A′＝∠1＋∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结论；
（3）∠A′ED＝∠AED（设为α），∠A′DE＝∠ADE（设为β），于是得到∠2＋2α＝180°，∠1＝β ∠BDE＝β （∠A＋α），推出∠2 ∠1＝180° （α＋β）＋∠A，根据三角形的内角和得到∠A＝180° （α＋β），即∠2 ∠1＝2∠A，于是得到结论．
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