初中数学苏科版八年级下册12.1-12.2 二次根式，二次根式的乘除 同步练习
一、选择题(每小题3分,共18分)
1．下列各式运算正确的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2019八下·杭州期末）要使式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017八下·河东期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知 <0，化简二次根式 的正确结果是（ ）.
A． B． C． D．
5．若 <0，则 的结果是（ ）.
A．0 B．-2 C．0或-2 D．2
6．若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题(每空3分,共27分)
7．比较大小: .
8．计算: = , = , = , = .
9．当 <0时, = .
10．如果 ,那么 的取值范围是 .
11．（2017·湖州模拟）已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
12．已知 , = .
三、解答题(共55分)
13．计算:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
14．化简:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
15．在实数范围内将下列各式因式分解:
（1）
（2）
16．求下列根式的值: ,其中 .
17．已知 ,求 的值.
四、选择题(每小题5分,共10分)
18．若代数式 的值为常数2，则 的范围为（ ）.
A． ≥4 B． ≤2 C．2≤ ≤4 D． =2或 =4
19．化简 的结果是（ ）.
A． B． C． D．-
五、填空题(每小题5分,共10分)
20．已知1 且 为偶数,则 的值为 .
21．若1< <4,则化简: = .
六、解答题(10分)
22．已知 满足 .
（1）求 的值;
（2）判断以 为边能否构成三角形若能构成三角形,此三角形是什么形状 并求出三角形的面积，若不能,请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的性质：，再对各选项进行计算，即可作出判断。
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ 有意义，
∴2－x≥0,
∴x≤2;
故答案为：D。
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。
3．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、2 是最简二次根式，故本选项正确；
B、 = ，故本选项错误；
C、 = ，故本选项错误；
D、 =x ，故本选项错误．
故选A．
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a＜0
∴。
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的性质，将已知二次根式进行化简可得结果。
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x＜o
∴.
故答案为：D.
【分析】由x＜0，可得，将代数式进行化简，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴1-2a≥0
解之：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质：若，则a≥0，由此建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围。
7．【答案】>
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：＞.
【分析】利用二次根式的性质：，分别将两个二次根式根号外的因数移到根号内，即可比较大小。
8．【答案】；24；60；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：，24，60，.
【分析】利用二次根式的性质：，分别进行化简即可。
9．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x＜0,
∴.
故答案为：
【分析】利用二次根式的性质：,进行化简即可。
10．【答案】x 6
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵ ,
∴x≥0且x-6≥0
解之：x≥0，x≥6
∴x的取值范围为：x≥6.
故答案为：x≥6.
【分析】利用二次根式的乘法法则：，建立关于x的不等式组，求出不等式组的解集。
11．【答案】20
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20，
所以，三角形的周长为20．
故答案为：20．
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
12．【答案】1
【知识点】算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：∵ ,
∴
解之：
∴x=2
∴y=-3
∴（x+y）4=（-3+2）4=1.
故答案为：1.
【分析】利用二次根式的非负性，建立关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，再将x的值代入代数式计算。
13．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=；
（3）解：原式=
（4）解：∵a≥0
∴原式=；
（5）解：原式=
（6）解： 原式=.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法法则进行计算。
（2）将两个二次根式外面的系数相乘，被开方数相乘，然后化简。
（3）利用二次根式的乘法法则将被开方数相乘，再化简二次根式。
（4）利用二次根式的乘法法则将被开方数相乘，再根据a≥0进行化简。
（5）利用二次根式的除法法则进行化简。
（6）先算括号里面的二次根式乘方运算，再算二次根式的除法运算。将其结果化成最简二次根式。
14．【答案】（1）解： 原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
（5）解： 原式=
（6）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）将被开方数32写成16×2，再进行化简。
（2）利用商的算术平方根法则进行计算，结果化成最简。
（3）将被开方数转化为6×6×2×2×9，然后进行化简即可。
（4）先将被开方数的带分数转化为假分数，然后化简即可。
（6）先将被开方数的分子分母同时乘以100，再进行化简，即可求出答案。
15．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】（1）将7写成，再利用平方差公式分解因式。
（2）将5写成，再利用完全平方公式进行分解因式。
16．【答案】 解：当 时,
原式=
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先将a，b的值代入代数式，再进行计算，将其结果化成最简二次根式。
17．【答案】解：∵x=1.69＞0
∴原式=.
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】由题意可知x＞0，先利用二次根式的性质将原代数式进行化简，再代入求值。
18．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ 代数式 的值为常数2
∴=a-2+4-a=2
∴2-a≤0，a-4≤0
解之：a≥2，a≤4
∴a的取值范围是： 2≤a≤4 .
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质：及已知代数式的值为2，可知2-a≤0，a-4≤0，解不等式组求出a的取值范围。
19．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴1-a＞0即a-1＜0
∴原式=.
故答案为：C.
【分析】观察代数式，利用二次根式的非负性，可知隐含条件为1-a＞0，因此将a-1转化为-（1-a），再将1-a移到根号内，再进行化简即可。
20．【答案】8
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵
∴
解之：9≤x＜6，
∵x为偶数，
∴x=8.
故答案为：8.
【分析】利用商的算术平方根的法则：，建立关于x的不等式组，求出不等式组的解集，再根据x为偶数可得到x的值。
21．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵1< x<4，
∴x-4＜0，x-1＞0
∴原式=|x-4|+|x-1|
=4-x+x-1
=3.
【分析】由已知1< x<4，可得到x-4＜0，x-1＞0，再利用二次根式的性质将代数式转化为|x-4|+|x-1|，然后化简绝对值即可求解。
22．【答案】（1）解：∵ 满足 ，
∴
解之：.
（2）解：∵
∴a+b＞c，
∴以a，b，c为三边能构成三角形，
∵，
∴
∴此三角形是直角三角形;
此三角形的面积为：
答：以a，b，c为三边能构成三角形，此三角形是直角三角形，面积为.
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）根据几个非负数之和为0，则每一个数都为0，建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值。
（2）利用三角形三边关系定理可得到以a，b，c为三边能构成三角形，根据三边的长排除等腰三角形，再求出较小两边的平方和及最大边的平方，然后比较大小，可判断出此三角形的形状，利用三角形的面积公式可求出此三角形的面积。
1 / 1初中数学苏科版八年级下册12.1-12.2 二次根式，二次根式的乘除 同步练习
一、选择题(每小题3分,共18分)
1．下列各式运算正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的性质：，再对各选项进行计算，即可作出判断。
2．（2019八下·杭州期末）要使式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ 有意义，
∴2－x≥0,
∴x≤2;
故答案为：D。
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。
3．（2017八下·河东期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、2 是最简二次根式，故本选项正确；
B、 = ，故本选项错误；
C、 = ，故本选项错误；
D、 =x ，故本选项错误．
故选A．
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
4．已知 <0，化简二次根式 的正确结果是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a＜0
∴。
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的性质，将已知二次根式进行化简可得结果。
5．若 <0，则 的结果是（ ）.
A．0 B．-2 C．0或-2 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x＜o
∴.
故答案为：D.
【分析】由x＜0，可得，将代数式进行化简，即可得出答案。
6．若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴1-2a≥0
解之：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质：若，则a≥0，由此建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围。
二、填空题(每空3分,共27分)
7．比较大小: .
【答案】>
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：＞.
【分析】利用二次根式的性质：，分别将两个二次根式根号外的因数移到根号内，即可比较大小。
8．计算: = , = , = , = .
【答案】；24；60；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：，24，60，.
【分析】利用二次根式的性质：，分别进行化简即可。
9．当 <0时, = .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x＜0,
∴.
故答案为：
【分析】利用二次根式的性质：,进行化简即可。
10．如果 ,那么 的取值范围是 .
【答案】x 6
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵ ,
∴x≥0且x-6≥0
解之：x≥0，x≥6
∴x的取值范围为：x≥6.
故答案为：x≥6.
【分析】利用二次根式的乘法法则：，建立关于x的不等式组，求出不等式组的解集。
11．（2017·湖州模拟）已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
【答案】20
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20，
所以，三角形的周长为20．
故答案为：20．
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
12．已知 , = .
【答案】1
【知识点】算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：∵ ,
∴
解之：
∴x=2
∴y=-3
∴（x+y）4=（-3+2）4=1.
故答案为：1.
【分析】利用二次根式的非负性，建立关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，再将x的值代入代数式计算。
三、解答题(共55分)
13．计算:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=；
（3）解：原式=
（4）解：∵a≥0
∴原式=；
（5）解：原式=
（6）解： 原式=.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法法则进行计算。
（2）将两个二次根式外面的系数相乘，被开方数相乘，然后化简。
（3）利用二次根式的乘法法则将被开方数相乘，再化简二次根式。
（4）利用二次根式的乘法法则将被开方数相乘，再根据a≥0进行化简。
（5）利用二次根式的除法法则进行化简。
（6）先算括号里面的二次根式乘方运算，再算二次根式的除法运算。将其结果化成最简二次根式。
14．化简:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）解： 原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
（5）解： 原式=
（6）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）将被开方数32写成16×2，再进行化简。
（2）利用商的算术平方根法则进行计算，结果化成最简。
（3）将被开方数转化为6×6×2×2×9，然后进行化简即可。
（4）先将被开方数的带分数转化为假分数，然后化简即可。
（6）先将被开方数的分子分母同时乘以100，再进行化简，即可求出答案。
15．在实数范围内将下列各式因式分解:
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】（1）将7写成，再利用平方差公式分解因式。
（2）将5写成，再利用完全平方公式进行分解因式。
16．求下列根式的值: ,其中 .
【答案】 解：当 时,
原式=
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先将a，b的值代入代数式，再进行计算，将其结果化成最简二次根式。
17．已知 ,求 的值.
【答案】解：∵x=1.69＞0
∴原式=.
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】由题意可知x＞0，先利用二次根式的性质将原代数式进行化简，再代入求值。
四、选择题(每小题5分,共10分)
18．若代数式 的值为常数2，则 的范围为（ ）.
A． ≥4 B． ≤2 C．2≤ ≤4 D． =2或 =4
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ 代数式 的值为常数2
∴=a-2+4-a=2
∴2-a≤0，a-4≤0
解之：a≥2，a≤4
∴a的取值范围是： 2≤a≤4 .
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质：及已知代数式的值为2，可知2-a≤0，a-4≤0，解不等式组求出a的取值范围。
19．化简 的结果是（ ）.
A． B． C． D．-
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴1-a＞0即a-1＜0
∴原式=.
故答案为：C.
【分析】观察代数式，利用二次根式的非负性，可知隐含条件为1-a＞0，因此将a-1转化为-（1-a），再将1-a移到根号内，再进行化简即可。
五、填空题(每小题5分,共10分)
20．已知1 且 为偶数,则 的值为 .
【答案】8
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵
∴
解之：9≤x＜6，
∵x为偶数，
∴x=8.
故答案为：8.
【分析】利用商的算术平方根的法则：，建立关于x的不等式组，求出不等式组的解集，再根据x为偶数可得到x的值。
21．若1< <4,则化简: = .
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵1< x<4，
∴x-4＜0，x-1＞0
∴原式=|x-4|+|x-1|
=4-x+x-1
=3.
【分析】由已知1< x<4，可得到x-4＜0，x-1＞0，再利用二次根式的性质将代数式转化为|x-4|+|x-1|，然后化简绝对值即可求解。
六、解答题(10分)
22．已知 满足 .
（1）求 的值;
（2）判断以 为边能否构成三角形若能构成三角形,此三角形是什么形状 并求出三角形的面积，若不能,请说明理由.
【答案】（1）解：∵ 满足 ，
∴
解之：.
（2）解：∵
∴a+b＞c，
∴以a，b，c为三边能构成三角形，
∵，
∴
∴此三角形是直角三角形;
此三角形的面积为：
答：以a，b，c为三边能构成三角形，此三角形是直角三角形，面积为.
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）根据几个非负数之和为0，则每一个数都为0，建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值。
（2）利用三角形三边关系定理可得到以a，b，c为三边能构成三角形，根据三边的长排除等腰三角形，再求出较小两边的平方和及最大边的平方，然后比较大小，可判断出此三角形的形状，利用三角形的面积公式可求出此三角形的面积。
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