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初中数学苏科版八年级下册10.1-10.2 分式及其基本性质 同步练习
一、选择题(每小题4分,共24分)
1．在式子 ， ， ， ， ， 中，分式的个数是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：是分式的有 ， ， ，和 .
故答案为：C.
【分析】分母含有字母的代数式为分式，据此逐个判断即可，注意π是常数。
2．若分式 有意义，则的取值范围是（ ）.
A． ≠2 B． ≠3
C． ≠2且 ≠3 D． =3
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≠0，
∴x≠3.
故答案为：B.
【分析】要使分式有意义，只要分母不等于0即可，据此列式即可求解.
3．若分式 的值为0，则 的值为（ ）.
A．4 B．-4 C． 4 D．2
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-2=0，
∴x=2，
这时x2-16=22-16=-14≠0，
∴x=2.
故答案为：D.
【分析】因为分式的值为0时，要使分子等于0，同时分母不等于0，根据分子等于0求解，再代入分母检验即可.
4．下列约分结果正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】A、a+m和b+m没有公因式不能约分，不符合题意；
B、 ， 不符合题意；
C、 ，符合题意；
D、， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分子和分母能分解因式的先分解因式，然后根据分数的性质再约分化简，比较结果即可判断.
5．如果把分式 的 和 都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）.
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．扩大为原来的9倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意得：
，
故答案为：A.
【分析】 先把 和 都扩大为原来的3倍得到一个新的分式，再约分化简，结果和 比较即可.
6．下列各分式中，最简分式是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A、 ，∴原式不是最简分式，不符合题意；
B、x+y和x2+y2没有公因式，不能约分，为最简分式；
C、，∴原式 不是最简分式，不符合题意；
D、， ∴原式不是最简因式，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分子和分母先分解因式，如果有公因式，则能约分，原式就不是最简分式，据此逐项判断即可.
二、填空题(每小题4分,共32分)
7．当 时,分式 有意义;当 =2时，分式 无意义,则 = .
【答案】 1；2
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x2-1≠0，
∴x≠1且x≠-1；
由题意得x2-3x+a=0,
即22-3×2+a=0,
解得x=2.
故答案为： ，2.
【分析】分式有意义是分母不等于0，据此列式即可求解；分式无意义是分母等于0，把x=2代入分母求出a值即可.
8．计算 的结果是 .
【答案】b
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解： .
故答案为：b.
【分析】找出分子分母的公因式，根据分式的性质约分即可得出结果.
9．分式 , , 的最简公分母是 .
【答案】12
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：∵在3ab2，4a2c3, 2a2c中,
3、4、2的最小公倍数是12，字母a的指数最大是2，字母b的指数最大是2，字母c的指数最大是3，
∴最简公分母是12a2b2c3.
故答案为：12a2b2c3.
【分析】分别找出在三个分母中，系数的最小公倍数，每个字母的指数的最大数，则它们的积就是公分母.
10．化简: = .
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：,
故答案为：.
【分析】先把分子和分母分别分解因式，再约分化简即可得出结果.
11．当 =2时,分式 的值是 .
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：由题意得：.
故答案为：-.
【分析】把x=2代入原式根据有理数运算法则直接求值即可.
12．若分式 的值为0，则 的值是 .
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
综上，m=1.
故答案为：1.
【分析】要使分式的值等于0，即使分子的等于0，且分母不等于0，据此列式联立求解即可.
13．下列运算:① ;② ;③ ;④ 其中错误的是 .(填序号)
【答案】①②③④
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解： ① , 错误；
② 2x+y和3x+y没有公因式，不能约分，错误；
③ x2+y2和x+y没有公因式，不能约分，错误；
④ , 错误.
故答案为： ①②③④.
【分析】注意分式的变号，提取负号，括号内各项要变号；分子和分母有公因式或公因数才能约分，否则不能约分.
14．若实数 , 满足 ≠0，则 的最大值是 .
【答案】2
【知识点】分式的值；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：1)当x<0, y<0时，
m==-1-1=-2；
2)当x<0, y>0时，
m==-1+1=0；
3)当x>0, y<0,
m==1-1=0；
4)当x>0, y>0,
m==1+1=2.
综上，m的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】分四种情况讨论，先去绝对值，再根据分式的性质约分化简求值，比较结果大小即可.
三、解答题(共44分)
15．约分.
（1） ;
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：
（4）解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】分子和分母能分解因式的先分解因式，然后根据分式的性质约分化简即可得出结果.
16．通分.
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：最简公分母为
（2）解：最简公分母为
（3）解：最简公分母为
（4）解：∵x2-2x=x(x-2), x2-4=(x+2)(x-2),
∴公因式为x(x+2)(x-2).
【知识点】最简公分母
【解析】【分析】（1）（2）当分式的分母是单项式时，其最简公分母是系数的最小公倍数与相同字母最高次幂的积；
（3）公因式为几个不同因式的乘积；
（4）分母能分解因式的先分解因式，则公分母为不同因式的乘积.
17．先化简，再求值:分式 ,其中 .
【答案】解：,当a=3b≠0时，.故答案为： , .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分式的分子分母分解因式，再约分化简，然后把a=3b≠0代入化简结果求值即可.
18．在三个整式 中,请你从中任意选择两个,将其中一个作为分子,另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简,再求出当 =5时分式的值.
【答案】解：当分子为x2-1, 分母为x2+x,
分式：==,
当x=5, .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】任取两个整式，一个作分母，一个作分子，将分子和分母分别分解因式，再约分化简，最后将x=5代入即可求值.
19．已知 , 的值.
【答案】解： ∵x-2xy-y=0,
∴x-y=2xy,
=
=
=
=-.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】由x-2xy-y=0得x-y=2xy, 于是将此关系代入原式，分子和分母再合并同类项，最后约分化简即可求值.
四、能力挑战(满分:30分)。
20．如图1，设 ，则有（ ）.
A．02
【答案】C
【知识点】列式表示数量关系；分式的化简求值
【解析】【解答】解：甲图中的阴影部分面积=a2-b2，
乙图中的阴影部分面积=a2-ab，
K=
=1+，
∵a>b>0，
∴0<<1，
∴ 1故答案为：C.
【分析】分别把图甲和图乙的阴影部分面积用字母表示出来，则k的表达式可知，然后再对右边分式的分子分母分解因式，约分化简，结合a>b>0， 则值的范围， 于是k的取值范围可求.
21．若分式 的值是负数，则 的取值范围是（ ）.
A． > B． < C． <0 D．不能确定
【答案】A
【知识点】分式的基本性质；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵2x2+1>0，
∴2-3x<0，
∴x>.
故答案为：A.
【分析】因为分母2x2+1是恒大于0的， 则只要使分子小于0，分式的值小于0，据此列不等式求出x的取值范围即可.
22．（2019七上·天台月考）已知 ，则 的值为 ．
【答案】-1
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法；有理数的除法
【解析】【解答】解：∵
∴a+b=0，且ab≠0，
即a,b异号，
设a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴.
故答案为：-1.
【分析】首先判断出a、b互为相反数，且a,b都不为0，进而根据有理数的乘法法则及绝对值的意义即可化简得出答案.
23．已知 ,则 = .
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用；分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵x2-3x+1=0,
∵当x=0, x2-3x-1=-1≠0，
∴x≠0，
方程两边同除以x: x-3-=0,
∴x-=3,
∴x2+=x2-2x×++2
=(x-)2+2
=9+2
=11.
故答案为：11.
【分析】先确定x不等于0，然后将原方程两边同除以x, 求出x-的值，将原式配方代值即可求出结果.
24．已知 , ,其中c≠0,求 的值.
【答案】解： ∵ ，∴a+b=c①,∵ ，∴2a-b=-2c②,①+②得 ， ，∴.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据已知条件把a、b分用含c的代数式表示，代入原式，将分子分母合并同类项再约分化简即可求出结果.
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初中数学苏科版八年级下册10.1-10.2 分式及其基本性质 同步练习
一、选择题(每小题4分,共24分)
1．在式子 ， ， ， ， ， 中，分式的个数是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若分式 有意义，则的取值范围是（ ）.
A． ≠2 B． ≠3
C． ≠2且 ≠3 D． =3
3．若分式 的值为0，则 的值为（ ）.
A．4 B．-4 C． 4 D．2
4．下列约分结果正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．如果把分式 的 和 都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）.
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．扩大为原来的9倍
6．下列各分式中，最简分式是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题(每小题4分,共32分)
7．当 时,分式 有意义;当 =2时，分式 无意义,则 = .
8．计算 的结果是 .
9．分式 , , 的最简公分母是 .
10．化简: = .
11．当 =2时,分式 的值是 .
12．若分式 的值为0，则 的值是 .
13．下列运算:① ;② ;③ ;④ 其中错误的是 .(填序号)
14．若实数 , 满足 ≠0，则 的最大值是 .
三、解答题(共44分)
15．约分.
（1） ;
（2）
（3）
（4）
16．通分.
（1）
（2）
（3）
（4）
17．先化简，再求值:分式 ,其中 .
18．在三个整式 中,请你从中任意选择两个,将其中一个作为分子,另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简,再求出当 =5时分式的值.
19．已知 , 的值.
四、能力挑战(满分:30分)。
20．如图1，设 ，则有（ ）.
A．02
21．若分式 的值是负数，则 的取值范围是（ ）.
A． > B． < C． <0 D．不能确定
22．（2019七上·天台月考）已知 ，则 的值为 ．
23．已知 ,则 = .
24．已知 , ,其中c≠0,求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：是分式的有 ， ， ，和 .
故答案为：C.
【分析】分母含有字母的代数式为分式，据此逐个判断即可，注意π是常数。
2．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≠0，
∴x≠3.
故答案为：B.
【分析】要使分式有意义，只要分母不等于0即可，据此列式即可求解.
3．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-2=0，
∴x=2，
这时x2-16=22-16=-14≠0，
∴x=2.
故答案为：D.
【分析】因为分式的值为0时，要使分子等于0，同时分母不等于0，根据分子等于0求解，再代入分母检验即可.
4．【答案】C
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】A、a+m和b+m没有公因式不能约分，不符合题意；
B、 ， 不符合题意；
C、 ，符合题意；
D、， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分子和分母能分解因式的先分解因式，然后根据分数的性质再约分化简，比较结果即可判断.
5．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意得：
，
故答案为：A.
【分析】 先把 和 都扩大为原来的3倍得到一个新的分式，再约分化简，结果和 比较即可.
6．【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A、 ，∴原式不是最简分式，不符合题意；
B、x+y和x2+y2没有公因式，不能约分，为最简分式；
C、，∴原式 不是最简分式，不符合题意；
D、， ∴原式不是最简因式，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分子和分母先分解因式，如果有公因式，则能约分，原式就不是最简分式，据此逐项判断即可.
7．【答案】 1；2
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x2-1≠0，
∴x≠1且x≠-1；
由题意得x2-3x+a=0,
即22-3×2+a=0,
解得x=2.
故答案为： ，2.
【分析】分式有意义是分母不等于0，据此列式即可求解；分式无意义是分母等于0，把x=2代入分母求出a值即可.
8．【答案】b
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解： .
故答案为：b.
【分析】找出分子分母的公因式，根据分式的性质约分即可得出结果.
9．【答案】12
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：∵在3ab2，4a2c3, 2a2c中,
3、4、2的最小公倍数是12，字母a的指数最大是2，字母b的指数最大是2，字母c的指数最大是3，
∴最简公分母是12a2b2c3.
故答案为：12a2b2c3.
【分析】分别找出在三个分母中，系数的最小公倍数，每个字母的指数的最大数，则它们的积就是公分母.
10．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：,
故答案为：.
【分析】先把分子和分母分别分解因式，再约分化简即可得出结果.
11．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：由题意得：.
故答案为：-.
【分析】把x=2代入原式根据有理数运算法则直接求值即可.
12．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
综上，m=1.
故答案为：1.
【分析】要使分式的值等于0，即使分子的等于0，且分母不等于0，据此列式联立求解即可.
13．【答案】①②③④
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解： ① , 错误；
② 2x+y和3x+y没有公因式，不能约分，错误；
③ x2+y2和x+y没有公因式，不能约分，错误；
④ , 错误.
故答案为： ①②③④.
【分析】注意分式的变号，提取负号，括号内各项要变号；分子和分母有公因式或公因数才能约分，否则不能约分.
14．【答案】2
【知识点】分式的值；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：1)当x<0, y<0时，
m==-1-1=-2；
2)当x<0, y>0时，
m==-1+1=0；
3)当x>0, y<0,
m==1-1=0；
4)当x>0, y>0,
m==1+1=2.
综上，m的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】分四种情况讨论，先去绝对值，再根据分式的性质约分化简求值，比较结果大小即可.
15．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：
（4）解：
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】分子和分母能分解因式的先分解因式，然后根据分式的性质约分化简即可得出结果.
16．【答案】（1）解：最简公分母为
（2）解：最简公分母为
（3）解：最简公分母为
（4）解：∵x2-2x=x(x-2), x2-4=(x+2)(x-2),
∴公因式为x(x+2)(x-2).
【知识点】最简公分母
【解析】【分析】（1）（2）当分式的分母是单项式时，其最简公分母是系数的最小公倍数与相同字母最高次幂的积；
（3）公因式为几个不同因式的乘积；
（4）分母能分解因式的先分解因式，则公分母为不同因式的乘积.
17．【答案】解：,当a=3b≠0时，.故答案为： , .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分式的分子分母分解因式，再约分化简，然后把a=3b≠0代入化简结果求值即可.
18．【答案】解：当分子为x2-1, 分母为x2+x,
分式：==,
当x=5, .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】任取两个整式，一个作分母，一个作分子，将分子和分母分别分解因式，再约分化简，最后将x=5代入即可求值.
19．【答案】解： ∵x-2xy-y=0,
∴x-y=2xy,
=
=
=
=-.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】由x-2xy-y=0得x-y=2xy, 于是将此关系代入原式，分子和分母再合并同类项，最后约分化简即可求值.
20．【答案】C
【知识点】列式表示数量关系；分式的化简求值
【解析】【解答】解：甲图中的阴影部分面积=a2-b2，
乙图中的阴影部分面积=a2-ab，
K=
=1+，
∵a>b>0，
∴0<<1，
∴ 1故答案为：C.
【分析】分别把图甲和图乙的阴影部分面积用字母表示出来，则k的表达式可知，然后再对右边分式的分子分母分解因式，约分化简，结合a>b>0， 则值的范围， 于是k的取值范围可求.
21．【答案】A
【知识点】分式的基本性质；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵2x2+1>0，
∴2-3x<0，
∴x>.
故答案为：A.
【分析】因为分母2x2+1是恒大于0的， 则只要使分子小于0，分式的值小于0，据此列不等式求出x的取值范围即可.
22．【答案】-1
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法；有理数的除法
【解析】【解答】解：∵
∴a+b=0，且ab≠0，
即a,b异号，
设a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴.
故答案为：-1.
【分析】首先判断出a、b互为相反数，且a,b都不为0，进而根据有理数的乘法法则及绝对值的意义即可化简得出答案.
23．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用；分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵x2-3x+1=0,
∵当x=0, x2-3x-1=-1≠0，
∴x≠0，
方程两边同除以x: x-3-=0,
∴x-=3,
∴x2+=x2-2x×++2
=(x-)2+2
=9+2
=11.
故答案为：11.
【分析】先确定x不等于0，然后将原方程两边同除以x, 求出x-的值，将原式配方代值即可求出结果.
24．【答案】解： ∵ ，∴a+b=c①,∵ ，∴2a-b=-2c②,①+②得 ， ，∴.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据已知条件把a、b分用含c的代数式表示，代入原式，将分子分母合并同类项再约分化简即可求出结果.
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