初中数学苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线 同步练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1．三角形的三条中位线长分别为2cm、3cm、4cm，则原三角形的周长为（ ）.
A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得：三角形的三边长分别为4，6，8，
∴原三角形的周长=4+6+8=18cm.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半，分别可得原三角形的三边的长，则原三角形的周长可求.
2．如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=8，A0=6，则四边形DEFG的周长为（ ）.
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、G分别是CA和OC的中点，
∴OD是△AOC的中位线，
∴OD=OA=×6=3，
∵D、E分别是AC和AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=×8=4，
同理可得EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，
∴EF=OA，GF=BC，
∴EF=DG=3，GF=DE=4，
∴四边形DEFG的周长为 ：GD+DE+EF+FG=3+4+3+4=14.
故答案为；B.
【分析】由D、G、E、F分别是AC、OC、OB和AB的中点，可知四边形DEFG的四边都是三角形的中位线，从而可得各边的长，则其周长可求.
3．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）.
A．20cm B．20 cm C．20 cm D．25 cm
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵E、F分别是AB和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AC=×10=5cm，
同理HG=EF=5cm，
同理可得，FG=EH=BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=HG=EH=5，
∴四边形EFGH的周长为 ：4EF=20cm.
故答案为：A.
【分析】因为E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，可得四边形EFGH的各边都是三角形的中位线，结合矩形的对角线相等，可得四边形EFGH的各边长相等，从而求出其周长.
4．如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴ED、FE、DF为△ABC中位线，
∴DF=AC，FE=AB，DE=BC；
∴DF+FE+DE=AC+AB+BC=（AC+BA+CB）= ×（6+7+5）=9．
故选A．
【分析】根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AC、AB、CB的长度关系即可解答．
二、填空题(每小题5分,共30分)
5．（2019·广西模拟）如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为
【答案】20
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
【分析】根据三角形中位线定理可得EN∥MC，EN=，FN∥MB，FN=，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形ENFM为平行四边形.根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证四边形ENFM为菱形，利用勾股定理求得BM，从而求出EM，四边形ENFM周长即可求得答案.
6．如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F是DE上一点，且AF⊥FC，若BC=9,DF=1,则AC的长为 .
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长AF交BC于点G，
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC，
∴DF是△ABG的中位线，
∴F是AG的中点，
∴BG=2DF=2×1=2，
∴GC=BC-BG=9-2=7，
∵F是AG的中点，CF⊥AG，
∴CF是AG的中垂线，
∴AC=GC=7.
故答案为：7.
【分析】延长AF交BC于点G，D,E分别是AB,AC的中点, 可得DE是△ABC的中位线，于是DF是△ABG的中位线，结合DF的长，则BG的长可求，CG的长可知；因为F是AG的中点，CF⊥AG，可知CF是AG的中垂线，于是由中垂线的性质可得AC=GC.
7．已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=2，则BD=
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵CA=CD，CF平分∠ACB，
∴点F是AD的中点，
又∵点E为AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BD=2EF=2×2=4．
故答案为：4．
【分析】首先根据CA=CD，CF平分∠ACB，可得点F是AD的中点，然后根据点E为AB的中点，可得EF是△ABC的中位线，再根据三角形中位线定理，求出BD的大小即可．
8．如图，四边形ABCD中,AD=BC,F,E,G分别是AB,CD,AC的中点，若∠DAC=20°,∠ACB=60°,则∠FEG= .
【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；等腰梯形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵F、G分别是CD和AC的中点,
∴FG是△ACD的中位线，
∴FG∥DA，GF=AD，
∴∠CGF=∠DAC=20°，
同理∠AGE=∠ACB=60°，GE=BC，
∴∠CGE=180°-∠AGE=180°-60°=120°，
∴∠EGF=∠CGF+∠CGF=20°+120°=140°，
∵AD=BC，
∴GE=GF，
∴∠FEG=∠EFG=，
故答案为：20.
【分析】F、G分别是CD和AC的中点,，可得FG是△ACD的中位线，则由中位线的性质可知FG平行DA，GF是AD的一半，∠CGF的度数可求，同理可知∠AGE=∠ACB，GE是BC的一半，则∠CGE的度数可得，结合AD=BC， 可得△GEF是等腰三角形，利用三角形内角和定理可求 ∠FEG的度数.
9．如图,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接DC并延长到E,使CE=CD.过点B作BF//DE,与AE的延长线交于点F.若AB=6，则BF的长为 .
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，D为BC的中点，
∴CD=AB=3，
∴CE=CD=1，
∴DE=CD+CE=4，
∵BF∥DE，D为AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BF=2DE=8.
【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD的长，由BF∥DE，结合D为AB的中点，可知DE为△ABC的中位线，于是BF的长可求.
10．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A B.CD，是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形 的面积为 .
【答案】20
【知识点】矩形的判定；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，
∴A1B1，B1C1，C1D1，A1D1是三角形的中位线，
A1D1∥BD∥B1C1， A1B1∥AC∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形
∵AC=8，BD=10，
∴A1D1=B1C1=BD=5， A1B1=C1D1=AC=4，
∵四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，
∵A1B1∥AC，A1D1∥BD，
∴A1B1和A1D1的夹角与AC和BD的夹角相等，
∴∠B1A1D1=90°，
∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴四边形 的面积 =5×4=20.
故答案为：20.
【分析】由于四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，得出A1B1，B1C1，C1D1，A1D1是三角形的中位线，四边形A1B1C1D1的四条边长度也可求，则由中位线定理得出四边形A1B1C1D1的两组对边分别平行是平行四边形，结合两个角的两边分别平行，则这两个角相等，可得∠B1A1D1是直角，从而可证四边形A1B1C1D1是矩形，则其面积可求.
三、解答题(共50分)
11．已知:如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.求证:MN//BC,且MN= BC.
【答案】证明：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是AD和BC的中点，
∴AE=BF=ED=FC，
∴四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，
∴∴M是BE的中点，N是EC的中点,
∴MN是△EBC的中位线,
∴MN//BC,且MN= BC.
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接EF，由四边形ABCD是平行四边形，得AD和BC平行且相等，结合E、F分别是AD和BC的中点，可得AE=BF=ED=FC，则由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形，则M是BE的中点，N是EC的中点, 可知MN是△EBC的中位线, 则平行等于BC的一半.
12．已知:如图,△ABC的中线BD, CE交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.
【答案】证明：∵E、D分别是AB和AC的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，ED=BC，
同理FG∥BC，FG=BC，
∴ED∥FG，ED=FG
∴ 四边形DEFG是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形中位线定理可得ED平行等于BC的一半，FG也平行等于BC的一半，可得ED和FG平行且相等，则四边形DEFG是平行四边形.
13．如图,D,E分别是△A BC的边AB,AC的中点,点O是OA BC内部任意一点，连接OB,OC，点G,F分别是OB ,OC的中点，顺次连接点D,G,F,E.求证:四边形DGFE是平行四边形.
【答案】解：证明：如图，连接OA，
∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
同理GF∥BC，GH=BC，
∴DE∥GF，DE=GF，
∴四边形DGFE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形的中位线定理可得DE平行等于BC的一半，GF平行等于BC的一半，因此可得DE和GH平行且相等，则四边形DGFE是平行四边形.
14．（2019·广西模拟）如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
【答案】（1）证明：D，E分别为AB，AC的中点，
DE BC，
延长BC至点F，使CF= BC．
DE FC，
即DE=CF
（2）解：DE FC，四边形DEFC是平行四边形，
DC=EF，D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，AD=BD=1，CD⊥AB，
BC=2，DC=EF=
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中位线定理得DE等于BC的一半，由CE等于BC，等量代换得DE等于CF。
（2）由题（1）得DE平行等于CF， 则四边形DEFC是平行四边形， 由平行四边形的性质得DC等于EF，
因为△ABC为等边三角形，BD的长度可知，由三线合一知CD垂直AB，在直角三角形BDC中，运用勾股定理可求得DC的长度，则得到EF的长度。
四、能力挑战（满分：30 分）
15．如图,菱形中，对角线AC,BD交于点O,E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于 .
【答案】3.5
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=×28=7，
∵E为AD的中点，
∴OE=AD=3.5.
故答案为：3.5.
【分析】由于菱形的四边相等，对角线互相垂直，可得AD的长，AC⊥BD，结合E是AD的中点，则由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知OE的长.
16．如图,在 ABC中,∠ACB=60°，点D,E分别是AB,AC的中点，点F在线段DE上,连接AF,CF.若CF恰好平分∠ACB ,则∠FAC的度数为 .
【答案】60
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长AF交BC于点G，
∵点D,E分别是AB,AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF是△ABG的中位线，
∴AF=FG，
∵∠ACF=∠GCF，
∴CF是AG的中垂线，
∴CG=CA，
∵∠ACB=60°，
∴△ACG是等边三角形，
∴∠FAC=60°.
故答案为：60.
【分析】由于点D,E分别是AB,AC的中点，则DE是△ABC的中位线，于是可知DE∥BC，DF是△ABG的中位线，AF=FG，结合 CF平分∠ACB , 可得CF是AG的中垂线，则CG=CA，再结合∠ACB=60°，可证△ACG是等边三角形，求得∠FAC为60°.
17．如图，已知矩形ABCD中，R， P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点.当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）.
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP和RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF=AR，
∴EF的长度不变.
故答案为：C.
【分析】连接AR，利用三角形的中位线定理即可得出EF是AR的一半，因为AR长为定值，则EF长不变.
18．如图,点E,F, G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点.
（1）求证:四边形EFGH是平行四边形.
（2）若连接AC,BD, 则当AC,BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形 请说明理由.
【答案】（1）证明：如图，连接BD，
∵E、F分别是CD和CB的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
同理HG∥BD，HG=BD，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
（2）解：如图，连接AC、BD，当AC,BD相等且互相垂直时，四边形EFGH是正方形，理由如下：由上题知EF=HG=BD，EH=FG=AC，∵AC=BD，∴EF=FG=HG=EH，∵EH∥AC，HG∥BD，∴∠EHF=∠CMB=90°，∴四边形EFGH是正方形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接BD，E、F分别是CD和CB的中点，由三角形的中位线定理可知EF平行等于BD的一半，同理得出HG平行等于BD的一半，则EF和HG平行且相等，可证四边形EFGH是平行四边形.
（2）当AC=BD时，由中位线定理可得四边形EFGH的各边相等，因为四边形的邻边和AC和BD分别平行，可知它们的夹角相等，故AC和BD垂直时，四边形EFGH的各内角也等于90°，故四边形EFGH是正方形.
1 / 1初中数学苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线 同步练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1．三角形的三条中位线长分别为2cm、3cm、4cm，则原三角形的周长为（ ）.
A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm
2．如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=8，A0=6，则四边形DEFG的周长为（ ）.
A．12 B．14 C．16 D．18
3．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）.
A．20cm B．20 cm C．20 cm D．25 cm
4．如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题(每小题5分,共30分)
5．（2019·广西模拟）如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为
6．如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F是DE上一点，且AF⊥FC，若BC=9,DF=1,则AC的长为 .
7．已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=2，则BD=
8．如图，四边形ABCD中,AD=BC,F,E,G分别是AB,CD,AC的中点，若∠DAC=20°,∠ACB=60°,则∠FEG= .
9．如图,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接DC并延长到E,使CE=CD.过点B作BF//DE,与AE的延长线交于点F.若AB=6，则BF的长为 .
10．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A B.CD，是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形 的面积为 .
三、解答题(共50分)
11．已知:如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.求证:MN//BC,且MN= BC.
12．已知:如图,△ABC的中线BD, CE交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.
13．如图,D,E分别是△A BC的边AB,AC的中点,点O是OA BC内部任意一点，连接OB,OC，点G,F分别是OB ,OC的中点，顺次连接点D,G,F,E.求证:四边形DGFE是平行四边形.
14．（2019·广西模拟）如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
四、能力挑战（满分：30 分）
15．如图,菱形中，对角线AC,BD交于点O,E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于 .
16．如图,在 ABC中,∠ACB=60°，点D,E分别是AB,AC的中点，点F在线段DE上,连接AF,CF.若CF恰好平分∠ACB ,则∠FAC的度数为 .
17．如图，已知矩形ABCD中，R， P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点.当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）.
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
18．如图,点E,F, G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点.
（1）求证:四边形EFGH是平行四边形.
（2）若连接AC,BD, 则当AC,BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形 请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得：三角形的三边长分别为4，6，8，
∴原三角形的周长=4+6+8=18cm.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半，分别可得原三角形的三边的长，则原三角形的周长可求.
2．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、G分别是CA和OC的中点，
∴OD是△AOC的中位线，
∴OD=OA=×6=3，
∵D、E分别是AC和AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=×8=4，
同理可得EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，
∴EF=OA，GF=BC，
∴EF=DG=3，GF=DE=4，
∴四边形DEFG的周长为 ：GD+DE+EF+FG=3+4+3+4=14.
故答案为；B.
【分析】由D、G、E、F分别是AC、OC、OB和AB的中点，可知四边形DEFG的四边都是三角形的中位线，从而可得各边的长，则其周长可求.
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵E、F分别是AB和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AC=×10=5cm，
同理HG=EF=5cm，
同理可得，FG=EH=BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=HG=EH=5，
∴四边形EFGH的周长为 ：4EF=20cm.
故答案为：A.
【分析】因为E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，可得四边形EFGH的各边都是三角形的中位线，结合矩形的对角线相等，可得四边形EFGH的各边长相等，从而求出其周长.
4．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴ED、FE、DF为△ABC中位线，
∴DF=AC，FE=AB，DE=BC；
∴DF+FE+DE=AC+AB+BC=（AC+BA+CB）= ×（6+7+5）=9．
故选A．
【分析】根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AC、AB、CB的长度关系即可解答．
5．【答案】20
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
【分析】根据三角形中位线定理可得EN∥MC，EN=，FN∥MB，FN=，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形ENFM为平行四边形.根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证四边形ENFM为菱形，利用勾股定理求得BM，从而求出EM，四边形ENFM周长即可求得答案.
6．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长AF交BC于点G，
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC，
∴DF是△ABG的中位线，
∴F是AG的中点，
∴BG=2DF=2×1=2，
∴GC=BC-BG=9-2=7，
∵F是AG的中点，CF⊥AG，
∴CF是AG的中垂线，
∴AC=GC=7.
故答案为：7.
【分析】延长AF交BC于点G，D,E分别是AB,AC的中点, 可得DE是△ABC的中位线，于是DF是△ABG的中位线，结合DF的长，则BG的长可求，CG的长可知；因为F是AG的中点，CF⊥AG，可知CF是AG的中垂线，于是由中垂线的性质可得AC=GC.
7．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵CA=CD，CF平分∠ACB，
∴点F是AD的中点，
又∵点E为AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BD=2EF=2×2=4．
故答案为：4．
【分析】首先根据CA=CD，CF平分∠ACB，可得点F是AD的中点，然后根据点E为AB的中点，可得EF是△ABC的中位线，再根据三角形中位线定理，求出BD的大小即可．
8．【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；等腰梯形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵F、G分别是CD和AC的中点,
∴FG是△ACD的中位线，
∴FG∥DA，GF=AD，
∴∠CGF=∠DAC=20°，
同理∠AGE=∠ACB=60°，GE=BC，
∴∠CGE=180°-∠AGE=180°-60°=120°，
∴∠EGF=∠CGF+∠CGF=20°+120°=140°，
∵AD=BC，
∴GE=GF，
∴∠FEG=∠EFG=，
故答案为：20.
【分析】F、G分别是CD和AC的中点,，可得FG是△ACD的中位线，则由中位线的性质可知FG平行DA，GF是AD的一半，∠CGF的度数可求，同理可知∠AGE=∠ACB，GE是BC的一半，则∠CGE的度数可得，结合AD=BC， 可得△GEF是等腰三角形，利用三角形内角和定理可求 ∠FEG的度数.
9．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，D为BC的中点，
∴CD=AB=3，
∴CE=CD=1，
∴DE=CD+CE=4，
∵BF∥DE，D为AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BF=2DE=8.
【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD的长，由BF∥DE，结合D为AB的中点，可知DE为△ABC的中位线，于是BF的长可求.
10．【答案】20
【知识点】矩形的判定；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，
∴A1B1，B1C1，C1D1，A1D1是三角形的中位线，
A1D1∥BD∥B1C1， A1B1∥AC∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形
∵AC=8，BD=10，
∴A1D1=B1C1=BD=5， A1B1=C1D1=AC=4，
∵四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，
∵A1B1∥AC，A1D1∥BD，
∴A1B1和A1D1的夹角与AC和BD的夹角相等，
∴∠B1A1D1=90°，
∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴四边形 的面积 =5×4=20.
故答案为：20.
【分析】由于四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，得出A1B1，B1C1，C1D1，A1D1是三角形的中位线，四边形A1B1C1D1的四条边长度也可求，则由中位线定理得出四边形A1B1C1D1的两组对边分别平行是平行四边形，结合两个角的两边分别平行，则这两个角相等，可得∠B1A1D1是直角，从而可证四边形A1B1C1D1是矩形，则其面积可求.
11．【答案】证明：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是AD和BC的中点，
∴AE=BF=ED=FC，
∴四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，
∴∴M是BE的中点，N是EC的中点,
∴MN是△EBC的中位线,
∴MN//BC,且MN= BC.
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接EF，由四边形ABCD是平行四边形，得AD和BC平行且相等，结合E、F分别是AD和BC的中点，可得AE=BF=ED=FC，则由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形，则M是BE的中点，N是EC的中点, 可知MN是△EBC的中位线, 则平行等于BC的一半.
12．【答案】证明：∵E、D分别是AB和AC的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，ED=BC，
同理FG∥BC，FG=BC，
∴ED∥FG，ED=FG
∴ 四边形DEFG是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形中位线定理可得ED平行等于BC的一半，FG也平行等于BC的一半，可得ED和FG平行且相等，则四边形DEFG是平行四边形.
13．【答案】解：证明：如图，连接OA，
∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
同理GF∥BC，GH=BC，
∴DE∥GF，DE=GF，
∴四边形DGFE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形的中位线定理可得DE平行等于BC的一半，GF平行等于BC的一半，因此可得DE和GH平行且相等，则四边形DGFE是平行四边形.
14．【答案】（1）证明：D，E分别为AB，AC的中点，
DE BC，
延长BC至点F，使CF= BC．
DE FC，
即DE=CF
（2）解：DE FC，四边形DEFC是平行四边形，
DC=EF，D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，AD=BD=1，CD⊥AB，
BC=2，DC=EF=
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中位线定理得DE等于BC的一半，由CE等于BC，等量代换得DE等于CF。
（2）由题（1）得DE平行等于CF， 则四边形DEFC是平行四边形， 由平行四边形的性质得DC等于EF，
因为△ABC为等边三角形，BD的长度可知，由三线合一知CD垂直AB，在直角三角形BDC中，运用勾股定理可求得DC的长度，则得到EF的长度。
15．【答案】3.5
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=×28=7，
∵E为AD的中点，
∴OE=AD=3.5.
故答案为：3.5.
【分析】由于菱形的四边相等，对角线互相垂直，可得AD的长，AC⊥BD，结合E是AD的中点，则由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知OE的长.
16．【答案】60
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长AF交BC于点G，
∵点D,E分别是AB,AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF是△ABG的中位线，
∴AF=FG，
∵∠ACF=∠GCF，
∴CF是AG的中垂线，
∴CG=CA，
∵∠ACB=60°，
∴△ACG是等边三角形，
∴∠FAC=60°.
故答案为：60.
【分析】由于点D,E分别是AB,AC的中点，则DE是△ABC的中位线，于是可知DE∥BC，DF是△ABG的中位线，AF=FG，结合 CF平分∠ACB , 可得CF是AG的中垂线，则CG=CA，再结合∠ACB=60°，可证△ACG是等边三角形，求得∠FAC为60°.
17．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP和RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF=AR，
∴EF的长度不变.
故答案为：C.
【分析】连接AR，利用三角形的中位线定理即可得出EF是AR的一半，因为AR长为定值，则EF长不变.
18．【答案】（1）证明：如图，连接BD，
∵E、F分别是CD和CB的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
同理HG∥BD，HG=BD，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
（2）解：如图，连接AC、BD，当AC,BD相等且互相垂直时，四边形EFGH是正方形，理由如下：由上题知EF=HG=BD，EH=FG=AC，∵AC=BD，∴EF=FG=HG=EH，∵EH∥AC，HG∥BD，∴∠EHF=∠CMB=90°，∴四边形EFGH是正方形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接BD，E、F分别是CD和CB的中点，由三角形的中位线定理可知EF平行等于BD的一半，同理得出HG平行等于BD的一半，则EF和HG平行且相等，可证四边形EFGH是平行四边形.
（2）当AC=BD时，由中位线定理可得四边形EFGH的各边相等，因为四边形的邻边和AC和BD分别平行，可知它们的夹角相等，故AC和BD垂直时，四边形EFGH的各内角也等于90°，故四边形EFGH是正方形.
1 / 1
