2022-2023学年青海省海南藏高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年青海省海南藏高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2. 在下列求导数的运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 用反证法证明“若，，，则，至少有一个为”时，假设正确的是( )
A. ，全不为 B. ，全为
C. ，中至少有一个不为 D. ，中只有一个为
4. 已知，，则可表示不同的值的个数为( )
A. B. C. D.
5. 二项式的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6. 若函数在处取得极值，则( )
A. B. C. D.
7. 某校从名女生和名男生中选人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为( )
A. B. C. D.
8. 若离散型随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
9. 已知正四棱柱中，，，点，分别是和的中点，是线段的中点，则直线和所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 某校有，等五名高三年级学生报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校，每所高校均有人报考，其中，两名学生相约报考同一所高校，则这五名学生不同的报考方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
11. 由数据，，，可得关于的线性回归方程为，若，则( )
A. B. C. D.
12. 已知奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 随机变量，，则 ______ ．
14. 用火柴棒按如图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则第个图形所用火柴棒数为______．
15. 由曲线与直线围成的封闭图形的面积为______．
16. 已知函数的导函数的图象如图所示，给出以下结论：
函数在和是单调递增函数；
函数在处取得极大值；
函数在处取得极大值，在处取得极小值；
函数在上是单调递增函数，在上是单调递减函数．
则正确命题的序号是______ 填上所有正确命题的序号
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
，为虚数单位，为实数．
当为纯虚数时，求的值；
当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，求的取值范围．
18. 本小题分
用适当的方法证明下列命题，求证：
；
．
19. 本小题分
某人工智能公司想要了解其开发的语言模型准确率是否与使用的训练数据集大小有关联，该公司随机选取了大型数据集和小型数据集各个，并记录了使用这些数据集训练的模型在测试数据集上的准确率准确率不低于则认为达标，根据小型数据集的准确率数据绘制成如图所示的频率分布直方图各组区间分别为，，，，．
求的值，并完成下面的列联表；
大型数据集 小型数据集 合计
达标
不达标
合计
试根据小概率值的独立性检验，能否认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联？
附：其中
20. 本小题分
袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．
Ⅰ若每次抽取后都放回，求恰好取到个黑球的概率；
Ⅱ若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列．
21. 本小题分
如图，三棱柱中，侧面与侧面均为边长为的正方形，、分别是、的中点，且．
证明：平面；
求二面角的正切值．
22. 本小题分
已知函数．
若在点处的切线与直线平行，求实数的值；
当时，求函数的单调区间．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
将化简，再由共轭复数得定义即可得到结果．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，
而命题：““若，，”，则“，至少有一个为”的否定为“，全不为”，
故选：．
假设原命题不成立，也就是，全不为．
本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为从集合中任取一个值共有个不同的值，
从集合中任取一个值共有个不同的值，
且，互不相同，故可以表示为个不同的值．
故选：．
根据计数原理求解即可．
本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
5.【答案】
【解析】解：二项式的通项公式为：．
所以令，解得，
所以展开式中的系数为．
故选：．
求出二项式的通项公式，然后求展开式中的系数即可．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
因为函数在处取得极值，
所以的根为，且，
所以，
解得，，
检验：当，时，，
，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以在处取得极大值，且，符合题意，
所以．
故选：．
对于函数求导可得的根为，且，再检验，即可解得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：女生甲被选中的情况下，基本事件总数，
在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，
则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为．
故选：．
先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，结合条件概率的计算方法求解即可．
本题考查条件概率相关知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，解得，
．
故选：．
根据且求得，再由求解．
本题主要考查二项分布的方差公式，以及二项分布的概率公式，即可求解．
9.【答案】
【解析】解：由已知，以点为原点建立如图所示直角坐标系，
，，点，分别是和的中点，
可得，，，，，
由于是线段的中点，则，
则，，
设直线和所成角为，则．
故选：．
由于四棱柱是正四棱柱，可建立坐标系，利用向量求直线和所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成的角，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：把五名高三年级学生分成组，分成两类，
，即一组，剩余人选人与一组，有种，再组全排列有种，
共有种，
，即一组，剩余人选人一组，有种，再组全排列有种，
共有种，
综上，五名学生不同的报考方法共有种．
故选：．
把学生分成两类，再利用平均分组和不平均分组求解即可．
本题考查分类加法计数原理的运用，平均分组和不平均分组的运用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以，所以．
故选：．
求出样本中心的横坐标，代入回归直线方程，求和样本中心的纵坐标，即可求解结果．
本题考查规范直线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，是一道中档题．
令，通过已知条件判断的单调性，即可得出结论．
【解答】
解：令，则，
当时，，
当时，，即当时，，单调递增，
，
，
函数为奇函数，
，
故，
故
故选：．

13.【答案】
【解析】解：因为随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，
又因为，
所以，，
所以．
故答案为：．
利用正态分布曲线的对称性求解即可．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由图形可知，第一个图形用个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，是等差数列，数列的首项为，公差为，
即第个使用火柴为，
则第个图形所用火柴棒数为：．
故答案为：．
判断图形的火柴棒数是等差数列求出通项公式，然后求解即可．
本题考查归纳推理的应用，等差数列的通项公式的求法与应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：将直线方程与曲线方程联立可得，
所以正直线和抛物线交点坐标为，，
结合图象可知围成的封闭图形的面积为．
故答案为：．
先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线与直线所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．
本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．本题属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由图象可以看出在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
所以错，正确，
故答案为：．
由图象可以看出在上，在上，从而可求出函数的单调区间和极值点，进而可逐个分析判断．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，数形结合思想，属基础题．
17.【答案】解：由为纯虚数得，解得；
复数，
复数位于第四象限，
，解得或．
故的取值范围为．
【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
由实部为且虚部不为列式求解值；
化简，再由实部大于且虚部小于列不等式组求解．
18.【答案】证明：，，，
，
即，
当且仅当时取得等号．
要证成立，
即证，即证，
即证，
而显然成立，
故成立．
【解析】由重要不等式及不等式性质即可证得结果；
利用分析法逐步寻找不等式成立的充分条件，依次推理即可得出结果．
本题主要考查基本不等式证明不等式的方法，反证法证明不等式的方法等知识，属于基础题．
19.【答案】解：由，解得，
准确率不低于的小型数据集有个，
由此可得列联表如下：
大型数据集 小型数据集 合计
达标
不达标
合计
零假设为：语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小无关联，
根据列联表中的数据，得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联．
【解析】由频率之和可得，进而可得列联表；
计算卡方即可与临界值比较求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ有放回地抽取次，取法总数为种，
设恰好取出一个黑球为事件，
中包含有种取法，所以．
Ⅱ从个球中任意取出个球的取法总数为，的可能取值是，，，
，，，
所以的分布列为：

【解析】Ⅰ根据古典概型的公式，求的总数和符合题意事件的个数，可得答案；
Ⅱ根据超几何分布的概念及其概率公式，可得答案．
本题主要考查离散型随机变量的概率和分布列，属于基础题．
21.【答案】证明：连接交于点，连接、，
在三棱柱中，且，
故四边形为平行四边形，
因为，则为的中点，
又因为为的中点，所以，，
因为平面，平面，
因此，平面．
解：因为三棱柱中，侧面与侧面均为边长为的正方形，
则，
又因为，
所以，则，
因为，，，、平面，所以平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
，，
则点、、、，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
所以，，则，
故，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的正切值为．
【解析】连接交于点，连接、，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
证明出，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正切值．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为，所以，
因为在点处的切线与直线平行，所以，
即，解得．
当时，则，
令，解得或，所以的单调递增区间为，，
令，解得，所以的单调递减区间为．
【解析】求出函数的导函数，依题意可得，代入计算可得；
求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
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