精编人教版第十三章轴对称重难点题型汇总及答案解析第三部分（含解析）

精编人教版第十三章轴对称重难点题型汇总及答案解析
第三部分（第十二章共四个部分）
小专题11 线构等腰技巧（三）作腰的平行线构等腰
小专题12 线构等腰技巧（四）倍长中线构等腰
小专题13 线构等腰技巧（五）截长补短构等腰
小专题14 线构等腰技巧（六）二倍角构等腰
小专题15 线等腰三角形构全等的技巧（一）一线三等角构全等
小专题16 线等腰三角形构全等的技巧（二）等边等角构全等
第十三章轴对称
小专题11 构等腰技巧（三）作腰的平行线构等腰
模型:点D为直线AB上一点,AB＝AC,过点D作DE∥AC交直线BC于点E.则DE＝DB.
[例]如图,AB＝AC,∠A＝90°,点E在AB上,点F在AC的延长线上,且BE＝CF,EF交直线BC于点D,过点E作EM⊥BC,垂足为M.求证:MD＝BM+DC.
方法总结：
1.过腰上一点作另一腰的平行线，得等腰。
2.证明线段的和或差问题。往往采用直接或间接截长或补短法来处理;
3.本题利用三线合一及全等三角形证线段相等。
1.如图,AB＝AC,CE∥AB,BD∥AC,BD＝CE,DE交BC于点F.求证:DF＝FE
小专题12 构等腰技巧（四）倍长中线构等腰
模型:如图,D为BC的中点,E为AD上一点,则∠BED＝∠DAC BE＝AC.
延长ED至点H,使得DH＝ED,连接CH,
易证△BED≌△CHD,∴∠BED＝∠H,BE＝CH.
故∠BED＝∠DAC ∠H＝∠DAC BE＝AC.
[例]如图，AD为△ABC的角平分线，E为BC的中点，EF∥AD交AC于点F，若AB＝ 3，AC＝7，求AF的长.
方法总结:
1.角平分线+平行线，定有等腰三角形（必要时延长线造等腰三角形）.
2.倍长中线得全等后，导角后发现新等腰三角形.
3.设未知数列方程求边。
1.如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,连接BE并延长交AC于点F.若EF＝ AF,BE＝7.5,CF＝6,求EF的长.
小专题13 构等腰技巧（五）截长补短构等腰
模型:如图，D为△ABC的边BC上一点，若要得出AB＝AC+CD，可采用直接或间接截长补短法转化为等腰三角形来处理.
方法一:（直接截长法）在AB上取一点E，使得BE＝CD，连接CE，转化为处理AE＝AC问题;
方法二:（直接补短法）延长AC至点F，使得CF＝CD，连接BF，转化为处理AF＝AB问题;
方法三:（间接补短法）延长AC至点F，使得AF＝AB，连接DF，转化为处理CF＝CD问题.
[例]如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+ BC＝BE,求∠B的度数.
方法总结:
1.证明:“a＝b+c”型几何问题，往往采用直接或间接截长补短法来处理，在等腰三角形这章中，截长补短后将相等线段转化到后一个三角形中，运用等腰三角形的性质或判定来处理。
2.求角度问题。合理设未知数，运用等腰三角形的性质，沟通角之间的联系，列方程求解.
1.如图，点B是x轴上一点，点A在第一象限，OA＝AB，P为y轴上一点，∠POA＝ ∠PBA,AD⊥x轴于点D.
（1）求证:∠PBA＝∠DAB;
（2）若点A的纵坐标为4，求OP+PB的值.
小专题14 构等腰技巧（六）二倍角构等腰
模型:如图,在△ABC中,∠ABC＝2∠ACB.
构等腰法一:延长CB至点E，使BE＝AB，连接EA，则∠∠ABC＝∠ACB,∴AE＝AC;
构等腰法二:作∠ABC的平分线交AC于点F，则∠FBC ∠ABC＝∠ACB,∴BF＝FC;
构等腰法三:作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则AM＝MC，∠AMB＝ 2∠ACB＝∠ABC,∴AB＝AM.
[例]在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D.若BD＝1，AB＝3，求BC的长.
方法总结:
1.二倍角构等腰的技巧之一:在形外倍长二倍角所在一边的线段。图中定有双等腰三角形.
2.二倍角构等腰的技巧之二:作二倍角的对边也是单角的邻边的垂直平分线，构造双等腰三角形.
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，∠DAB＝2∠B＝45°.求证:DB＝ 2AC.
小专题15 线等腰三角形构全等的技巧（一）一线三等角构全等
模型:如图, C为BD上一点,AC＝EC,∠ACE＝∠B＝∠D,则△ABC≌△CDE.
分析:要证△ABC≌△CDE，目前已具备哪些条件呢？还差几个条件待证？
已具备一等边（AC＝CE）和一等角（∠B＝∠D），还差一个条件是找等边还是找等角呢？
由前面学习过一线三等角模型（∠ACE＝∠B＝∠D）知，有等角∠BAC＝∠ECD.从而△ABC≌△CDE（AAS）
解答：
证明:∵∠ACE＝∠B,∠B+∠BAC＝∠ACD＝∠ACE+∠ECD,
∴∠BAC＝∠ECD.
∵∠B＝∠D,AC＝CE,
∴△ABC≌△CDE.
[例]如图，在等边△ABC的三边上分别取点D，E，F，使△DEF为等边三角形.
（1）求证:CF＝BE;（2）若2BE＝EC，求∠EFC的度数.
方法总结:
1.已知“一线三等角”的问题，图形中一定有新的等角。若含有等边。探寻是否有三角形全等.
2.一条线段等于另一条线段的两倍问题，往往考虑取中点，得到相等线段，进而探究图中是否有特殊形状的三角形或全等三角形.
1.如图,AM∥BN,△ABC是等边三角形,点D在AM上,DC的延长线交BN于点E, ∠DEB＝60°,求证:BE＝AD+CD.
小专题16 线等腰三角形构全等的技巧（二）等边等角构全等
模型:如图,在△ABC与△DEF中,AB＝DE,∠B＝∠E,BC＞EF.
[例]如图,在四边形ABCD中,∠ADB＝45°, CE⊥AB于点E,∠BDC＝90°,BD＝DC，
CE交BD于点F，连接AF.求证:CF=AB+AF.
方法总结:等边等角构全等技巧:
1.当两个三角形具备一边一角两个条件时，往往需要通过构造全等来解决问题:
2.可通过截取等角的另一边相等，构造SAS全等;或者作角相等，构造ASA或AAS全等，一般都可以解决问题。
1.如图,AC＝BC,CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝90°,CE∥DB,AE与CD交于点F.求证:
DB＝2CF.
参考答案及解析：
第十三章 轴对称
小专题11 构等腰技巧（三）作腰的平行线构等腰
模型:点D为直线AB上一点,AB＝AC,过点D作DE∥AC交直线BC于点E.则DE＝DB.
∵AB＝AC,
∴∠B＝∠ACB.
" DE//AC,
∴∠DEB＝∠ACB,
∴∠B＝∠DEB,
∴DE＝DB
[例]如图,AB＝AC,∠A＝90°,点E在AB上,点F在AC的延长线上,且BE＝CF,EF交直线BC于点D,过点E作EM⊥BC,垂足为M.求证:MD＝BM+DC.
分析:作平行线构等腰,间接截长补短法来探究.
过点E作EH//AC交BC于点H, 由模型得EH＝EB, 由三线合一得MH＝BM,由△EHD≌△FCD,得HD＝DC,从而解决问题.
解答：
证明:如图,过点E作EH∥AC交BC于点H,∴∠HED＝∠F,
∵∠A＝90°,AB＝AC,∴∠BEH＝90°,∠ACB＝∠B＝45°,
∴BE＝EH,∵EM⊥BC,∴BM＝MH,
∵BE＝CF, ∴EH＝CF,
∵∠HED＝∠F,∠EDH＝∠FDC,
∴△DEH≌△DFC,∴DH＝DC,
∴DM＝DH+MH＝CD+BM.
方法总结：
1.过腰上一点作另一腰的平行线，得等腰。
2.证明线段的和或差问题。往往采用直接或间接截长或补短法来处理;
3.本题利用三线合一及全等三角形证线段相等。
1.如图,AB＝AC,CE∥AB,BD∥AC,BD＝CE,DE交BC于点F.求证:DF＝FE
解答：
证明:过点 E 作 EH ∥AC 交 BC 于点 H.∵AB＝AC,
∴∠ABC＝∠ACB.
∵HE∥AC,AB∥CE, ∴∠ECH＝∠ABC,∠EHC＝∠ACB,
∴∠EHC＝∠ECH,∴HE＝EC.
又∵BD＝EC,∴BD＝HE.
∵BD∥AC,HE∥AC,∴BD∥HE,
∴∠D＝∠FEH,∠DBF＝∠EHF,
∴△DBF≌△EHF,∴DF＝EF.
小专题12 构等腰技巧（四）倍长中线构等腰
模型:如图,D为BC的中点,E为AD上一点,则∠BED＝∠DAC BE＝AC.
延长ED至点H,使得DH＝ED,连接CH,
易证△BED≌△CHD,∴∠BED＝∠H,BE＝CH.
故∠BED＝∠DAC ∠H＝∠DAC BE＝AC.
分析:如何将等角、等边通过转化集中到一个三角形中去呢？
利用中点，倍长中线（ED）得全等，构等腰来解决问题.
易证△EBD≌△HCD（SAS）,得∠BED＝∠H,BE＝CH,
（1）若∠BED＝∠DAC,则∠H＝∠DAC,∴AC＝HC＝BE.
（2）若BE＝AC,∴HC＝AC,∴∠DAC＝∠H＝∠BED.
[例]如图，AD为△ABC的角平分线，E为BC的中点，EF∥AD交AC于点F，若AB＝ 3，AC＝7，求AF的长.
分析:本题有中点模型, 和角平分线+平行线得等腰模型,
易证△FEC≌△NEB,得BN＝FC＝7-x,∠N＝∠EFC,
易得∠AFM＝∠CAD＝∠BAD＝∠M,∴AM＝AF＝x,
怎样列方程求x呢 通过角的转化,还有等角得等腰吗
∠N＝∠EFC＝∠AFM＝∠M,
∴BM＝BN,3+x＝7-x,解得x＝2,∴AF＝2.
解答：
解:延长BA,EF交于点M.
∵AD∥EF,AD平分∠BAC,
∴∠M＝∠BAD＝∠DAC＝∠EFC＝∠AFM,
∴AF＝AM.
延长FE至点N,使EN＝EF,连接BN,
∴∠BEN＝∠FEC,BE＝EC,
∴△CFE≌△BNE,∴BN＝CF,∠N＝∠EFC,
∴∠M＝∠N,∴BM＝BN＝FC.
设AF＝AM＝x,则BM＝3+x,FC＝7-x,
∴3+x＝7-x,解得x＝2,∴AF＝2.
方法总结:
1.角平分线+平行线，定有等腰三角形（必要时延长线造等腰三角形）.
2.倍长中线得全等后，导角后发现新等腰三角形.
3.设未知数列方程求边。
1.如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,连接BE并延长交AC于点F.若EF＝ AF,BE＝7.5,CF＝6,求EF的长.
解答：
解:延长ED至点H,使DH＝ED,连接CH.
∵BD＝DC,∠EDB＝∠HDC,
∴△EBD≌△HCD,
∴CH＝BE＝7.5,∠H＝∠BED＝∠AEF.
∵EF＝AF,∴∠CAD＝∠AEF,∴∠H＝∠CAD,
∴AC＝CH＝7.5.∴EF＝AF＝AC-CF＝7.5-6＝1.5.
小专题13 构等腰技巧（五）截长补短构等腰
模型:如图，D为△ABC的边BC上一点，若要得出AB＝AC+CD，可采用直接或间接截长补短法转化为等腰三角形来处理.
方法一:（直接截长法）在AB上取一点E，使得BE＝CD，连接CE，转化为处理AE＝AC问题;
方法二:（直接补短法）延长AC至点F，使得CF＝CD，连接BF，转化为处理AF＝AB问题;
方法三:（间接补短法）延长AC至点F，使得AF＝AB，连接DF，转化为处理CF＝CD问题.
[例]如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+ BC＝BE,求∠B的度数.
分析:要求∠B的度数，在△ABE中，需求∠E的度数或∠B与∠E的数量关系.
由MN垂直平分AE得AC＝CE,∠E＝∠EAC（设为x）
由AB+BC＝BE＝CE+BC得,AB＝CE＝AC,易得∠B＝∠ACB＝2x,
如何列方程求解出x呢？在△ABE中，由2x+x+105°＝180°，可求出x的值.
解析：
解:连接AC，设∠E＝x.∵CM垂直平分AE，
∴AC＝CE,∴∠CAE＝∠E＝x.
∵AB+BC＝BE,CE+BC＝BE,
∴AB＝CE,∴AB＝AC,
∴∠B＝∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x.
在△ABE中，∠B+∠E+∠BAE＝180°，∠BAE＝105°，
∴2x+x+105°＝180°，x＝25°，∴∠B＝2x＝50°.
方法总结:
1.证明:“a＝b+c”型几何问题，往往采用直接或间接截长补短法来处理，在等腰三角形这章中，截长补短后将相等线段转化到后一个三角形中，运用等腰三角形的性质或判定来处理。
2.求角度问题。合理设未知数，运用等腰三角形的性质，沟通角之间的联系，列方程求解.
1.如图，点B是x轴上一点，点A在第一象限，OA＝AB，P为y轴上一点，∠POA＝ ∠PBA,AD⊥x轴于点D.
（1）求证:∠PBA＝∠DAB;
（2）若点A的纵坐标为4，求OP+PB的值.
解:（1）∵OA＝AB,AD⊥x轴,∴∠OAD＝∠DAB. ∵AD⊥x轴,OP⊥x轴,
∴AD∥OP,∴∠OAD＝∠POA,
又∠POA＝∠PBA,∴∠POA＝∠PBA＝∠DAB;
（2）延长BA交y轴于点C.作AE⊥OC于点E,则OE＝4.
∵AD∥OP,∴∠OCB＝∠DAB.又∵∠POA＝∠PBA＝∠DAB,
∴∠OCB＝∠PBC＝∠POA,∴OA＝AC,PB＝PC,
∴OC＝OP+PC＝OP+PB.
小专题14 构等腰技巧（六）二倍角构等腰
模型:如图,在△ABC中,∠ABC＝2∠ACB.
构等腰法一:延长CB至点E，使BE＝AB，连接EA，则∠∠ABC＝∠ACB,∴AE＝AC;
构等腰法二:作∠ABC的平分线交AC于点F，则∠FBC ∠ABC＝∠ACB,∴BF＝FC;
构等腰法三:作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则AM＝MC，∠AMB＝ 2∠ACB＝∠ABC,∴AB＝AM.
[例]在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D.若BD＝1，AB＝3，求BC的长.
思路一:在形外构等腰，延长CB至点E，使BE＝AB＝3，连接AE.
利用模型得∠E＝∠C,AC＝AE,∵AD⊥BC,∴DC＝ED＝3+1＝4.
思路二:在形内构等腰，作AC的垂直平分线交BC于点N，连接AN.
利用模型得NC＝AN＝AB＝3,∵AD⊥BC,∴BD＝DN＝1,∴DC＝1+3＝4.
解法一:延长CB至点E，使BE＝BA＝3，连接AE，
∴∠E＝∠∠ABC，∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠E,
∴AE＝AC.
∵AD⊥BC,
∴DC＝ED＝4,∴BC＝BD+DC＝5;
解法二:作AC的垂直平分线交BC于点N，连接AN，则AN＝NC，
∴∠NAC＝∠C,∴∠ANB＝∠NAC+∠C＝2∠C＝∠ABC.∴AB＝AN＝3.
∵AD⊥BC,∴BD＝DN＝1,
∴BC＝BN+NC＝2BD+AN＝5.
方法总结:
1.二倍角构等腰的技巧之一:在形外倍长二倍角所在一边的线段。图中定有双等腰三角形.
2.二倍角构等腰的技巧之二:作二倍角的对边也是单角的邻边的垂直平分线，构造双等腰三角形.
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，∠DAB＝2∠B＝45°.求证:DB＝ 2AC.
证明:作 DB 的垂直平分线交AB于点E，交DB于点F，连接DE,则ED＝EB,
∴∠EDB＝∠B,
∴∠AED＝∠EDB+∠B＝2∠B＝∠DAB＝45°,
∴∠ADE＝90°,AD＝DE,∴∠ADC+∠EDF＝90°.
∵∠C＝90°,∴∠CAD+∠ADC＝90°,∴∠CAD＝∠EDB.
∵∠C＝∠EFD＝90°,AD＝DE,∴△ACD≌△DFE,∴DF＝AC,
∴DB＝2DF＝2AC.
小专题15 线等腰三角形构全等的技巧（一）一线三等角构全等
模型:如图, C为BD上一点,AC＝EC,∠ACE＝∠B＝∠D,则△ABC≌△CDE.
分析:要证△ABC≌△CDE，目前已具备哪些条件呢？还差几个条件待证？
已具备一等边（AC＝CE）和一等角（∠B＝∠D），还差一个条件是找等边还是找等角呢？
由前面学习过一线三等角模型（∠ACE＝∠B＝∠D）知，有等角∠BAC＝∠ECD.从而△ABC≌△CDE（AAS）
解答：
证明:∵∠ACE＝∠B,∠B+∠BAC＝∠ACD＝∠ACE+∠ECD,
∴∠BAC＝∠ECD.
∵∠B＝∠D,AC＝CE,
∴△ABC≌△CDE.
例1.如图，在等边△ABC的三边上分别取点D，E，F，使△DEF为等边三角形.
（1）求证:CF＝BE;（2）若2BE＝EC，求∠EFC的度数.
分析1:要证CF＝BE，需证△BDE≌△CEF，怎样证呢？易证∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，DE＝EF，由一线三等角模型得△BDE≌△CEF,∴CF＝BE.
分析2:取EC的中点H，则EH＝HC＝BE，连接HF，图中是否有新的特殊形状的三角形呢？
发现△FHC为等边三角形，还有新的特殊形状的三角形吗？
从而∠EFC＝30°+60°＝90°.
解答：
证明:（1）∵△ABC，△DEF均为等边三角形，
∴DE＝EF,∠B＝∠C＝∠DEF＝60°,
∴∠DEB+∠BDE＝120°＝∠FEC+∠DEB,
∴∠BDE＝∠FEC,∴△BDE≌△CEF,∴BE＝FC;
（2）取EC的中点H,∵BE＝FC,2BE＝EC,∴BE＝EH＝HC＝FC.
∵∠C＝60°，∴△FHC为等边三角形，
∴FH＝EH＝HC，∠FHC＝∠HFC＝60°，
∴∠EFH＝∠FEH＝30°，
∴∠EFC＝∠EFH+∠HFC＝30°+60°＝90°.
方法总结:
1.已知“一线三等角”的问题，图形中一定有新的等角。若含有等边。探寻是否有三角形全等.
2.一条线段等于另一条线段的两倍问题，往往考虑取中点，得到相等线段，进而探究图中是否有特殊形状的三角形或全等三角形.
1.如图,AM∥BN,△ABC是等边三角形,点D在AM上,DC的延长线交BN于点E, ∠DEB＝60°,求证:BE＝AD+CD.
解答：
证明:在BE上截取BF＝CD,连接CF.
∵△ABC为等边三角形, ∠DEB＝60°,
∴AC＝BC,∠ACB＝∠DEB＝60°,
∴∠ACD+∠BCE＝120°＝∠BCE+∠CBE,∴∠ACD＝∠CBE,
∵BF＝CD,BC＝AC,∴△BCF≌△CAD,
∴CF＝AD,∠BFC＝∠ADC.
∵AM∥BN,∴∠DEB+∠ADC＝180°,
∵∠DEB＝60°,∴∠ADC＝120°＝∠BFC,
∴∠CFE＝60°.∵∠DEB＝60°,
∴△CFE为等边三角形,∴CF＝EF,
又∵AD＝CF,∴AD＝EF,∴BE＝BF+EF＝CD+AD.
小专题16 线等腰三角形构全等的技巧（二）等边等角构全等
模型:如图,在△ABC与△DEF中,AB＝DE,∠B＝∠E,BC＞EF.
[例]如图,在四边形ABCD中,∠ADB＝45°, CE⊥AB于点E,∠BDC＝90°,BD＝DC，
CE交BD于点F，连接AF.求证:CF=AB+AF.
思路:
一边一角→构全等
8字形EBDC ∠EBD＝∠ECD
在CF上截取CM＝AB △ABD≌△MDF（SAS）
DM＝DA,∠CDM＝∠ADM＝∠FDM＝45°
△ADF≌△MDF（SAS）
AF＝FM CF＝AB+AF.
解答：
证明:在CF上截取CM＝AB,连接DM.
∵CE⊥AB,∠BDC＝90°,
∴∠ABD+∠BFE＝90°＝∠DCF+∠CFD,
又∵∠BFE＝∠CFD,∴∠ABD＝∠DCF.
∵AB＝CM,BD＝CD,∴△ABD≌△MCD,
∴AD＝DM,∠CDM＝∠ADB＝45°,
∵∠BDC＝90°,∴∠BDM＝45°＝∠ADB.
∵AD＝DM,DF＝DF,∴△ADF≌△MDF,
∴AF＝FM,∴CF＝CM+FM＝AB+AF.
方法总结:等边等角构全等技巧:
1.当两个三角形具备一边一角两个条件时，往往需要通过构造全等来解决问题:
2.可通过截取等角的另一边相等，构造SAS全等;或者作角相等，构造ASA或AAS全等，一般都可以解决问题。
1.如图,AC＝BC,CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝90°,CE∥DB,AE与CD交于点F.求证:
DB＝2CF.
解答：
证明:作AM⊥CD,垂足为M,∵∠ACB＝∠D＝90°,
∴∠ACM+∠BCD＝∠B+∠BCD,
∴∠ACM＝∠B,又∵∠AMC＝∠CDB＝90°, AC＝BC,
∴△ACM≌△CBD,
∴DB＝CM,AM＝CD＝CE.
又∵∠AMF＝∠ECF＝90°,∠EFC＝∠AFM,
∴△CEF≌△MAF,∴CF＝MF,∴DB＝CM＝2CF.