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高中数学苏教版（2019）3.1不等式的基本性质
一、单选题
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M＝N C．M【答案】A
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为 ，
。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合作差法比较出M,N的大小。
2．（2020高一上·乐清月考）若 ， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】比较法
【解析】【解答】因为 ，所以 ，故答案为：A.
【分析】利用作差法判断即可.
3．（2020高二上·无锡期末）设 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】 ，
， ，
故答案为：B．
【分析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断．
4．甲、乙两人同时从寝室出发去教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同(步行速度与跑步速度不相等)，则（ ）
A．两人同时到教室 B．谁先到教室不确定
C．甲先到教室 D．乙先到教室
【答案】D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】设甲用时间为 ，乙用时间为 ，步行速度为 ，跑步速度为 ，距离为
∴
∴乙先到教室.
故答案为：D.
【分析】利用实际问题的已知条件结合作差法比较法得出乙先到教室。
5．已知 a+b>0，b<0，那么 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】由a+b>0，b<0，则 ，所以 ，所以 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而比较出 的大小关系 。
6．（2020高二上·静乐开学考）若 ， ，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】 ， ， ，
又 ， ，两边同乘以负数 ，可知
故答案为：D
【分析】根据题意，结合 ， ， 利用不等式的性质得出答案。
7．若 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解： 且 .
当 时, ,则 ,与已知条件 矛盾,所以必有 ,同理可得 .
A项, ，即 ，A项正确;
B项, ，即 ，B项错误;
C项, 时, ,C项错误;
D项,当 , , 时, ,D项错误.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而选出不等式一定成立的选项。
8．（2018高二上·济宁月考）若 ，则下列不等式成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件a>b>c，得知a-c>b-c>0，由此得知B正确。
9．若 ，则M，N的大小关系是（ ）
A．M＝N B．MN
【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴，
∴ ,即M故答案为：B
【分析】利用已知条件结合不等式的性质和放缩法，从而比较出 M，N的大小 。
10．（2020高一上·定州月考）下列说法正确的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【分析】对于选项A,根据不等式的性质，只有c>0时，能成立，故错误
选项B中，当a=0,b=-1,时，此时a>b，但是不满足平方后的a2>b2，成立，故错误。
选项D中，因为当a2>b2时，比如a=-2,b=0,的不满足a>b，故错误，排除法只有选C.
【点评】解决该试题的关键是注意可乘性的运用。只有同时乘以正数不等号方向不变。
二、填空题
11．若 ， ，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】 ，
，
又 ，
，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而求出 的取值范围 。
12．给出下列命题:
①若 , ,则 ;②若 ,则 ;
③若 ,且 ,则 ;④若 ,则 .
其中正确命题的序号是 .
【答案】④
【知识点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】解:①当 时, 不成立,故①不正确;
②当 时, ,故②不正确;
③当 , , 时,命题不成立,故③不正确;
④若 ,则 ,
因为 ,
则 ，
两边同乘以 ,得 ，
又因为 , ,故④正确。
故答案为:④。
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而找出正确命题的序号。
三、解答题
13．已知 试比较 与 的大小.
【答案】
， ， ， ，
，
即 .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而比较出 与 的大小。
14．已知 ， ，求证： .
【答案】 ，
因为 ， ，所以 ， ，
故 ，即证： .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差法和不等式的基本性质，从而证出 成立。
15．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋ ≤ ＋xy.
【答案】证明：由于x≥1，y≥1，
所以x＋y＋ ≤ ＋ ＋xy xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)·(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.
从而所要证明的不等式成立．
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小法，从而证出 x＋y＋ ≤ ＋xy 成立。
16．已知 ，求证： .
【答案】解：由题意
∴ 成立.
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而证出不等式 成立。
17．已知a，b，x，y都是正数，且 ＞ ，x＞y，求证 ＞ .
【答案】 都是正数，且 ＞ ，x＞y，
，
故 ，即 ，
.
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而证出不等式 ＞ 成立。
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高中数学苏教版（2019）3.1不等式的基本性质
一、单选题
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M＝N C．M2．（2020高一上·乐清月考）若 ， 则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020高二上·无锡期末）设 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
4．甲、乙两人同时从寝室出发去教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同(步行速度与跑步速度不相等)，则（ ）
A．两人同时到教室 B．谁先到教室不确定
C．甲先到教室 D．乙先到教室
5．已知 a+b>0，b<0，那么 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020高二上·静乐开学考）若 ， ，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
8．（2018高二上·济宁月考）若 ，则下列不等式成立的是（ ）.
A． B． C． D．
9．若 ，则M，N的大小关系是（ ）
A．M＝N B．MN
10．（2020高一上·定州月考）下列说法正确的是 ( )
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若 ， ，则 的取值范围是 .
12．给出下列命题:
①若 , ,则 ;②若 ,则 ;
③若 ,且 ,则 ;④若 ,则 .
其中正确命题的序号是 .
三、解答题
13．已知 试比较 与 的大小.
14．已知 ， ，求证： .
15．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋ ≤ ＋xy.
16．已知 ，求证： .
17．已知a，b，x，y都是正数，且 ＞ ，x＞y，求证 ＞ .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为 ，
。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合作差法比较出M,N的大小。
2．【答案】A
【知识点】比较法
【解析】【解答】因为 ，所以 ，故答案为：A.
【分析】利用作差法判断即可.
3．【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】 ，
， ，
故答案为：B．
【分析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断．
4．【答案】D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】设甲用时间为 ，乙用时间为 ，步行速度为 ，跑步速度为 ，距离为
∴
∴乙先到教室.
故答案为：D.
【分析】利用实际问题的已知条件结合作差法比较法得出乙先到教室。
5．【答案】C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】由a+b>0，b<0，则 ，所以 ，所以 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而比较出 的大小关系 。
6．【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】 ， ， ，
又 ， ，两边同乘以负数 ，可知
故答案为：D
【分析】根据题意，结合 ， ， 利用不等式的性质得出答案。
7．【答案】A
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解： 且 .
当 时, ,则 ,与已知条件 矛盾,所以必有 ,同理可得 .
A项, ，即 ，A项正确;
B项, ，即 ，B项错误;
C项, 时, ,C项错误;
D项,当 , , 时, ,D项错误.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而选出不等式一定成立的选项。
8．【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件a>b>c，得知a-c>b-c>0，由此得知B正确。
9．【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴，
∴ ,即M故答案为：B
【分析】利用已知条件结合不等式的性质和放缩法，从而比较出 M，N的大小 。
10．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【分析】对于选项A,根据不等式的性质，只有c>0时，能成立，故错误
选项B中，当a=0,b=-1,时，此时a>b，但是不满足平方后的a2>b2，成立，故错误。
选项D中，因为当a2>b2时，比如a=-2,b=0,的不满足a>b，故错误，排除法只有选C.
【点评】解决该试题的关键是注意可乘性的运用。只有同时乘以正数不等号方向不变。
11．【答案】
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】 ，
，
又 ，
，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而求出 的取值范围 。
12．【答案】④
【知识点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】解:①当 时, 不成立,故①不正确;
②当 时, ,故②不正确;
③当 , , 时,命题不成立,故③不正确;
④若 ,则 ,
因为 ,
则 ，
两边同乘以 ,得 ，
又因为 , ,故④正确。
故答案为:④。
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而找出正确命题的序号。
13．【答案】
， ， ， ，
，
即 .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而比较出 与 的大小。
14．【答案】 ，
因为 ， ，所以 ， ，
故 ，即证： .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差法和不等式的基本性质，从而证出 成立。
15．【答案】证明：由于x≥1，y≥1，
所以x＋y＋ ≤ ＋ ＋xy xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)·(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.
从而所要证明的不等式成立．
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小法，从而证出 x＋y＋ ≤ ＋xy 成立。
16．【答案】解：由题意
∴ 成立.
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而证出不等式 成立。
17．【答案】 都是正数，且 ＞ ，x＞y，
，
故 ，即 ，
.
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而证出不等式 ＞ 成立。
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