人教新课标A版 必修一 2.2.2 对数函数及其性质

人教新课标A版 必修一 2.2.2 对数函数及其性质
一、单选题
1．（2020高二下·浙江期末）已知集合 ，A∩B=（　　）
A． B．
C． D．
2．（2020高二下·宿迁期末）若实数 ， 满足 ，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020高一下·金华月考）函数 的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2019高一上·丹东月考）三个数 ， ， 的大小关系为（　　）．
A． B．
C． D．
5．（2020高一上·大庆期末）若 ，那么实数 的取值范围是（　　）
A．(0，1) B．(0， ) C．( ，1) D．(1，＋∞)
6．（2020·洛阳模拟）设 是定义在 上的函数，满足条件 ，且当 时， ，则 ， 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高一上·厦门月考）若函数 在区间 上是减函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2020高一下·南宁期中）函数 的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2020高二下·铜陵期中）已知正实数a,b,c满足： ，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2019高一上·丹东月考）已知等式 ， 成立，那么下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中可能成立的是（　　）
A．①② B．①②⑤ C．③④ D．④⑤
二、填空题
11．（2019高一上·邵阳月考）函数 的图像恒过定点 ，则点 的坐标是　 　．
12．（2020高一上·南开期末）若函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是　 　．
13．（2020高二下·宁波期末）已知函数 .若 的定义域为R，则实数a的取值范围是　 　；若 的值域为R，则实数a的取值范围是　 　.
14．（2019高一上·郁南月考）关于下列结论：
①函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称；
②函数y=ax+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到；
③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}；
④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.
其中不正确的是　 　.
三、解答题
15．（2019高一上·邵阳月考）已知函数
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性；
16．（2019高一上·集宁月考）已知
（1）当 时，解不等式 ；
（2） 在 恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】由 ，可得 .
由 ，可得 .
.
故答案为：D.
【分析】求出集合 ，即求 .
2．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据实数 ， 满足 ，取 ， ，则可排除 ．
因为函数 在定义域上单调递增，因为 ，所以 ，即
故答案为：C．
【分析】根据条件，取 ， ，则可排除错误选项．
3．【答案】C
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】要使函数 有意义，则 ，即 ，即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），
故答案为：C．
【分析】根据分母不为0，真数大于0，即可得到结论．
4．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由指数函数的性质可得： ，
由对数运算的性质可得： ，
据此可得： 。
故答案为：C.
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，再结合所比较的三个数与特殊值1和0的大小关系比较，从而找出三个数 ， ， 的大小关系。
5．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】当 时， ，显然不适合题意；
当 时，由 可得： ，
即 ，
故答案为：B
【分析】讨论 ， ，结合对数函数的图象与性质得到结果.
6．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】依题意 ，所以 .因为 ，且当 时， 为减函数，所以 .
故答案为：B
【分析】利用已知条件将 转换为 ，根据 时 的单调性，比较出 的大小关系.
7．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令t＝x2﹣ax﹣3a 3a，
则由题意可得函数f（x）＝log2t，
函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．
∴ ，求得﹣4≤a＜4，
故答案为：D．
【分析】令t＝x2﹣ax﹣3a，得到函数f（x）＝log2t，利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质列式，即可求得a的范围．
8．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】可知函数 是偶函数，排除C，D；
定义域满足： ，可得 或 .当 时， 是递增函数，排除A；
故答案为：B.
【分析】根据函数解析式，用排除法判断，根据偶函数排除C、D；再根据单调性，排除A，即可求解答案.
9．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，
在坐标系里画出 与 的图象，
与 的图象，
可得 ，
再根据 与 的图象交点得到 的位置，
根据 与 的图象交点得到 的位置，
从而得到 ，故 ，
故答案为：B.
【分析】先在坐标系里画出图象，得到 在 ， 在 ，再根据 与 的交点， 与 的交点，得到a,b的大小关系即可得到答案.
10．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】当m＝n＝1时，有log2m＝log3n，故①成立；
当 时，有log2m＝log3n=-2 ，故②成立；
当m＝4，n＝9时，有log2m＝log3n=2，此时 ，故⑤成立．
∴可能成立的是①②⑤．
故答案为：B．
【分析】利用对数的运算性质结合log2m＝log3n，m，n∈（0，+∞）成立得到m与n的关系，则答案可求．
11．【答案】（2，1）
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ， ，即 时， ， 点 的坐标是 ，故答案为 。
【分析】利用对数函数恒过定点的性质结合换元法，从而求出函数 的图象恒过的定点的坐标。
12．【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，即函数 在区间 上的值域为 .
由于函数 的值域为 ，则函数 在区间 上单调递减，
且有 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】求出函数 在区间 上的值域为 ，从而可得出函数 在区间 上单调递减，且有 ，得出关于实数 的不等式组，解出即可.
13．【答案】；
【知识点】二次函数的性质；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为 的定义域为R，所以 恒成立，
①若 ，则 ，解得 ，不满足题意；
②若 ，则 .
综上所述，a的取值范围是 .
若 的值域为R，则 可取遍所有正数，
①若 ， 可取遍所有正数，满足题意；
②若 ，则 .
综上所述，a的取值范围是 .
故答案为： ；
【分析】若 的定义域为R则 恒成立，分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式组求解；若 的值域为R，则 可取遍所有正数，分类讨论利用一次函数、二次函数的图象与性质列出不等式组求解.
14．【答案】①③
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】① 与 互为反函数，所以的图象关于直线 对称，所以①错误；
② 的图象可由 的图象向左平移2个单位得到，所以②正确；
③由 得 ，即 ，解得 ．所以③错误；
④设 ，定义域为 ，关于原点对称
所以 是奇函数，所以④正确，
故不正确的结论是①③．
故答案为：①③
【分析】①利用对称的性质判断；②利用图象的平移关系判断；③解对数方程可得；④利用函数的奇偶性判断．
15．【答案】（1）解：由题意得， ，解得 ，故函数 的定义域为
（2）解：由(1)知，函数的定义域关于原点对称，且
故函数 为偶函数．
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)根据真数大于零，即可求出定义域；(2)先判断定义域是否关于原点对称，再判断 与 的关系，即可得出函数 的奇偶性．
16．【答案】（1）解：当 时，解不等式 ，得 ，
即 ， 故不等式的解集为
（2）解：由 在 恒成立，得 在 恒成立，
①当 时，有 ，得 ，
②当 时，有 ，得 ，
故实数 的取值范围 .
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）当 时，可得 ，即为 ，由对数函数的单调性，可得不不等式的解集；（2）由 在 上恒成立，得 在 上恒成立，讨论 ，根据 的范围，由恒成立思想，可得 的范围.
1 / 1人教新课标A版 必修一 2.2.2 对数函数及其性质
一、单选题
1．（2020高二下·浙江期末）已知集合 ，A∩B=（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】由 ，可得 .
由 ，可得 .
.
故答案为：D.
【分析】求出集合 ，即求 .
2．（2020高二下·宿迁期末）若实数 ， 满足 ，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据实数 ， 满足 ，取 ， ，则可排除 ．
因为函数 在定义域上单调递增，因为 ，所以 ，即
故答案为：C．
【分析】根据条件，取 ， ，则可排除错误选项．
3．（2020高一下·金华月考）函数 的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】要使函数 有意义，则 ，即 ，即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），
故答案为：C．
【分析】根据分母不为0，真数大于0，即可得到结论．
4．（2019高一上·丹东月考）三个数 ， ， 的大小关系为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由指数函数的性质可得： ，
由对数运算的性质可得： ，
据此可得： 。
故答案为：C.
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，再结合所比较的三个数与特殊值1和0的大小关系比较，从而找出三个数 ， ， 的大小关系。
5．（2020高一上·大庆期末）若 ，那么实数 的取值范围是（　　）
A．(0，1) B．(0， ) C．( ，1) D．(1，＋∞)
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】当 时， ，显然不适合题意；
当 时，由 可得： ，
即 ，
故答案为：B
【分析】讨论 ， ，结合对数函数的图象与性质得到结果.
6．（2020·洛阳模拟）设 是定义在 上的函数，满足条件 ，且当 时， ，则 ， 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】依题意 ，所以 .因为 ，且当 时， 为减函数，所以 .
故答案为：B
【分析】利用已知条件将 转换为 ，根据 时 的单调性，比较出 的大小关系.
7．（2019高一上·厦门月考）若函数 在区间 上是减函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令t＝x2﹣ax﹣3a 3a，
则由题意可得函数f（x）＝log2t，
函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．
∴ ，求得﹣4≤a＜4，
故答案为：D．
【分析】令t＝x2﹣ax﹣3a，得到函数f（x）＝log2t，利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质列式，即可求得a的范围．
8．（2020高一下·南宁期中）函数 的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】可知函数 是偶函数，排除C，D；
定义域满足： ，可得 或 .当 时， 是递增函数，排除A；
故答案为：B.
【分析】根据函数解析式，用排除法判断，根据偶函数排除C、D；再根据单调性，排除A，即可求解答案.
9．（2020高二下·铜陵期中）已知正实数a,b,c满足： ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，
在坐标系里画出 与 的图象，
与 的图象，
可得 ，
再根据 与 的图象交点得到 的位置，
根据 与 的图象交点得到 的位置，
从而得到 ，故 ，
故答案为：B.
【分析】先在坐标系里画出图象，得到 在 ， 在 ，再根据 与 的交点， 与 的交点，得到a,b的大小关系即可得到答案.
10．（2019高一上·丹东月考）已知等式 ， 成立，那么下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中可能成立的是（　　）
A．①② B．①②⑤ C．③④ D．④⑤
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】当m＝n＝1时，有log2m＝log3n，故①成立；
当 时，有log2m＝log3n=-2 ，故②成立；
当m＝4，n＝9时，有log2m＝log3n=2，此时 ，故⑤成立．
∴可能成立的是①②⑤．
故答案为：B．
【分析】利用对数的运算性质结合log2m＝log3n，m，n∈（0，+∞）成立得到m与n的关系，则答案可求．
二、填空题
11．（2019高一上·邵阳月考）函数 的图像恒过定点 ，则点 的坐标是　 　．
【答案】（2，1）
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ， ，即 时， ， 点 的坐标是 ，故答案为 。
【分析】利用对数函数恒过定点的性质结合换元法，从而求出函数 的图象恒过的定点的坐标。
12．（2020高一上·南开期末）若函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，即函数 在区间 上的值域为 .
由于函数 的值域为 ，则函数 在区间 上单调递减，
且有 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】求出函数 在区间 上的值域为 ，从而可得出函数 在区间 上单调递减，且有 ，得出关于实数 的不等式组，解出即可.
13．（2020高二下·宁波期末）已知函数 .若 的定义域为R，则实数a的取值范围是　 　；若 的值域为R，则实数a的取值范围是　 　.
【答案】；
【知识点】二次函数的性质；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为 的定义域为R，所以 恒成立，
①若 ，则 ，解得 ，不满足题意；
②若 ，则 .
综上所述，a的取值范围是 .
若 的值域为R，则 可取遍所有正数，
①若 ， 可取遍所有正数，满足题意；
②若 ，则 .
综上所述，a的取值范围是 .
故答案为： ；
【分析】若 的定义域为R则 恒成立，分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式组求解；若 的值域为R，则 可取遍所有正数，分类讨论利用一次函数、二次函数的图象与性质列出不等式组求解.
14．（2019高一上·郁南月考）关于下列结论：
①函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称；
②函数y=ax+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到；
③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}；
④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.
其中不正确的是　 　.
【答案】①③
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】① 与 互为反函数，所以的图象关于直线 对称，所以①错误；
② 的图象可由 的图象向左平移2个单位得到，所以②正确；
③由 得 ，即 ，解得 ．所以③错误；
④设 ，定义域为 ，关于原点对称
所以 是奇函数，所以④正确，
故不正确的结论是①③．
故答案为：①③
【分析】①利用对称的性质判断；②利用图象的平移关系判断；③解对数方程可得；④利用函数的奇偶性判断．
三、解答题
15．（2019高一上·邵阳月考）已知函数
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性；
【答案】（1）解：由题意得， ，解得 ，故函数 的定义域为
（2）解：由(1)知，函数的定义域关于原点对称，且
故函数 为偶函数．
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)根据真数大于零，即可求出定义域；(2)先判断定义域是否关于原点对称，再判断 与 的关系，即可得出函数 的奇偶性．
16．（2019高一上·集宁月考）已知
（1）当 时，解不等式 ；
（2） 在 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时，解不等式 ，得 ，
即 ， 故不等式的解集为
（2）解：由 在 恒成立，得 在 恒成立，
①当 时，有 ，得 ，
②当 时，有 ，得 ，
故实数 的取值范围 .
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）当 时，可得 ，即为 ，由对数函数的单调性，可得不不等式的解集；（2）由 在 上恒成立，得 在 上恒成立，讨论 ，根据 的范围，由恒成立思想，可得 的范围.
1 / 1