2.2 基本不等式（第二课时课件）-高一数学同步备课（人教A版2019必修第一册）(共24张PPT)

(共24张PPT)
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.2.2 利用基本不等式求最值
高中数学/人教A版/必修一
基本不等式的功能在于“和积互化”.
基本不等式的应用主要有：证明不等式，求代数式的最值，辅助解决实际问题，消元，多项式降次，等等.
本节课学习基本不等式在求最值过程中的应用.
≤ (当a=b时取等号)
用基本不等式求最值
解：y== ≤= ，
即y的最大值为 ,当x=2时，等号成立.
例1. 已知 x>0, 则y=的最大值 .
(一) 直接求最值
方法总结：
代数式局部的和(或积)为定值时，可考虑用基本不等式转化，但要检查前提条件：一正二定三相等.
(二) 分步求最值
例2.已知a>b>0, 求a2+的最小值.
解：因为0所以a2+≥a2+≥16
当a=2b=2时，等号成立.
用基本不等式求最值
方法总结：
本题代数式局部为积的形式，用基本不等式可取得消元的效果，再从整体结构出发使用基本不等式，求得最值.
已知a>1,b>0,则+2a的最小值为 .
练一练
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以 +2a≥ +2(a-1)+2≥…
解：由已知，xy=x+y+2≥2+2
即2≥3，
xy≥(+1)2=4+2
当x=y=1+时，等号成立.
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
最小值为 .
(三) 条件最值之和积转化
用基本不等式求最值
方法总结：
已知条件同时含有和与积，而目标式只含有积，故先借助于基本不等式将和转化为积，再求最值.
已知 x>0, y>0, 且x2+4y2+5xy=1，则 x+2y 的最小值为 .
练一练
提示：
由条件式得：1=(x+2y)2+xy,
=(x+2y)2+x(2y)= …
解法一：由=1 得y=, 所以x+y =
x-8++8=[(x-8)+]+10≥2+10=18
当(x-8)= ，即x=2y=12时，等号成立.
例4.已知 x>0, y>0 ，+=1,求x+y的最小值.
(四) 条件最值之代入消元
用基本不等式求最值
解法二：因为=1，所以x+y=(x+y)(+)
=10++≥2+10=18
当x=2y=12时，等号成立.
(五) 条件最值之逆向代换
例4.已知 x>0, y>0 ，+=1,求x+y的最小值.
用基本不等式求最值
方法总结：
在求含两个变量代数式的最值时，代入消元是可考虑的一个方向；如果条件是代数式等于常数的结构，逆向代换往往是高效的解决途径.
练一练
已知0提示：
目标式中有隐含条件：x+(1-x)=1
所以=()(x+(1-x))=…
解：由=2，得+=1
所以 2x+y=[2x+(y+1)]-1
=[2x+(y+1)]()-1
≥4-1=3 当x=y=1时，等号成立.
(四) 配凑条件求最值
例5.已知x>0,y>0,且=2, 那么2x+y的最小
值为 .
(六) 条件最值之结构配凑
用基本不等式求最值
方法总结：
用逆向代换时，代数式结构不完整的，可以进行适当的配凑. 本题也可以先用代入消元法，再用基本不等式.
练一练
已知x>0,y>0,且x+y=1的最小值
为 .
提示：
令x+2=m, y+1=n; 则由已知得：
m+n=4, m>2, n>1
=+
=(m+n)+(+)-6(以下逆代）
例6.已知x>0,y>0,且=，求xy的最小值.
(七) 条件最值之等价变形
解：由等式 = 变形得xy=x+y+8
所以xy≥2+8 解得xy最小值为16
当x=y=4时，等号成立.
用基本不等式求最值
方法总结：
条件式应该怎样使用，取决于目标式的结构特点. 本题目标式为积的形式，故先将条件式变形，化归为“和化积”模型. 但如果问题是“求x+2y的最小值”，则条件式无需变形，只需逆向代换即可.
已知x>0,y>0,且=，则的最小值
为 .
练一练
提示：
方法一：先代入消元，整理后用基本不等式；
方法二：条件式变形得xy-x-y=0,
目标式通分得=
=(=…
课堂小结
一、本节课学习的技能
逆向代换
结构配凑
等价变形
二、本节课提升的核心素养
逻辑推理
数据分析
课堂小结
数学运算
数学建模
直观想象
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
课堂小结
配凑思想
消元思想
逆向思维
01
基础作业： .
02
能力作业： .
03
拓展延伸：（选做）
作业